Esercizi: Concetto

Immagina di analizzare la crescita di un nuovo account di un social network. Il numero di follower in migliaia, dopo $x$ settimane, è dato dalla funzione $f(x)$. Per capire che cosa succede intorno alla terza settimana, abbiamo ottenuto i seguenti valori:

$x$	2,9	2,99	2,999	...	3,001	3,01	3,1
$f(x)$	5,81	5,98	5,998	...	6,002	6,02	6,19

Osservando la tabella, stima in modo intuitivo il valore del seguente limite:

$$\lim_{x \to 3} f(x)$$

Dato il seguente grafico di una funzione $f(x)$, determina il valore dei limiti laterali nel punto di discontinuità $x = 2$:

1. a) $\lim_{x \to 2^-} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to 2^+} f(x)$
3. c) Esiste il limite globale $\lim_{x \to 2} f(x)$? Giustifica la risposta.

Osserva il grafico della funzione $g(x)$ e analizza che cosa succede quando la variabile indipendente $x$ assume valori sempre più grandi. A quale valore sembra avvicinarsi la funzione "a lungo termine"?

Esprimi la tua conclusione usando la notazione dei limiti: $\lim_{x \to +\infty} g(x)$.

Considera la funzione definita a tratti:

$$f(x) = \begin{cases} x + 3 & \text{si } x < 1 \\ 5 - x & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$$

Calcola i limiti laterali in $x = 1$ sostituendo direttamente nell'espressione corrispondente:

1. a) $\lim_{x \to 1^-} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to 1^+} f(x)$
3. c) Alla luce dei risultati, la funzione è continua in $x = 1$?

A volte il valore di una funzione in un punto non coincide con il valore a cui la funzione si avvicina vicino a quel punto. Osserva il seguente grafico e determina:

1. a) Il valore della funzione nel punto: $f(3)$
2. b) Il valore del limite: $\lim_{x \to 3} f(x)$

Calcola i seguenti limiti di funzioni polinomiali e costanti utilizzando le proprietà di base (sostituzione diretta):

1. a) $\lim_{x \to 2} (x^2 - 5x + 1)$
2. b) $\lim_{x \to -1} (3x + 4)$
3. c) $\lim_{x \to 5} (7)$

Si sta studiando la temperatura di un componente elettronico che si scalda all'accensione. La temperatura $T$ (in $^\circ C$) rispetto al tempo $t$ (in secondi) segue la funzione $T(t) = \frac{80t}{t+2}$.

Calcola il valore della temperatura quando il tempo diventa "infinito" (cioè la temperatura di stabilizzazione):

$$\lim_{t \to +\infty} \frac{80t}{t+2}$$

Osserva il grafico della funzione $h(x)$. I punti segnati corrispondono a valori di $x$ sempre più vicini a $0$ da destra.

1. a) Descrivi con parole tue che cosa accade ai valori di $h(x)$ quando $x$ si avvicina a $0$ da destra.

1. b) Esprimi questo risultato usando la notazione dei limiti.

Carla sta studiando il comportamento della funzione definita a tratti:

$$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x < 2 \\ 8 & \text{si } x = 2 \\ x^2 + 1 & \text{si } x > 2 \end{cases}$$

In un esercizio in cui le chiedono di calcolare $\lim_{x \to 2} f(x)$, Carla scrive questa giustificazione sul quaderno:

«Calcolo i limiti laterali: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2 \cdot 2 + 1 = 5$ e $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 2^2 + 1 = 5$. Poiché entrambi i limiti laterali valgono $5$, ma il valore della funzione nel punto è $f(2) = 8$, concludo che il limite $\lim_{x \to 2} f(x)$ non esiste, dato che, perché esista, deve coincidere obbligatoriamente con il valore della funzione in quel punto».

1. a) Individua con precisione l'errore concettuale commesso da Carla e spiega la differenza tra l'esistenza del limite di una funzione in un punto e il valore che tale funzione assume in quello stesso punto.
2. b) Correggi la conclusione di Carla: determina con ragionamenti se il limite $\lim_{x \to 2} f(x)$ esiste e, in caso affermativo, qual è il suo valore secondo la definizione di limite.

Si considera la funzione razionale $g(x) = \frac{3x - 6}{x^2 - 4}$, il cui dominio non include il valore $x = 2$.

1. a) Prima di operare algebricamente, stima intuitivamente a quale valore si avvicina $g(x)$ quando $x$ si avvicina a $2$. Per farlo, calcola con la calcolatrice i valori numerici di $g(1,99)$ e $g(2,01)$ arrotondando a quattro cifre decimali e formula una congettura sul valore del limite $\lim_{x \to 2} g(x)$.
2. b) Scomponi in fattori numeratore e denominatore per semplificare l'espressione di $g(x)$ quando $x \neq 2$, e calcola con rigore il limite $\lim_{x \to 2} g(x)$.
3. c) Confronta la tua stima del punto a con il risultato ottenuto al punto b. Spiega perché è possibile che il limite sia un numero reale finito se, sostituendo direttamente $x = 2$ nella funzione originale, si ottiene una divisione per zero.

Un nuovo videogioco di strategia stima che il numero di utenti attivi, misurato in migliaia, segua la funzione $U(t) = \frac{20t + 50}{t + 1}$, dove $t$ è il tempo in mesi dal lancio.

1. a) Completa la seguente tabella di valori per osservare l'andamento del numero di utenti al passare dei mesi:

$t$	10	100	1.000	10.000
$U(t)$

1. b) Utilizza i risultati della tabella per stimare il valore di $\lim_{t \to +\infty} U(t)$.

1. c) Che cosa significa il risultato ottenuto nel contesto del problema? Il gioco resterà senza utenti?

Osserva il grafico della funzione $f(x)$ rappresentato qui sotto e determina, se esistono, i valori dei limiti indicati. Se qualche limite non esiste, giustifica brevemente perché basandoti sui limiti laterali.

1. a) $\lim_{x \to 2^-} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to 2^+} f(x)$
3. c) $\lim_{x \to 2} f(x)$
4. d) $f(2)$

Data la seguente funzione definita a tratti, determina il valore del parametro $k$ affinché esista il limite della funzione nel punto di raccordo $x = 3$.

$f(x) = \begin{cases} x^2 - kx + 2 & \text{si } x < 3 \\ \frac{x+9}{x-1} & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$

Un'attrazione molto popolare di un luna park apre al pubblico. Il numero di persone al minuto che si accumulano all'ingresso nei primi istanti è modellato dalla funzione $P(t) = \frac{100}{t^2 - 8t + 16}$, dove $t$ è il tempo in minuti.

1. a) Analizza che cosa succede all'afflusso di visitatori quando il tempo si avvicina a $t = 4$ minuti, calcolando i limiti laterali $\lim_{t \to 4^-} P(t)$ e $\lim_{t \to 4^+} P(t)$.

1. b) È possibile che l'attrazione continui ad ammettere visitatori a quel ritmo dopo il minuto 4? Giustifica la risposta basandoti sul concetto di limite infinito.

Considera la funzione $g(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$.

1. a) Prova a calcolare $g(3)$. Che cosa succede?

1. b) Costruisci una tabella di valori per $x$ molto vicini a 3 da sinistra ($2,9; 2,99; 2,999$) e da destra ($3,1; 3,01; 3,001$).

1. c) Alla luce dei risultati, qual è il valore di $\lim_{x \to 3} g(x)$?

1. d) Rappresenta graficamente la situazione evidenziando che cosa succede esattamente nel punto $x = 3$.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

In un laboratorio di biologia si studia la popolazione di una colonia di batteri dopo l'applicazione di un antibiotico. La popolazione (in milioni) è data da $P(t) = 5 + e^{-0,2t}$, dove $t$ è il tempo.

1. a) Qual è la popolazione iniziale della colonia ($t = 0$)?

1. b) Calcola il limite della popolazione quando il tempo tende a infinito: $\lim_{t \to +\infty} P(t)$.

1. c) Disegna uno schema del grafico della funzione basandoti sui punti calcolati e sui suoi asintoti.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Si dice che il limite di una funzione in un punto è il valore a cui si avvicinano le immagini, indipendentemente dal fatto che la funzione sia definita o no in quel punto. Spiega con ragionamenti se le seguenti affermazioni sono vere o false:

1. a) Se esiste $f(a)$, allora esiste sempre $\lim_{x \to a} f(x)$.
2. b) Se esiste $\lim_{x \to a} f(x) = L$ ed esiste $f(a)$, allora necessariamente $f(a) = L$.
3. c) Perché esista il limite in un punto, i limiti laterali devono essere uguali e finiti.

Il costo totale (in euro) di produzione di $x$ unità di un prodotto è dato dalla funzione $C(x) = 15x + 2000$. La funzione costo medio è $\bar{C}(x) = \frac{C(x)}{x}$.

1. a) Scrivi l'espressione della funzione $\bar{C}(x)$.

1. b) Calcola $\lim_{x \to 0^+} \bar{C}(x)$ e interpreta il risultato. Che cosa succede se produciamo pochissime unità?

1. c) Calcola $\lim_{x \to +\infty} \bar{C}(x)$. A quale valore tende il costo di produzione per unità quando la produzione è di massa?

Un'azienda di corrieri ecologici per consegne urbane con furgoni elettrici a Bologna offre un servizio alle piccole e medie imprese con una tariffa mensile. Il costo totale mensile in euro è dato da una quota fissa di $150$ € per assicurazione e manutenzione, più $0,20$ € per ogni chilometro percorso. Pertanto il costo medio per chilometro (in euro al chilometro) quando si percorrono $x$ chilometri in un mese è modellato dalla funzione:

$$C(x) = \frac{150 + 0,20x}{x}, \quad x > 0$$

1. a) Calcola $\lim_{x \to 0^+} C(x)$ e interpreta il suo significato pratico per un commerciante che sottoscrive il servizio ma percorre appena qualche chilometro in un mese. Quale elemento geometrico rappresenta questo risultato nel grafico di $C(x)$?
2. b) Calcola $\lim_{x \to +\infty} C(x)$ e interpreta il risultato economico: che cosa succede all'impatto della quota fissa quando la percorrenza mensile è molto elevata?
3. c) Determina l'equazione dell'asintoto orizzontale della funzione $C(x)$ e stabilisci se il costo medio per chilometro potrebbe arrivare a essere, in qualche mese, di $0,18$ € percorrendo moltissimi chilometri.

Devi costruire l'espressione analitica di una funzione definita a tratti, $f(x)$, che soddisfi contemporaneamente le tre condizioni seguenti:

1. Il limite da sinistra quando $x$ si avvicina a $1$ deve esistere ed essere finito: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 4$.

2. La retta verticale $x = 1$ deve essere un asintoto verticale da destra con tendenza a più infinito: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$.

3. La retta orizzontale $y = -2$ deve essere un asintoto orizzontale per x che tende a meno infinito: $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -2$.

Per riuscirci:

1. a) Proponi una formula concreta per ciascun tratto della funzione $f(x)$, definendo con chiarezza gli intervalli del suo dominio.
2. b) Dimostra analiticamente, calcolando i limiti corrispondenti, che la funzione che hai progettato soddisfa esattamente ciascuna delle tre condizioni richieste.

Utilizza la definizione formale di limite di una funzione in un punto per dimostrare in modo rigoroso che:

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4$$

Per farlo, dato un valore di $\epsilon > 0$, trova un'espressione per $\delta$ in funzione di $\epsilon$ tale che sia soddisfatta l'implicazione della definizione. Spiega passo per passo il ragionamento algebrico svolto.

Osserva il seguente grafico che rappresenta l'andamento degli utili di una startup tecnologica (in migliaia di euro) in funzione del tempo $t$ (in mesi). Determina in modo motivato, a partire dall'osservazione delle tendenze, i valori dei seguenti limiti e spiega il loro significato nel contesto del problema:

1. a) $\lim_{t \to 2^{-}} f(t)$ e $\lim_{t \to 2^{+}} f(t)$
2. b) $\lim_{t \to 4} f(t)$
3. c) $\lim_{t \to +\infty} f(t)$

Calcola i valori dei parametri reali $a$ e $b$ affinché la funzione $f(x)$ abbia limite nei punti di rottura $x = -1$ e $x = 3$. Una volta trovati, indica se la funzione è continua in tali punti.

$$f(x) = \begin{cases} x^2 + ax & \text{si } x < -1 \\ b & \text{si } x = -1 \\ \frac{a - x}{2} & \text{si } -1 < x < 3 \\ \sqrt{x+1} - b & \text{si } x \geq 3 \end{cases}$$

In un'indagine di mercato si è determinato che il prezzo di un articolo da collezione (in euro) segue la funzione $P(t) = \frac{150t + 200}{t + 1}$, dove $t$ è il tempo in anni dal suo lancio.

1. a) Analizza la tendenza del prezzo a lunghissimo termine calcolando il limite per $t \to +\infty$.
2. b) Se il modello cambiasse dopo una crisi nell'anno $t=10$ in $P(t) = \frac{k \cdot t^2}{2t^2 - 50}$, quale valore dovrebbe avere $k$ affinché il prezzo non subisse un salto brusco (cioè affinché esistesse il limite in $t=10$)?

Considera le funzioni $f(x) = \frac{1}{x-3}$ e $g(x) = x^2 - 9$. Studia il comportamento del limite della funzione composta $(f \circ g)(x)$ quando $x$ tende a $2$ e quando $x$ tende a $\sqrt{12}$.

Giustifica se i limiti sono finiti o infiniti analizzando le tendenze laterali in ciascun caso.

Data la funzione $f(x) = \frac{x^2 - kx + 6}{x^2 - 9}$:

1. a) Trova il valore di $k$ affinché la funzione presenti una discontinuità eliminabile in $x = 3$.
2. b) Per quel valore di $k$, calcola il valore del limite $\lim_{x \to 3} f(x)$.
3. c) Che cosa accade al limite della funzione in $x = -3$ per quello stesso valore di $k$? Giustifica l'esistenza di un asintoto verticale calcolando i limiti laterali.

Un biologo osserva che la popolazione di una colonia di insetti in un laboratorio (in centinaia di individui) si comporta secondo la funzione $N(t)$, dove $t$ è il tempo in settimane:

$$N(t) = \frac{2t^2 - 8}{t^2 + t - 6}$$

1. a) Il biologo nota che accade qualcosa di strano vicino alla seconda settimana. Calcola $\lim_{t \to 2} N(t)$ e interpreta se la popolazione scompare, si stabilizza o cresce indefinitamente in quell'istante.
2. b) Determina la popolazione iniziale della colonia ($t=0$) e la popolazione a cui tenderà la colonia se le condizioni restano costanti indefinitamente.

Disegna uno schema grafico approssimativo di una funzione $f(x)$ che soddisfi contemporaneamente tutte le seguenti condizioni sui limiti. Successivamente, proponi una possibile espressione algebrica (definita a tratti o razionale) per tale funzione.

1. $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 2$

2. $\lim_{x \to -2^{-}} f(x) = +\infty$ e $\lim_{x \to -2^{+}} f(x) = -\infty$

3. $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$, ma $f(0) = 1$

4. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ (ramo parabolico)

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Si vuole studiare l'esistenza e, in caso affermativo, il valore del limite:

$$\lim_{x \to 3} \frac{|x - 3|}{x^2 - 9}$$

Tre studenti di terza liceo propongono strategie diverse per affrontarlo:

• Metodo di Marco (numerico): Propone di sostituire con la calcolatrice un valore molto vicino a $3$, per esempio $x = 2,999$, calcolare il risultato ottenuto e affermare che tale risultato coincide con il limite cercato.

• Metodo di Laura (sostituzione diretta): Propone di sostituire direttamente $x = 3$, ottenendo $\frac{|0|}{0} = \frac{0}{0}$, e conclude subito che il limite non esiste perché si tratta di una forma indeterminata priva di valore numerico.

• Metodo di Sara (limiti laterali): Propone di spezzare la funzione eliminando il valore assoluto secondo la definizione di $|x - 3|$ (per $x < 3$ e per $x > 3$), semplificare la frazione algebrica ottenuta in ciascun tratto e calcolare separatamente i limiti laterali $\lim_{x \to 3^-}$ e $\lim_{x \to 3^+}$.

1. a) Valuta criticamente il metodo di Marco: perché avvicinarsi a $3$ usando soltanto valori da sinistra può indurre a un errore grave in questo caso particolare?
2. b) Valuta criticamente il metodo di Laura: perché la comparsa dell'espressione $\frac{0}{0}$ non permette di escludere l'esistenza del limite?
3. c) Applica il metodo di Sara: calcola passo per passo entrambi i limiti laterali e deduci, giustificandolo con la definizione formale di limite in un punto, se $\lim_{x \to 3} \frac{|x - 3|}{x^2 - 9}$ esiste o no.

L'Istituto Nazionale di Statistica (ISTAT) segue un programma pilota di digitalizzazione in una zona rurale dell'Italia. La percentuale stimata di anziani connessi a internet (sul totale degli anziani della zona), dopo $t$ mesi dall'inizio del piano, è descritta dalla funzione:

$$P(t) = \begin{cases} \frac{k \cdot t^2 + 10t}{t + 2} & \text{si } 0 \le t < 4 \\[2mm] \frac{60t - 40}{t + 1} & \text{si } t > 4 \end{cases}$$

dove $k$ è un parametro reale che dipende dall'assegnazione iniziale di tutor e risorse tecnologiche.

1. a) Per evitare che il modello presenti un salto brusco e incoerente al quarto mese, si richiede che esista il limite $\lim_{t \to 4} P(t)$. Calcola il valore che deve assumere il parametro $k$ affinché ciò accada, giustificando in dettaglio il procedimento mediante i limiti laterali.
2. b) Immagina che l'ente regolatore stabilisca che il dato censuario puntuale rilevato esattamente al quarto mese sia $P(4) = 50\,\%$. Con il valore di $k$ ottenuto al punto a, il limite $\lim_{t \to 4} P(t)$ continua a esistere? Motiva la risposta spiegando perché l'esistenza del limite in $t = a$ è concettualmente indipendente dal valore puntuale $P(a)$ o dal fatto che questo non sia nemmeno definito.
3. c) Calcola $\lim_{t \to +\infty} P(t)$, determina la retta asintoto orizzontale e interpreta il risultato in termini sociologici: secondo le previsioni a lungo termine di questo modello, tutta la popolazione anziana della zona arriverà a essere connessa?