Esercizi: Limiti in un punto

Osserva il grafico della funzione $f(x)$ rappresentato di seguito. Determina, a partire da esso, il valore dei seguenti limiti e il valore della funzione nel punto indicato:

1. a) $\lim_{x \to 2^-} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to 2^+} f(x)$
3. c) $\lim_{x \to 2} f(x)$
4. d) $f(2)$

Data la funzione $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$, completa la seguente tabella di valori per approssimare il limite della funzione quando $x$ tende a $1$. A quale valore sembra avvicinarsi la funzione?

Un'indagine di mercato indica che i profitti giornalieri di un nuovo bar, in euro, seguono la funzione $B(t) = t^2 + 5t - 10$, dove $t$ è il tempo in mesi dall'apertura. Calcola il limite dei profitti quando il tempo tende a $3$ mesi ($t \to 3$).

Calcola i seguenti limiti effettuando la sostituzione diretta nell'espressione della funzione:

1. a) $\lim_{x \to -1} (x^3 - 3x^2 + 4)$

1. b) $\lim_{x \to 0} \frac{2x + 5}{x - 3}$

1. c) $\lim_{x \to 4} \sqrt{x + 5}$

La velocità di download di un file (in MB/s) dipende dal numero di utenti connessi alla rete, $n$, secondo la funzione $V(n) = \frac{100}{n + 2}$. Determina a quale valore tende la velocità di download quando il numero di utenti si avvicina a $18$.

Data la funzione definita a tratti:

Calcola i limiti laterali nel punto di rottura:

1. a) $\lim_{x \to 1^-} f(x)$

1. b) $\lim_{x \to 1^+} f(x)$

Esiste il limite $\lim_{x \to 1} f(x)$? Giustifica la tua risposta.

Determina il valore del limite della funzione $g(x) = \frac{x - 5}{x^2 + 1}$ nei seguenti punti:

1. a) $x \to 5$

1. b) $x \to -1$

1. c) $x \to 0$

Rappresenta in un piccolo schizzo una funzione $h(x)$ che soddisfi contemporaneamente queste tre condizioni:

1. $\lim_{x \to 3^-} h(x) = 2$

2. $\lim_{x \to 3^+} h(x) = 2$

3. $h(3) = 4$

La funzione è continua in $x = 3$? Spiega quale differenza c'è tra il valore del limite e il valore della funzione in quel punto.

Marco deve calcolare il seguente limite per un compito in classe: $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{x^2 - 4}$. Sul suo quaderno scrive il seguente svolgimento:

1. a) Individua con precisione l'errore algebrico che commette Marco nel secondo passaggio. Quale espressione resta realmente al numeratore dividendo numeratore e denominatore per $(x - 2)$?
2. b) Spiega perché il risultato $4$ è privo di senso osservando che, per valori molto vicini a $2$ (ad esempio $x = 2,1$), il numeratore è molto minore del denominatore.
3. c) Correggi il procedimento e calcola il valore corretto del limite.

Data la funzione $f(x) = \frac{x^2 + 2x - 3}{x - 1}$, si vuole trovare $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x)$.

1. a) Prima di applicare qualsiasi tecnica algebrica, stima il valore del limite calcolando i valori numerici della funzione per $x = 0,99$ e per $x = 1,01$. A quale numero intero sembra avvicinarsi $f(x)$?
2. b) Giustifica perché la sostituzione diretta $x = 1$ non permette di rispondere immediatamente alla domanda su quanto valga il limite.
3. c) Risolvi il limite algebricamente scomponendo in fattori il numeratore e semplificando. Verifica se il valore ottenuto coincide con la tua stima iniziale e spiega perché la semplificazione del fattore $(x - 1)$ è valida quando calcoliamo un limite anche se non lo è per $x = 1$.

Un creatore di contenuti ha osservato che la crescita dei follower del suo canale durante la prima ora di una diretta segue la funzione $f(x) = \frac{x^2 - 25}{x - 5}$, dove $x$ è il tempo in minuti. Tuttavia, proprio al minuto $x = 5$, la piattaforma ha subito un piccolo errore tecnico e non ha registrato dati.

Stima il valore a cui tendono i follower quando il tempo si avvicina a $5$ minuti completando la seguente tabella di valori e calcolando il limite:

$\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 25}{x - 5}$

La temperatura di un componente elettronico in un processo di raffreddamento è data dalla seguente funzione definita a tratti, dove $t$ è il tempo in secondi:

$T(t) = \begin{cases} t^2 - 2t + 5 & \text{si } t < 3 \\ \frac{2t + 18}{t} & \text{si } t \ge 3 \end{cases}$

Calcola i limiti laterali nel punto di cambio di regime ($t = 3$) e stabilisci se esiste il limite in tale punto. Giustifica con un ragionamento se la temperatura subisce un salto brusco in quell'istante.

Calcola il valore del seguente limite risolvendo la forma indeterminata mediante la scomposizione dei polinomi:

$\lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 3x^2 + 2x}{x^2 - x - 6}$

Un'azienda di spedizioni usa una tariffa che dipende dal peso del pacco $x$ in chilogrammi. La funzione di costo è:

$C(x) = \begin{cases} 5x + 2 & \text{si } 0 < x \le 2 \\ \sqrt{ax + 12} & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Trova il valore del parametro $a$ affinché il costo non presenti una discontinuità nel punto $x = 2$, cioè affinché esista il limite $\lim_{x \to 2} C(x)$ e coincida con il valore della funzione.

Risolvi il seguente limite utilizzando la tecnica della moltiplicazione per il binomio coniugato per eliminare la radice al numeratore:

$\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x+5} - 3}{x - 4}$

Osserva il grafico della funzione $f(x)$ rappresentato di seguito e analizza il suo comportamento nei punti indicati:

1. a) Determina i limiti laterali in $x = -1$ e verifica se esiste $\lim_{x \to -1} f(x)$.
2. b) Determina i limiti laterali in $x = 2$. Che tipo di discontinuità presenta la funzione in questo punto?

Data la funzione razionale $f(x) = \frac{2x^2 - 8}{x^2 - 4x + 4}$, studia il suo comportamento quando $x$ si avvicina a $2$.

A tale scopo, calcola i limiti laterali:

$\lim_{x \to 2^-} f(x)$ e $\lim_{x \to 2^+} f(x)$

Spiega, in base ai risultati, se la funzione ha un asintoto verticale o una discontinuità eliminabile in quel punto.

In un laboratorio di biologia si studia la concentrazione di una tossina in una coltura batterica. La concentrazione $C$ in parti per milione (ppm) rispetto alla temperatura $x$ in gradi centigradi segue la funzione:

$C(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 1}$

Calcola la concentrazione limite quando la temperatura tende a $1^\circ\text{C}$. La concentrazione è definita esattamente a quella temperatura? Giustifica la risposta analizzando il dominio e il limite in quel punto.

Due studenti di terzo liceo discutono su come risolvere $\displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 6x + 9}$. Sostituendo $x = 3$, entrambi osservano che si ottiene la forma $\frac{0}{0}$.

• Lucia afferma: «Poiché è una forma indeterminata $\frac{0}{0}$, il teorema del resto garantisce che possiamo semplificare il fattore $(x - 3)$ e otterremo un numero reale finito, cioè una discontinuità eliminabile».

• Sergio sostiene: «Il fatto che dia $\frac{0}{0}$ non assicura che il limite sia finito. Bisogna scomporre e guardare la molteplicità della radice $x = 3$ al denominatore; se dopo la semplificazione il denominatore continua ad annullarsi, ci sarà un asintoto verticale e il limite non esisterà come numero finito».

1. a) Determina quale dei due ragionamenti è corretto e spiega quale errore concettuale contiene l'affermazione dell'altro.
2. b) Risolvi il limite scomponendo in fattori numeratore e denominatore, semplifica l'espressione e calcola i limiti laterali $\displaystyle\lim_{x \to 3^-} f(x)$ e $\displaystyle\lim_{x \to 3^+} f(x)$ per concludere se il limite richiesto esiste oppure no.

Progetta la formula algebrica di una funzione razionale $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, dove sia $P(x)$ sia $Q(x)$ siano polinomi di secondo grado a coefficienti interi, che soddisfi contemporaneamente queste tre condizioni:

1. Presenta una forma indeterminata $\frac{0}{0}$ valutando direttamente in $x = 2$, ma il suo limite in quel punto esiste ed è finito: $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x) = 5$.

2. Presenta un asintoto verticale nella retta $x = -1$.

3. Passa per l'origine degli assi, cioè $f(0) = 0$.

Spiega il ragionamento che ti permette di dedurre i fattori di $P(x)$ e di $Q(x)$ a partire da ciascuna condizione, trova il valore delle costanti necessarie e scrivi l'espressione finale di $f(x)$ con i polinomi sviluppati.

Data la funzione definita a tratti che modella il costo marginale di produzione di un'azienda tecnologica in funzione delle unità $x$ (in migliaia):

Determina i valori dei parametri $a$ e $b$ sapendo che esiste il limite della funzione nel punto di rottura $x = 2$ e che tale limite è uguale a $4$. Stabilisci con un ragionamento se la funzione è continua in quel punto, basandoti sui limiti laterali calcolati.

Calcola il valore del seguente limite risolvendo la forma indeterminata mediante l'uso del coniugato e la scomposizione dei polinomi:

Spiega passo dopo passo il procedimento di semplificazione e come riesci a eliminare il fattore che annulla il denominatore.

Osserva il seguente grafico della funzione $g(x)$ e analizza il suo comportamento nei punti critici indicati:

Dal grafico, determina:

1. $\lim_{x \to -2^-} g(x)$ e $\lim_{x \to -2^+} g(x)$. Esiste il limite in $x = -2$?

2. $\lim_{x \to 0^-} g(x)$ e $\lim_{x \to 0^+} g(x)$. Qual è il valore di $g(0)$?

3. Descrivi il tipo di discontinuità che la funzione presenta in ciascuno di questi due punti.

Uno studio sociologico stabilisce che il livello di soddisfazione di un utente per un social network, $S(t)$, misurato da 0 a 100, segue la seguente funzione rispetto al tempo $t$ (in mesi) da cui è iscritto:

Calcola il limite della soddisfazione quando il tempo si avvicina a $2$ mesi e a $3$ mesi. Interpreta il risultato ottenuto: che cosa accade concretamente alla soddisfazione dell'utente in quegli istanti?

Trova il valore dei limiti laterali della seguente funzione nel punto $x = 3$:

In base ai tuoi risultati, stabilisci se esiste il limite in quel punto. Quale differenza grafica c'è tra avvicinarsi da sinistra e da destra?

Calcola il valore di $k$ affinché il seguente limite sia un numero reale (finito) e, una volta trovato $k$, calcola il valore di tale limite:

Si sta studiando la diffusione di una voce in un liceo. Il numero di studenti che conoscono la notizia dopo $h$ ore è dato dalla funzione:

Calcola e interpreta il significato dei seguenti limiti nel contesto del problema:

1. $\lim_{h \to 0^+} N(h)$

2. $\lim_{h \to 4^-} N(h)$

Il modello matematico è coerente per qualsiasi valore di $h$? Motiva la risposta basandoti sull'esistenza di asintoti verticali.

Considera la funzione razionale $R(x) = \frac{x^2 - m}{x^2 - 5x + 6}$.

1. a) Determina il valore di $m$ affinché la funzione presenti una discontinuità eliminabile in $x = 2$.

1. b) Per quel valore di $m$, calcola $\lim_{x \to 2} R(x)$.

1. c) Che cosa accade al limite della funzione in $x = 3$ per il valore di $m$ trovato al punto a)? Calcola i limiti laterali in $x = 3$ e descrivi il comportamento dei rami infiniti della funzione in prossimità di quella retta.

Una cooperativa olearia di Jaén stima che il costo totale giornaliero per confezionare $x$ centinaia di litri di olio extravergine di oliva sia dato da $C(x) = x^2 + 6x + 40$ (in euro, per $x \geq 0$). Il reparto finanziario deve valutare il costo marginale raggiungendo un ritmo di confezionamento di $400$ litri ($x = 4$). A tale scopo studia il tasso di variazione medio del costo tra un livello di produzione generico $x$ e il livello base $x = 4$:

1. a) Calcola $C(4)$ e scrivi l'espressione di $T(x)$. Giustifica quale forma indeterminata compare valutando direttamente $T(4)$ e spiega quale significato economico ha il fatto che numeratore e denominatore si annullino contemporaneamente quando non c'è variazione della produzione.
2. b) Risolvi la forma indeterminata mediante scomposizione per trovare il costo marginale esatto calcolando $\displaystyle\lim_{x \to 4} T(x)$ (in euro ogni cento litri aggiuntivi).
3. c) Un frantoio concorrente usa una tecnologia diversa il cui tasso incrementale segue la funzione $G(x) = \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} + 14$. Calcola $\displaystyle\lim_{x \to 4} G(x)$ moltiplicando per il coniugato e stabilisci con un ragionamento quale delle due cooperative sostiene un costo marginale minore raggiungendo i $400$ litri.

Si considera la funzione $f(x) = \frac{\sqrt{x + 7} - k}{x - 2}$, dove $k$ è una costante reale.

1. a) Spiega perché il limite $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x)$ può essere un numero reale finito solo se, sostituendo $x = 2$, si ottiene la forma indeterminata $\frac{0}{0}$. Usa questo ragionamento per dedurre l'unico valore ammissibile di $k$.
2. b) Per il valore di $k$ ottenuto, calcola analiticamente $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x)$ moltiplicando per l'espressione coniugata e semplificando il fattore comune.
3. c) Se invece del valore trovato si fissa $k = 5$, giustifica teoricamente (senza dover calcolare entrambi i limiti laterali completi) se la retta $x = 2$ rappresenterà una discontinuità eliminabile o un asintoto verticale, e indica con un ragionamento il segno verso cui tenderà la funzione quando $x \to 2^+$.