Esercizi: Regole di derivazione

Un creatore di contenuti ha osservato che il numero di visualizzazioni di uno dei suoi video su un social network segue la funzione $f(t) = t^2 + 20t + 100$, dove $t$ è il tempo in ore da quando è stato pubblicato.

Calcola il tasso di variazione medio del numero di visualizzazioni nell'intervallo $[1, 4]$. Interpreta il risultato ottenuto nel contesto del problema.

Calcola la funzione derivata delle seguenti funzioni polinomiali utilizzando le regole di derivazione di base:

1. a) $f(x) = 5x^3 - 2x^2 + 7x - 10$

1. b) $g(x) = \frac{1}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 - 5$

1. c) $h(x) = x^5 - \sqrt{2}x$

Data la funzione $f(x) = (3x - 5) \cdot e^x$, trova la sua derivata applicando la regola del prodotto. Semplifica il risultato mettendo in evidenza il fattore comune, se possibile.

Calcola la derivata della seguente funzione razionale utilizzando la regola del quoziente:

Indica per quali valori di $x$ non esiste la derivata di questa funzione in base al suo dominio.

Trova l'equazione della retta tangente al grafico della funzione $f(x) = x^2 - 4x + 1$ nel punto di ascissa $x = 3$.

La figura mostra il grafico di $f$ e il punto $P$ della curva con tale ascissa.

Applica la regola della catena per trovare la derivata delle seguenti funzioni composte:

1. a) $f(x) = (2x^2 + 1)^4$

1. b) $g(x) = \ln(5x - 2)$

1. c) $h(x) = e^{3x^2}$

Il costo totale (in euro) di fabbricazione di $x$ unità di un modello di scarpe da ginnastica personalizzate è dato dalla funzione $C(x) = 0,5x^2 + 10x + 200$.

1. a) Calcola la funzione di costo marginale $C'(x)$.

1. b) Trova il costo marginale quando si producono 20 unità e interpreta cosa significa questo valore per l'azienda.

Data la funzione $f(x) = \sqrt{x^2 + 9}$, calcola la sua derivata utilizzando la regola della catena. Una volta ottenuta, trova il valore del coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto $x = 4$.

In un compito di matematica, Lucia doveva trovare la funzione derivata di $f(x) = (x^2 - 3x) \cdot e^x$. Sul suo foglio ha scritto quanto segue:

Quando le è stata chiesta una giustificazione, ha argomentato: «ho derivato il polinomio tra parentesi, che dà $2x - 3$, e poi l'ho moltiplicato per la derivata di $e^x$, che è la funzione stessa».

1. a) Spiega in modo motivato qual è l'errore concettuale di Lucia e quale regola di derivazione ha omesso.
2. b) Correggi l'esercizio svolgendo passo dopo passo la derivata corretta mediante la regola corrispondente e semplifica il risultato mettendo in evidenza il fattore comune.

Per calcolare la derivata della funzione razionale $g(x) = \dfrac{4x^5 - 6x^2 + 1}{2x^2}$ nel suo dominio ($x \neq 0$), due compagni di classe propongono strategie diverse:

• Marco sostiene che l'unico modo corretto è applicare direttamente la regola della derivata del quoziente: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.

• Sara propone di dividere prima ogni termine del numeratore per il denominatore per trasformare $g(x)$ in una somma di potenze di $x$, e poi derivare termine a termine.

1. a) Deriva la funzione seguendo il metodo proposto da Sara.
2. b) Giustifica quale dei due metodi risulta più efficiente in questo caso concreto e spiega perché la proposta di Marco comporta un maggior rischio di errori algebrici.

Calcola la funzione derivata delle seguenti funzioni utilizzando le regole di derivazione e semplifica il risultato finale quando possibile:

1. a) $f(x) = \sqrt[3]{(5x^2 - 1)^2}$

1. b) $g(x) = \ln\left(\dfrac{x^2 + 3}{x - 2}\right)$ (utilizza le proprietà dei logaritmi prima di derivare).

1. c) $h(x) = 3^{x^2} \cdot (2x + 5)$

Un'azienda di cosmetica ha stimato che l'utile giornaliero (in centinaia di euro) generato dalla vendita di un nuovo siero per il viso segue la funzione $B(t) = 20t \cdot e^{-0,2t}$, dove $t$ è il tempo in mesi dal lancio. La figura mostra il grafico di $B(t)$ e indica il punto corrispondente a $t=5$.

1. a) Ottieni l'espressione della funzione $B'(t)$, che rappresenta il ritmo di variazione dell'utile.

1. b) Calcola il valore della derivata a 5 mesi dal lancio e interpreta il risultato ottenuto in termini economici.

Determina i valori dei parametri $a$ e $b$ affinché la seguente funzione sia continua e derivabile in tutto l'insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$:

$f(x) = \begin{cases} ax^2 + 3x & \text{si } x \le 2 \\ \dfrac{b}{x} + 1 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Data la funzione $f(x) = \dfrac{x^2 + k}{x - 1}$, calcola il valore della costante $k$ sapendo che il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di $f(x)$ nel punto di ascissa $x = 2$ è uguale a $-3$. Una volta trovato $k$, scrivi l'equazione completa di tale retta tangente.

Considera la curva $y = x^3 - 6x^2 + 4$ e la retta $r: y = -9x + 2$.

1. a) Trova i punti della curva in cui la retta tangente è parallela alla retta $r$.

1. b) Scrivi le equazioni delle rette tangenti alla curva in tali punti.

Applica la tecnica della derivazione logaritmica per trovare l'espressione della funzione derivata di:

$f(x) = (x^2 + 1)^{\ln(x)}$

Si considera la funzione $f(x) = \dfrac{e^{2x}}{x^2 + 1}$.

1. a) Calcola la sua funzione derivata $f'(x)$ semplificando al massimo l'espressione.

1. b) Determina se esiste qualche punto in cui la curva ha una tangente orizzontale (coefficiente angolare nullo). In caso affermativo, indica le coordinate di tale punto.

Data la funzione $f(x) = x^2 \cdot \ln(x)$, calcola:

1. a) La derivata prima $f'(x)$.

1. b) La derivata seconda $f''(x)$.

1. c) L'equazione della retta normale al grafico nel punto di ascissa $x = e$. (Ricorda che la retta normale è perpendicolare alla tangente nel punto di contatto).

Secondo un rapporto sul commercio elettronico in Italia, il numero di clienti attivi mensili di una piattaforma digitale (in migliaia) segue la funzione $C(t) = 5 + 2t$, dove $t$ indica il mese dell'anno ($t \in [1, 12]$). Da parte sua, la spesa media mensile per cliente (in euro) diminuisce leggermente nel corso dell'anno secondo la funzione $G(t) = 40 \cdot e^{-0,05t}$.

I ricavi mensili totali della piattaforma (in migliaia di euro) sono modellizzati dal prodotto $I(t) = C(t) \cdot G(t)$.

1. a) Applica la regola del prodotto per ottenere l'espressione algebrica semplificata della funzione dei ricavi marginali, $I'(t)$.
2. b) Calcola $I'(6)$ arrotondando a due cifre decimali e interpreta il suo significato socioeconomico: i ricavi della piattaforma crescono o diminuiscono alla fine del primo semestre dell'anno? Giustifica la risposta.

La percentuale di famiglie di un comune italiano che hanno aderito a un nuovo programma comunale di compostaggio è modellizzata dalla funzione $R(t) = \dfrac{80t}{t + 3}$, dove $t$ rappresenta il tempo in mesi dal lancio ($t \ge 0$).

1. a) Prima di derivare, stima il ritmo di crescita istantaneo nel primo mese ($t = 1$) calcolando il tasso di variazione medio nell'intervallo $[1;\, 1,1]$. A partire da tale stima, anticipa in modo motivato il segno di $R'(1)$ e se il ritmo supererà o meno i $10$ punti percentuali al mese.
2. b) Ottieni la funzione derivata $R'(t)$ mediante la regola del quoziente, calcola il valore esatto di $R'(1)$ e verifica se la tua stima e le previsioni iniziali erano coerenti con il risultato analitico.

Calcola la funzione derivata della seguente espressione utilizzando la tecnica della derivazione logaritmica. Tieni presente che la base e l'esponente sono funzioni di $x$:

Indica tutti i passaggi intermedi, applicando correttamente le proprietà dei logaritmi prima di derivare.

Data la seguente funzione definita a tratti, determina i valori dei parametri $a$ e $b$ affinché la funzione sia derivabile in tutto il suo dominio (in particolare nel punto di raccordo $x = 1$):

Trova le equazioni delle rette tangenti alla curva $f(x) = x^2 - 4x + 3$ che passano per il punto esterno $P(2, -5)$.

Suggerimento: ricorda che il punto $P$ non appartiene necessariamente al grafico della funzione. Devi impostare il coefficiente angolare della retta tangente in un punto generico $(a, f(a))$ e uguagliarlo al coefficiente angolare della retta che unisce quel punto con $P$.

Un'azienda di biotecnologie ha modellizzato il costo totale di produzione (in migliaia di euro) di un nuovo farmaco mediante la funzione:

dove $x$ è il numero di lotti prodotti.

1. Calcola la funzione del costo marginale $C'(x)$.

2. Determina il ritmo con cui varia il costo quando si producono esattamente 4 lotti.

Data la funzione razionale $f(x) = \frac{1}{2x - 3}$, ottieni un'espressione generale per la sua derivata n-esima, $f^{(n)}(x)$.

Per farlo, calcola le derivate di ordine 1, 2, 3 e 4, individua lo schema numerico e dei segni e scrivilo in funzione di $n$ e del fattoriale $n!$.

Calcola la derivata della seguente funzione composta, semplificando al massimo il risultato finale:

Nota: l'uso delle identità trigonometriche dopo aver derivato può aiutarti a semplificare l'espressione in modo sorprendente.

Determina i valori di $a, b \in \mathbb{R}$ affinché la funzione $f(x) = \dfrac{ax + b}{x^2 - 4}$ abbia un estremo relativo nel punto $P(0, -1)$. Una volta trovati i parametri, utilizza la derivata seconda per confermare se si tratta di un massimo o di un minimo.

Il numero di utenti attivi di un nuovo social network (in milioni) segue un modello di crescita logistica dato dalla funzione:

dove $t$ è il tempo in mesi dal lancio.

1. Trova la funzione $N'(t)$ che rappresenta la velocità di crescita del social network.

2. In quale mese il ritmo di crescita degli utenti è massimo?

Suggerimento: devi trovare il massimo della funzione derivata $N'(t)$, il che implica calcolare la derivata seconda $N''(t)$ e porla uguale a zero.

L'ufficio contabilità di una cooperativa agricola stima che i suoi utili cumulati (in migliaia di euro) nel tempo si possano modellizzare con una funzione della forma $B(x) = (ax + b) \cdot e^{-0,2x}$, dove $x$ misura i trimestri trascorsi dalla sua rifondazione e i parametri $a, b \in \mathbb{R}$ sono costanti incognite.

Si dispone di due dati provenienti dagli audit:

1. All'istante iniziale ($x = 0$) la cooperativa aveva un debito di $10.000$ € ($B(0) = -10$).

2. Il tasso di variazione istantaneo dell'utile in quell'istante iniziale ($x = 0$) era positivo ed esattamente uguale a $7$ migliaia di euro per trimestre ($B'(0) = 7$).

1. a) Ottieni l'espressione della funzione derivata $B'(x)$ in funzione dei parametri $a$ e $b$ applicando con rigore la regola del prodotto.
2. b) Imposta il sistema di equazioni necessario e ricava i valori numerici esatti di $a$ e $b$.
3. c) Stabilisci in modo motivato in quale trimestre $x$ l'utile marginale si annulla ($B'(x) = 0$) e spiega quale rilevanza ha quel punto per la crescita dei guadagni della cooperativa.

In una classe di quinto liceo nasce un dibattito su come derivare la funzione $f(x) = x^{2x}$ definita per $x > 0$. Due studenti cercano di risolverlo applicando direttamente le regole della tabella di base:

• Davide afferma: «Considero la base come variabile e l'esponente costante; applico la regola della potenza $(u^n)' = n u^{n-1} u'$, ottenendo $f'_D(x) = 2x \cdot x^{2x - 1} = 2x^{2x}$».

• Elena replica: «No, la base si considera costante e l'esponente variabile; applico la regola dell'esponenziale $(a^u)' = a^u \ln(a) u'$, ottenendo $f'_E(x) = x^{2x} \cdot \ln(x) \cdot 2$».

1. a) Spiega perché entrambi i ragionamenti sono matematicamente errati e perché nessuna riga della tabella elementare permette di derivare direttamente questa funzione.
2. b) Sviluppa il metodo della derivazione logaritmica per ottenere la derivata corretta $f'(x)$: prendi i logaritmi naturali, applica le proprietà dei logaritmi, deriva entrambi i membri usando la regola della catena e del prodotto, e ricava $f'(x)$.
3. c) Confronta la derivata corretta che hai ottenuto con la somma dei risultati di Davide ed Elena ($f'_D(x) + f'_E(x)$) e formula una conclusione motivata su tale coincidenza.