Esercizi: Continuità

Osserva il seguente grafico della funzione $f(x)$ e determina il valore dei limiti indicati. Se il limite non esiste o è infinito, specificalo.

1. a) $\displaystyle \lim_{x \to -2} f(x)$
2. b) $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)$
3. c) $\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x)$
4. d) $\displaystyle \lim_{x \to 3^+} f(x)$

Calcola i seguenti limiti di funzioni polinomiali e razionali mediante sostituzione diretta:

1. a) $\displaystyle \lim_{x \to 2} (x^2 - 5x + 6)$

1. b) $\displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{3x + 1}{x - 2}$

1. c) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^x + 2}{x + 4}$

Uno studio sulla temperatura di una serra automatizzata indica che essa segue la funzione $T(t) = \frac{20t + 100}{t + 2}$, dove $t$ è il tempo in ore dall'apertura e $T$ la temperatura in °C.

1. a) A quale temperatura tende la serra quando passa molto tempo ($t \to +\infty$)? Calcola il limite.

1. b) Illustra il concetto con uno schizzo del grafico di $T(t)$ per $t \geq 0$, in cui si veda l'asintoto orizzontale. Calcola $T(0)$ e qualche altro valore per collocare bene la curva.

Data la funzione $f(x) = \frac{x + 3}{x - 4}$, calcola i limiti laterali quando $x$ si avvicina a $4$ per stabilire se esiste il limite in quel punto:

1. a) $\displaystyle \lim_{x \to 4^-} \frac{x + 3}{x - 4}$

1. b) $\displaystyle \lim_{x \to 4^+} \frac{x + 3}{x - 4}$

Analizza la continuità della seguente funzione definita a tratti nel punto di rottura $x = 2$. A tale scopo, verifica se sono soddisfatte le tre condizioni di continuità:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x < 2 \\ 7 - x & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$

Associa ciascuna delle seguenti situazioni grafiche al tipo di discontinuità corrispondente: eliminabile, di salto finito o di salto infinito.

Determina il valore del parametro $k$ affinché la funzione $g(x)$ sia continua in tutto l'insieme dei numeri reali:

$g(x) = \begin{cases} kx^2 - 1 & \text{si } x \leq 3 \\ 4x + 5 & \text{si } x > 3 \end{cases}$

Un'azienda di spedizioni applica $5$ € per le spedizioni fino a $2$ kg di peso (compresi i $2$ kg). Per pesi superiori a $2$ kg, la tariffa segue la funzione $P(w) = 2w + 1$, dove $w$ è il peso in kg e $P(w)$ il costo in euro.

1. a) Esprimi la funzione di costo $C(w)$, per $w > 0$, in forma definita a tratti.

1. b) La funzione di costo è continua nel punto $w = 2$? Giustifica la risposta calcolando i limiti laterali.

Luca sta studiando la continuità della funzione $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ nel punto $x = 3$. Nel suo compito scrive quanto segue:

«Scompongo e semplifico la frazione: $\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3$. Poiché sostituendo $x=3$ ottengo $3+3=6$, la funzione è continua in $x=3$ e il suo valore è $f(3)=6$.»

1. a) Spiega con rigore matematico qual è l'errore concettuale commesso da Luca rispetto alla definizione formale di continuità.
2. b) Classifica il tipo di discontinuità che $f(x)$ presenta realmente in $x = 3$.
3. c) Spiega come si potrebbe «riparare» tale discontinuità definendo una funzione a tratti in modo che sia continua in tutto $\mathbb{R}$.

In uno studio economico sull'elasticità della domanda di un prodotto tecnologico, un analista modellizza la variazione del profitto marginale mediante la funzione $I(x) = \frac{\sqrt{x+9}-3}{x}$, dove $x$ rappresenta lo scostamento della spesa pubblicitaria in migliaia di euro rispetto al budget di base ($x=0$).

1. a) Stima: prima di operare algebricamente, approssima il valore di $\lim_{x \to 0} I(x)$ calcolando il valore numerico di $I(x)$ per $x = -0,1$; $x = -0,01$; $x = 0,01$ e $x = 0,1$. A quale valore sembra avvicinarsi la funzione?
2. b) Verifica: calcola analiticamente il valore esatto di $\lim_{x \to 0} I(x)$ moltiplicando per l'espressione coniugata e verifica se la tua stima iniziale era corretta.
3. c) Sapendo che $I(0)$ non è originariamente definito nella formula, classifica la discontinuità che $I(x)$ presenta in $x = 0$ e indica quale valore esatto si dovrebbe assegnare a $I(0)$ affinché il modello sia continuo.

Il costo annuo di manutenzione di un server che ospita un social network dipende dal numero di terabyte ($x$) di dati elaborati, secondo la funzione:

$$C(x) = \frac{12x^2 + 500x + 1000}{0,5x^2 + 10x}$$

Dove $C(x)$ è il costo medio annuo di manutenzione per terabyte, espresso in euro. Gli ingegneri vogliono sapere qual è il costo medio di manutenzione per terabyte quando il volume di dati elaborati è estremamente grande. Calcola il limite della funzione per $x \to +\infty$ e interpreta il risultato nel contesto del problema.

Un istituto finanziario offre un conto di risparmio il cui rendimento è dato dall'espressione $M(n) = \left(1 + \frac{0,04}{n}\right)^{2n}$, dove $n$ rappresenta il numero di volte in cui gli interessi vengono liquidati in un anno. Uno studente di economia vuole indagare che cosa accade al capitale finale se la capitalizzazione fosse istantanea, cioè se il numero di liquidazioni tendesse a infinito.

Calcola il valore di $\lim_{n \to \infty} M(n)$ utilizzando la relazione con il numero $e$.

Si sta progettando il profilo di una rampa per uno skate park. Il progetto combina un tratto curvo (parabolico) con un tratto rettilineo per garantire un raccordo dolce. L'altezza $h$ in metri rispetto alla distanza orizzontale $x$ è data da:

$$h(x) = \begin{cases} \frac{x^2}{4} + 1 & \text{si } x \le 2 \\ ax + b & \text{si } x > 2 \end{cases}$$

Sapendo che, affinché la rampa non sia pericolosa, la funzione deve essere continua in $x = 2$ e che il coefficiente angolare della retta deve essere $1$, determina i valori di $a$ e $b$.

Dato il seguente grafico di una funzione $f(x)$, analizza il suo comportamento nei punti indicati calcolando i limiti laterali e stabilendo se esiste il limite. Classifica inoltre il tipo di discontinuità che presenta in ciascun caso:

1. In $x = -2$

2. In $x = 1$

3. In $x = 3$

Un razzo di fuochi d'artificio sale durante la festa del paese. La sua altezza in metri $H$ dopo $t$ secondi di volo è definita dalla funzione:

$$H(t) = \frac{t^2 - 16}{t - 4}$$

1. Calcola il valore dell'altezza quando $t$ si avvicina a $4$ secondi.

2. L'altezza è definita nell'istante esatto $t = 4$? Giustifica se la funzione è continua in quel punto.

3. Se non è continua, ridefinisci la funzione in modo che il volo sia «dolce» (continuo) in quell'istante.

Calcola il valore dei seguenti limiti risolvendo le forme indeterminate che compaiono:

1. a) $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+1} - 2}{x - 3}$

1. b) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4}$

In uno studio sulla crescita di una popolazione di linci a Doñana, i biologi hanno modellizzato il numero di esemplari mediante la funzione:

$$P(t) = \frac{250t + 120}{0,5t + 2}$$

dove $t$ è il tempo in anni dall'inizio dello studio.

1. Quante linci c'erano all'inizio dello studio ($t=0$)?

2. A quale valore tende la popolazione di linci a lungo termine? Calcola il limite per $t \to +\infty$.

3. Trova le equazioni degli asintoti di questa funzione.

Determina il valore dei parametri $k$ e $m$ affinché la seguente funzione sia continua in tutto il suo dominio ($\mathbb{R}$):

$$f(x) = \begin{cases} kx - 2 & \text{si } x < -1 \\ x^2 + x & \text{si } -1 \le x < 2 \\ m & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$$

Una volta trovati i valori, spiega quali condizioni sono state necessarie nei punti di rottura $x = -1$ e $x = 2$ per garantire la continuità.

Per incentivare il risparmio idrico in un comune, l'azienda municipale stabilisce una tariffa bimestrale in funzione del volume consumato $x$ (in $\text{m}^3$). L'importo della bolletta $C(x)$ (in euro) è dato dalla seguente funzione definita a tratti:

$$C(x) = \begin{cases} 15 + 0,80x & \text{si } 0 \le x \le 20 \\ a + 1,40(x - 20) & \text{si } 20 < x \le 50 \\ b + 2,10(x - 50) & \text{si } x > 50 \end{cases}$$

1. a) La normativa comunale richiede che la bolletta sia una funzione continua del consumo, per non penalizzare arbitrariamente gli utenti nei punti di cambio di scaglione. Determina i valori di $a$ e $b$ affinché $C(x)$ sia continua in tutto il suo dominio ($x \ge 0$).
2. b) Interpreta il significato economico delle costanti $a$ e $b$ ottenute nel contesto della tariffa.
3. c) Se l'azienda avesse fissato per errore $a = 35$, calcola i limiti laterali in $x = 20$, classifica la discontinuità risultante e indica quanti euro in più pagherebbe ingiustamente un utente che consuma $20,01\text{ m}^3$ rispetto a uno che consuma esattamente $20\text{ m}^3$.

Progetta l'espressione algebrica di una funzione razionale della forma $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ (dove $P(x)$ e $Q(x)$ siano polinomi di grado 2 a coefficienti reali) che soddisfi contemporaneamente le tre condizioni seguenti:

1. Presenta una discontinuità eliminabile nel punto $x = 1$, con $\lim_{x \to 1} f(x) = 3$.

2. Presenta una discontinuità di salto infinito (asintoto verticale) nella retta $x = -2$.

3. Ha un asintoto orizzontale nella retta $y = 1$ per $x \to +\infty$.

Giustifica in dettaglio come determini le radici e i coefficienti di $P(x)$ e di $Q(x)$ a partire da ciascuna delle condizioni date, scrivi la funzione semplificata e verifica analiticamente che i tre requisiti siano soddisfatti calcolando i limiti corrispondenti.

Si sta studiando l'evoluzione dei profitti di una fintech nei suoi primi anni di vita. La funzione che modella il profitto cumulato $B(t)$ (in milioni di euro) in funzione del tempo $t$ (in anni) è data dalla seguente espressione:

$$B(t) = \begin{cases} \displaystyle \frac{at^2 + bt}{t^2 + 1} & \text{si } 0 \le t \le 2 \\ \displaystyle \frac{t-2}{\sqrt{t+7}-3} & \text{si } t > 2 \end{cases}$$

Calcola i valori di $a$ e $b$ affinché il profitto sia una funzione continua in $t = 2$, sapendo che nel primo anno ($t = 1$) il profitto dell'azienda è stato esattamente di $2$ milioni di euro.

Data la funzione $f(x) = \displaystyle \frac{2x^3 - 5x^2 - 4x + 3}{x^2 - x - 6}$, esegui uno studio completo dei suoi asintoti. A tal fine devi:

1. Trovare gli asintoti verticali e studiare il comportamento della funzione ai due lati di essi mediante i limiti laterali.

2. Verificare se esiste un asintoto orizzontale o obliquo.

3. Determinare la posizione relativa della curva rispetto all'asintoto non verticale trovato.

Un analista finanziario utilizza un modello matematico per prevedere il valore di un portafoglio di investimento aggressivo. Il rendimento $R(x)$ dipende da un indice di mercato $x$, ma il modello presenta una discontinuità in un valore critico:

$$R(x) = \begin{cases} \displaystyle \frac{|x-3|}{x-3} + kx & \text{si } x < 3 \\ \displaystyle \frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6} & \text{si } x > 3 \end{cases}$$

1. Calcola il valore di $k$ affinché esista il limite della funzione per $x$ che tende a $3$.

2. Una volta trovato $k$, la funzione è continua in $x = 3$? Giustifica la risposta analizzando i tipi di discontinuità.

In un laboratorio di sociologia digitale si è osservato che il numero di utenti (in migliaia) che condividono una notizia falsa segue il modello $U(t) = \left( \displaystyle \frac{3t^2 + 5}{3t^2 + 2} \right)^{2t^2+1}$, dove $t$ è il tempo in ore dalla pubblicazione.

Determina il numero di utenti a cui tenderà la notizia "a lungo termine" (quando il tempo tende a infinito). Spiega con ragionamenti il tipo di forma indeterminata che compare e il procedimento per risolverla.

Trova il valore dei parametri $a$ e $b$ affinché la seguente funzione sia continua in tutto il suo dominio:

$$f(x) = \begin{cases} \displaystyle \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1} & \text{si } x < 1 \\ a \cdot \ln(x) + b & \text{si } 1 \le x \le e \\ \displaystyle \frac{x-e}{x^2 - e^2} & \text{si } x > e \end{cases}$$

Nota: Ricorda che $\ln(e) = 1$ e fai attenzione alle forme indeterminate nei punti di raccordo.

Considera la funzione razionale $g(x) = \displaystyle \frac{x^2 + mx + 1}{x^2 - 4}$.

1. Per quali valori di $m$ la funzione ha una discontinuità eliminabile in $x = 2$ o $x = -2$?

2. Per $m = -2$, classifica tutte le discontinuità della funzione e trova i suoi asintoti.

3. Disegna uno schema dei rami infiniti per il caso $m = -2$.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un fondo di investimento garantisce spese di gestione mensili calcolate dalla funzione $G(x) = \sqrt{x^2 + 4x} - x$, dove $x$ rappresenta il capitale investito in migliaia di euro. Il grafico della funzione è il seguente:

1. a) Calcola il limite delle spese quando l'investimento $x$ cresce indefinitamente, cioè $\lim_{x\to+\infty} G(x)$. Tieni presente che compare una forma indeterminata $\infty-\infty$.

1. b) Se un cliente investe una somma molto piccola (che tende a zero da destra), a quale valore tendono le sue spese di gestione? Calcola $\lim_{x\to 0^+} G(x)$.

1. c) Verifica che i tuoi risultati siano coerenti con il grafico e interpreta il risultato del punto a) dal punto di vista dell'efficienza dell'investimento per grandi capitali.

Data la funzione $h(x) = \displaystyle \frac{x^2 - kx + 4}{x^3 - 4x}$, determina i possibili valori di $k$ sapendo che la funzione presenta una discontinuità eliminabile. Per ciascun valore di $k$ trovato:

1. Individua il punto in cui la discontinuità è eliminabile.

2. Calcola i limiti laterali nei restanti punti in cui la funzione non è continua.

3. Determina tutti gli asintoti della funzione risultante.

Si vuole studiare il valore del parametro $b$ che garantisce la continuità in $x = 0$ della funzione:

$$f(x) = \begin{cases} (1 + 3x)^{\frac{2}{x}} & \text{si } x > 0 \\ a \cdot x + b & \text{si } x \le 0 \end{cases}$$

Per calcolare il limite laterale destro $\lim_{x \to 0^+} (1+3x)^{\frac{2}{x}}$, tre studenti propongono strategie diverse:

• Metodo 1 (Sofia): Manipola algebricamente la base e l'esponente per applicare direttamente la definizione classica del numero $e$, trasformando l'espressione in $\left[(1+3x)^{\frac{1}{3x}}\right]^6$.

• Metodo 2 (Marco): Applica la formula generale delle forme indeterminate di tipo $1^\infty$: $\lim g(x)^{h(x)} = e^L$, dove $L = \lim_{x \to 0^+} h(x) \cdot (g(x) - 1)$.

• Metodo 3 (Elena): Sostituisce $x$ con valori molto piccoli decrescenti come $x = 0,001$ e $x = 0,0001$ con la calcolatrice e arrotonda il risultato numerico.

1. a) Valuta la validità formale dei tre metodi. Spiega perché il metodo di Elena non costituisce una dimostrazione matematica valida di continuità pur dando un'approssimazione intuitiva.
2. b) Confronta i metodi di Sofia e Marco: quale risulta più diretto in questo esercizio specifico e quale presenta minor rischio di errore se la base fosse una frazione complessa come $\frac{2x+3}{x+3}$? Giustifica la risposta.
3. c) Scegli uno dei due metodi rigorosi, calcola in dettaglio il limite laterale destro e deduci il valore esatto di $b$ affinché $f(x)$ sia continua in $x = 0$. Il valore del parametro $a$ influisce sulla continuità puntuale in $x = 0$? Spiega perché.

Nella progettazione dell'imposta sul reddito di una regione si discutono due proposte per calcolare l'imposta dovuta $C(x)$ (in migliaia di euro) a partire dal reddito imponibile $x$ (in migliaia di euro), con un cambio di aliquota al superamento dei $20$ mila euro ($15\,\%$ nel primo scaglione e $30\,\%$ da lì in poi):

• Proposta A (aliquota unica applicata al totale secondo lo scaglione raggiunto):

$$C_A(x) = \begin{cases} 0,15x & \text{si } 0 \le x \le 20 \\ 0,30x & \text{si } x > 20 \end{cases}$$

• Proposta B (scaglioni marginali progressivi):

$$C_B(x) = \begin{cases} 0,15x & \text{si } 0 \le x \le 20 \\ 0,15 \cdot 20 + 0,30(x - 20) & \text{si } x > 20 \end{cases}$$

1. a) Studia analiticamente la continuità di $C_A(x)$ e di $C_B(x)$ nel punto critico $x = 20$. Se una delle due presenta una discontinuità, classificala e calcola l'ampiezza del salto.
2. b) Si definisce reddito netto disponibile del contribuente dopo aver pagato l'imposta $S(x) = x - C(x)$. Scrivi l'espressione analitica a tratti di $S_A(x)$ e di $S_B(x)$, e analizza la continuità di entrambe in $x = 20$.
3. c) Calcola il reddito netto che resta a un contribuente con un imponibile di $20$ mila euro e a un altro con un imponibile di $20,01$ mila euro (appena dieci euro di reddito lordo in più) con entrambi i sistemi. Utilizza i concetti di limite e continuità per spiegare quale anomalia economica genera la Proposta A (nota in economia come «errore di salto») e perché la continuità matematica della Proposta B è indispensabile per garantire l'equità fiscale.