Esercizi: Rami infiniti nelle funzioni esponenziali e logaritmiche

Una colonia di muffa cresce in una capsula di Petri di un laboratorio scolastico. L'area che ricopre, in $cm^2$, segue il modello di una funzione esponenziale del tempo $t$ in giorni: $M(t) = 2 \cdot 1,5^t$. Il grafico mostra la funzione per $t$ tra 0 e 6 giorni.

a) Verso quale valore tende l'area ricoperta dalla muffa se la colonia continua a crescere indefinitamente? Esprimi questo fatto usando la notazione dei limiti.

b) Osserva il grafico della funzione e descrivi il tipo di ramo infinito che presenta quando $t \to +\infty$.

L'intensità del segnale Wi-Fi di un bar, misurata in microwatt ($\mu$W), diminuisce man mano che ci si allontana dall'antenna secondo la funzione $I(d) = 60 \cdot e^{-0,1d}$, dove $d$ è la distanza in metri.

a) Calcola il limite dell'intensità quando la distanza $d$ tende a $+\infty$.

b) Che cosa significa il risultato ottenuto nel contesto del problema? Esiste qualche asintoto orizzontale?

Data la funzione logaritmica $f(x) = \ln(x - 4)$, si richiede di:

a) Trova il dominio della funzione.

b) Studia il comportamento della funzione quando $x$ si avvicina a $4$ da destra ($x \to 4^+$) e determina se esiste un asintoto verticale.

Un'azienda di logistica stima che il costo di manutenzione della propria flotta di camion, in euro, segua il modello $C(x) = 1500 + \log(x + 10)$, dove $x$ è il numero di chilometri percorsi.

Analizza il ramo infinito della funzione quando il chilometraggio aumenta indefinitamente ($x \to +\infty$). Il costo di manutenzione ha un limite massimo o cresce senza limite?

Un'app per l'apprendimento delle lingue sta guadagnando utenti in modo accelerato. Il numero di utenti attivi, in migliaia, è modellizzato dalla funzione esponenziale $U(t) = 5 \cdot 1,2^t$, dove $t$ è il tempo in mesi dal lancio.

a) Calcola il limite di $U(t)$ quando $t \to +\infty$ e spiega quale tipo di ramo infinito presenta la funzione (ha un asintoto orizzontale in quell'estremo?).

b) Studia che cosa accade quando $t \to -\infty$. La funzione ha un asintoto orizzontale in quel verso? Indica la sua equazione.

c) Disegna sul quaderno il grafico della funzione indicando i rami infiniti ai due estremi.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Trova gli asintoti orizzontali, se esistono, delle seguenti funzioni studiando i loro limiti all'infinito:

a) $f(x) = 5^{x} + 2$

b) $g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{x} - 3$

Nota: ricorda di studiare sia il limite per $x \to +\infty$ sia quello per $x \to -\infty$.

Associa ciascuna delle seguenti espressioni di limite alla corrispondente caratteristica grafica di una funzione logaritmica $f(x) = \log_a(x)$ con $a > 1$:

1. $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$

2. $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$

A) La funzione presenta un ramo parabolico a crescita lenta.

B) La funzione ha un asintoto verticale sull'asse delle ordinate.

Calcola i seguenti limiti di funzioni elementari:

a) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \log_{10}(x^2 + 1)$

b) $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} e^{x+2}$

c) $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\ln(x)}$

Osserva il grafico della funzione $f(x)$, che combina un comportamento razionale con uno esponenziale. Le rette tratteggiate sono linee di riferimento e ogni tacca degli assi corrisponde a 1 unità. A partire dal grafico, individua i valori dei limiti indicati e scrivi le equazioni dei suoi asintoti orizzontali e verticali.

Calcola, motivando a partire dall'osservazione:

1. $\lim_{x \to +\infty} f(x)$

2. $\lim_{x \to -\infty} f(x)$

3. $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ e $\lim_{x \to 2^+} f(x)$

4. Le equazioni degli asintoti orizzontali e verticali di $f(x)$, giustificandole con i limiti precedenti.

Un'indagine di mercato stima che il numero di abbonati di una nuova piattaforma di streaming, in migliaia di persone, segua la funzione $S(t) = \frac{120}{1 + 4 \cdot e^{-0,1t}}$, dove $t$ è il tempo in mesi dal lancio.

Determina il limite del numero di abbonati che la piattaforma avrà «a lungo termine», cioè quando $t \to +\infty$. Come si chiama questo comportamento dal punto di vista dei rami infiniti della funzione?

Studia gli asintoti e il comportamento nei rami infiniti della funzione logaritmica:

$$f(x) = \ln(x^2 - 16)$$

Per farlo:

1. Trova il dominio della funzione.

2. Calcola i limiti laterali agli estremi degli intervalli del dominio.

3. Determina se esiste un asintoto orizzontale per $x \to +\infty$.

Analizza il comportamento della funzione $g(x) = 2 + \frac{\ln(x)}{x}$ quando la variabile indipendente cresce indefinitamente ($x \to +\infty$).

Spiega se la funzione ha qualche asintoto orizzontale e rappresentalo schematicamente in un sistema di assi cartesiani.

Considera la funzione definita a tratti:

$$h(x) = \begin{cases} 2^x & \text{si } x \le 1 \\ \log_{10}(x) + k & \text{si } x > 1 \end{cases}$$

1. Calcola il valore di $k$ affinché la funzione sia continua in $x = 1$.

2. Una volta trovato $k$, studia i limiti della funzione all'infinito: $\lim_{x \to -\infty} h(x)$ e $\lim_{x \to +\infty} h(x)$.

Data la funzione $f(x) = e^{1/(x-3)}$, calcola i seguenti limiti laterali:

1. $\lim_{x \to 3^-} f(x)$

2. $\lim_{x \to 3^+} f(x)$

Alla luce dei risultati, indica se esiste un asintoto verticale in $x = 3$ e descrivi il comportamento della funzione da ciascun lato del punto.

In un laboratorio di chimica, la temperatura di una reazione (in $^\circ C$) è data dalla funzione $T(t) = 20 + 80 \cdot e^{-0,5t}$, dove $t$ è il tempo in minuti. La figura mostra il grafico della funzione durante i primi 10 minuti.

1. a) Qual è la temperatura iniziale della reazione?

1. b) A quale temperatura si stabilizzerà la miscela se lasciamo passare molto tempo? Calcola $\lim_{t \to +\infty} T(t)$.

Determina tutti gli asintoti della funzione:

$$f(x) = \frac{x \cdot \ln(x)}{x-1}$$

Calcola a tal fine i limiti necessari per $x \to 1^+$ (estremo del dominio per annullamento del denominatore) e per $x \to +\infty$. Questa funzione presenta qualche ramo parabolico o asintoto orizzontale?

L'impatto di una campagna di marketing digitale per una nuova app per smartphone si misura con il numero di utenti attivi giornalieri, $U(t)$, in migliaia, dove $t$ è il tempo in giorni dal lancio. Il modello è dato dalla seguente funzione:

$$U(t) = \frac{120}{2 + 8e^{-0,15t}}$$

La figura mostra il grafico di $U(t)$ nei primi 40 giorni.

Analizza il comportamento della comunità di utenti a lungo termine calcolando $\lim_{t \to +\infty} U(t)$ e interpreta il significato dell'asintoto orizzontale trovato. Che cosa accadrebbe al limite se l'esponente fosse positivo, cioè se al posto di $e^{-0,15t}$ comparisse $e^{0,15t}$? Giustifica la tua risposta.

Studia tutti i rami infiniti (asintoti verticali, orizzontali e obliqui) della funzione logaritmica composta definita da:

$$f(x) = \ln\left(\frac{x^2 - 9}{x + 1}\right)$$

Tieni presente che devi prima determinare il dominio della funzione, poiché l'argomento del logaritmo deve essere strettamente positivo. Descrivi il comportamento della funzione agli estremi del suo dominio mediante limiti laterali.

In un dibattito in classe sugli ordini di crescita, uno studente afferma che, poiché il numeratore della funzione $g(x) = \frac{x}{e^x}$ tende a infinito quando $x \to +\infty$, nemmeno la funzione $g(x)$ può avere limite finito all'infinito.

Dimostra mediante il calcolo di $\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x}$ se lo studente ha ragione o no, confrontando l'ordine di crescita della funzione esponenziale con quello della funzione lineare. $g(x)$ presenta qualche asintoto orizzontale? Indica la sua equazione.

Calcola il valore del seguente limite, che dà luogo a una forma indeterminata del tipo $1^\infty$ legata al numero $e$:

$$\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{2\ln(x) + 5}{2\ln(x) - 1}\right)^{\ln(x)}$$

Determina i valori dei parametri $a$ e $b$ affinché la seguente funzione sia continua in tutto il suo dominio e presenti un asintoto orizzontale in $y = 4$ quando $x \to -\infty$:

$$f(x) = \begin{cases} \frac{ax + 10}{x - 2} & \text{si } x < 0 \\ b \cdot e^x + 1 & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$

Spiega in dettaglio i passaggi seguiti, analizzando prima il limite all'infinito e poi la continuità nel punto di raccordo.

Data la funzione razionale con potenze esponenziali:

$$h(x) = \frac{3^x - 3^{-x}}{3^x + 3^{-x}}$$

Calcola i suoi asintoti orizzontali trovando i limiti $\lim_{x \to +\infty} h(x)$ e $\lim_{x \to -\infty} h(x)$. Fai molta attenzione al comportamento di $3^x$ e $3^{-x}$ a seconda che $x$ tenda a più o meno infinito.

Un canale di contenuti educativi ottiene entrate mensili dalla pubblicità (in centinaia di euro) che seguono la funzione $R(x) = 50 \cdot \ln(x+1) - 0,5x$, dove $x$ rappresenta i mesi trascorsi dal lancio.

1. a) Calcola $\lim_{x \to +\infty} R(x)$ confrontando gli ordini di grandezza della crescita logaritmica rispetto alla crescita lineare.
2. b) È un buon modello per rappresentare le entrate del canale a lungo termine? Giustifica la tua risposta basandoti sul ramo infinito ottenuto.

Analizza l'esistenza di limiti e asintoti verticali nella funzione $f(x) = \frac{1}{\ln(x^2 - 3)}$.

In particolare, studia che cosa accade nei valori di $x$ che rendono nullo il denominatore. Determina i limiti laterali in quei punti e descrivi se la funzione si avvicina a $+\infty$ o a $-\infty$. Esistono intervalli in cui la funzione non è definita? Giustificalo.