Esercizi: Derivata di una funzione in un punto

Un creatore di contenuti ha osservato che il numero di follower del suo canale durante la prima settimana segue la funzione $f(t) = t^2 + 2t + 100$, dove $t$ è il tempo in giorni.

Calcola il tasso di variazione medio del numero di follower tra il secondo giorno ($t = 2$) e il quinto giorno ($t = 5$). Che significato ha questo valore nel contesto del problema?

Osserva il seguente grafico della funzione $f(x)$ e la retta tangente ad essa nel punto $P$.

A partire dalle informazioni visive, indica in modo motivato qual è il valore della derivata della funzione nel punto di ascissa $x = 2$, cioè trova $f'(2)$.

Data la funzione polinomiale $f(x) = x^2 - 4x + 5$, calcola il valore della sua derivata nel punto $x = 3$ utilizzando la definizione di derivata mediante il limite:

Trova l'equazione della retta tangente al grafico della funzione $f(x) = 3x^2 - 5$ nel punto di ascissa $x = 1$.

Nota: ricorda che l'equazione della retta tangente è data da $y - f(a) = f'(a)(x - a)$.

Il numero di download di una nuova app di tendenza, in migliaia, è dato dalla funzione $D(t) = 2t^2 - t$, dove $t$ è il tempo in ore dal lancio.

Calcola la velocità istantanea di download (la derivata) all'istante $t = 4$ ore utilizzando il limite:

Data la funzione razionale $f(x) = \frac{2}{x}$, calcola $f'(2)$ applicando la definizione di derivata in un punto. Spiega se la funzione è crescente o decrescente in quel punto in base al segno del risultato.

Determina i punti del grafico della funzione $f(x) = x^2 - 6x$ in cui la retta tangente è orizzontale.

Suggerimento: una retta è orizzontale quando il suo coefficiente angolare è uguale a zero.

Si considera la funzione definita a tratti:

Studia la derivabilità della funzione nel punto $x = 2$ verificando se le derivate laterali esistono e sono uguali. La funzione è continua in tale punto?

In un compito di matematica al liceo, Sergio deve calcolare l'equazione della retta normale al grafico della funzione $f(x) = 2x^2 - 6x + 5$ nel punto di ascissa $x = 2$. Il suo svolgimento sul foglio è il seguente:

1. Calcola l'ordinata del punto: $f(2) = 2\cdot 2^2 - 6\cdot 2 + 5 = 1$. Il punto di tangenza è $(2, 1)$.

2. Deriva la funzione: $f'(x) = 4x - 6$, da cui ottiene il coefficiente angolare della curva: $f'(2) = 4\cdot 2 - 6 = 2$.

3. Sergio scrive: «Poiché la retta normale è perpendicolare alla tangente, il suo coefficiente angolare è l'opposto, cioè $m_n = -2$».

4. Scrive l'equazione della retta per un punto: $y - 1 = -2(x - 2)$, che semplificata dà $y = -2x + 5$.

1. a) Individua e spiega in modo motivato l'errore concettuale commesso da Sergio al passo 3, ricordando la relazione geometrica che devono soddisfare i coefficienti angolari di due rette perpendicolari.
2. b) Correggi l'esercizio determinando l'equazione corretta della retta normale in tale punto.
3. c) Verifica se la retta normale che hai ottenuto passa per il punto $(4, 0)$.

Una cooperativa agricola della Puglia ha stimato che il costo totale giornaliero (in euro) per confezionare $x$ taniche di olio extravergine di oliva è dato dalla funzione:

Attualmente la cooperativa confeziona $x = 50$ taniche al giorno.

1. a) Stima: senza usare le derivate, calcola il costo reale di confezionamento della cinquantunesima tanica mediante la differenza $C(51) - C(50)$. A partire da questo incremento, stima quanto dovrebbe valere approssimativamente il costo marginale o tasso di variazione istantaneo $C'(50)$.
2. b) Verifica: calcola in modo esatto $C'(50)$ applicando rigorosamente la definizione di derivata mediante il limite del rapporto incrementale:

1. c) Valuta: confronta il costo reale ottenuto al punto (a) con il valore istantaneo calcolato in (b). Spiega perché in economia la derivata è un'ottima approssimazione per stimare il costo di un'unità aggiuntiva e qual è la differenza esatta tra i due valori.

Utilizza la definizione di derivata in un punto mediante il calcolo del limite:

per trovare il valore della derivata della funzione $f(x) = \frac{3}{x-2}$ nel punto di ascissa $x = 4$. Spiega il significato geometrico del risultato ottenuto in relazione al coefficiente angolare della curva in quel punto.

Un'azienda di spedizioni ha verificato che il costo di spedizione di un pacco (in euro) dipende dal suo peso $x$ (in kg) secondo la funzione $C(x) = \sqrt{4x + 9}$. Calcola, usando la definizione di derivata come limite, il tasso di variazione istantaneo del costo per un pacco che pesa esattamente $4$ kg e interpreta il risultato in termini economici (costo marginale).

Trova l'equazione della retta tangente al grafico della funzione $f(x) = x^2 - 5x + 2$ nel punto in cui la funzione interseca l'asse delle ordinate (asse $Y$).

Data la funzione definita a tratti:

Calcola i valori di $a$ e $b$ affinché la funzione sia derivabile nel punto $x = 2$. Ricorda che, affinché una funzione sia derivabile in un punto, deve prima essere continua in esso.

Il numero di utenti di un nuovo social network (in migliaia) evolve secondo la funzione $U(t) = \frac{20t}{t+2}$, dove $t$ è il tempo in mesi dal lancio. Si chiede di:

1. Trovare il tasso di variazione medio degli utenti tra il mese $t=1$ e il mese $t=3$.

2. Trovare il tasso di crescita istantaneo (derivata) al mese $t=2$ mediante le regole di derivazione e confrontare i due valori.

Determina i punti del grafico della funzione $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 2x + 5$ in cui la retta tangente è parallela alla retta $y = 1 - 2x$.

Studia la derivabilità della funzione $f(x) = |x^2 - 4|$ nel punto $x = 2$ calcolando le sue derivate laterali. Interpreta graficamente perché la funzione non è derivabile in quel valore dell'ascissa.

Trova l'equazione della retta normale alla curva $f(x) = e^{x-1} + 2x$ nel punto di ascissa $x = 1$. Ricorda che la retta normale è perpendicolare alla retta tangente nel punto di contatto.

Durante una giornata primaverile soleggiata, la potenza elettrica istantanea (in megawatt, MW) generata da un parco solare fotovoltaico situato a Foggia è modellizzata dalla funzione:

dove $t$ rappresenta l'ora solare del giorno, valida nell'intervallo di radiazione effettiva $6 \le t \le 20$.

1. a) Calcola il tasso di variazione istantaneo della potenza alle 10:00 ($t = 10$) e alle 16:00 ($t = 16$). Interpreta il significato fisico e operativo del segno del risultato ottenuto in ciascun caso.
2. b) Determina l'equazione della retta tangente alla curva della potenza alle 11:00 ($t = 11$). Quale informazione fornisce il coefficiente angolare di questa retta agli operatori della rete elettrica sul ritmo di immissione di energia in quel momento?
3. c) I tecnici di controllo di Terna devono programmare i sistemi di accumulo per l'istante in cui la potenza smette di crescere e comincia a diminuire, cioè quando il tasso di variazione istantaneo si annulla ($P'(t) = 0$). Trova a che ora esatta avviene questo fatto e calcola la potenza massima generata.

Si considera la funzione economica $f(x) = \dfrac{a}{x} + bx$, definita per ogni $x \ne 0$, dove $a$ e $b$ sono parametri reali costanti. Si sa che nel punto di ascissa $x = 1$ la retta tangente al grafico di $f$ è parallela alla retta $r: 5x - y + 3 = 0$ e che inoltre il grafico di $f$ passa per il punto $P(1, 7)$.

1. a) Imposta il sistema di equazioni opportuno a partire dalle informazioni del testo e determina in modo giustificato i valori di $a$ e $b$.
2. b) Scrivi l'equazione della retta normale al grafico di $f$ nel punto di ascissa $x = 1$.
3. c) Esiste un altro punto del grafico di $f$ in cui la retta tangente sia parallela alla retta $r$? In caso affermativo, calcola le sue coordinate e l'equazione di tale tangente; in caso negativo, giustifica matematicamente perché non è possibile.

Un'azienda di logistica ha modellizzato il costo di manutenzione della sua flotta di furgoni elettrici mediante una funzione $f(x)$ definita a tratti. Per assicurare che non vi siano variazioni brusche nei costi operativi, la funzione deve essere derivabile in tutto il suo dominio. Determina i valori di $a$ e $b$ affinché la funzione sia derivabile in $x = 1$:

Calcola, utilizzando esclusivamente la definizione di derivata mediante il limite del rapporto incrementale ($h \to 0$), il valore di $f'(4)$ per la funzione:

Giustifica ogni passaggio del procedimento, in particolare l'eliminazione della forma indeterminata.

La traiettoria di un drone per le consegne segue la curva $f(x) = x^2 - 6x + 8$ (in ettometri). L'operatore del drone vuole programmare una manovra di avvicinamento in linea retta a partire da un punto $P(a, f(a))$ della traiettoria, in modo tale che la retta tangente alla curva in quel punto passi esattamente per la stazione di ricarica, situata nell'origine delle coordinate $(0,0)$.

Trova le coordinate dei possibili punti di tangenza e le equazioni di tali rette.

Studia la derivabilità della funzione $f(x) = x \cdot |x - 2|$ nel punto $x = 2$. Per farlo:

1. Esprimi la funzione come funzione definita a tratti.

2. Calcola le derivate laterali in $x = 2$ usando la definizione di derivata.

3. Interpreta graficamente se il punto $(2, f(2))$ è un "punto angoloso" o un punto di "transizione liscia".

La funzione dei ricavi di una startup tecnologica è data da $I(x) = \frac{400x}{x+2}$, dove $x$ è l'investimento in marketing in migliaia di euro e $I(x)$ i ricavi in migliaia di euro.

1. Calcola il tasso di variazione medio (TVM) nell'intervallo $[2; 2,5]$.

2. Calcola il tasso di variazione istantaneo (derivata) in $x = 2$.

3. Quale errore si commette se si usa la derivata in $x=2$ per stimare l'incremento dei ricavi passando da 2 a 2,5 migliaia di euro di investimento?

Trova l'equazione della retta normale al grafico della funzione $f(x) = e^{2x-4}$ nel punto in cui il grafico interseca la retta orizzontale $y = 1$. Ricorda che la retta normale è perpendicolare alla tangente nel punto di contatto.

Si consideri la funzione $f(x) = \frac{k}{x^2+1}$. Determina il valore del parametro $k \neq 0$ affinché la retta tangente alla curva nel punto di ascissa $x = 1$ formi un angolo di $135^\circ$ con il verso positivo dell'asse $OX$. Una volta trovato $k$, scrivi l'equazione di tale retta tangente.

Data la funzione $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$, determina i valori dei parametri $a, b$ e $c$ sapendo che:

1. Il grafico di $f(x)$ passa per il punto $(0, 5)$.

2. Il coefficiente angolare della retta tangente in $x = 0$ è minimo.

3. Esiste un punto stazionario (derivata nulla) in $x = 2$.

Due studenti di quinto liceo discutono su come analizzare se la funzione $f(x) = |x - 2| + x^2 - 3x$ è derivabile nel punto $x = 2$:

• Elena propone il Metodo A (Definizione formale mediante limiti del rapporto incrementale): calcolare direttamente le derivate laterali mediante:

• Carlo propone il Metodo B (Scomposizione in rami e derivazione funzionale): esprimere $f(x)$ come funzione definita a tratti eliminando il valore assoluto, verificare la continuità in $x = 2$, derivare ciascun ramo con le regole di derivazione e calcolare i limiti laterali $\lim_{x\to 2^-} f'(x)$ e $\lim_{x\to 2^+} f'(x)$.

1. a) Applica nel dettaglio il Metodo A calcolando entrambi i limiti laterali per determinare se $f$ è derivabile in $x = 2$.
2. b) Applica nel dettaglio il Metodo B, verificando prima la continuità e trovando poi le derivate laterali mediante le regole pratiche. Verifica che si giunge alla stessa conclusione.
3. c) Scegli e giustifica il metodo: Confronta criticamente i due percorsi. Perché nel Metodo B è un requisito logico indispensabile verificare la continuità di $f(x)$ prima di uguagliare le derivate dei rami? Spiega quale errore si commetterebbe applicando direttamente le regole di derivazione se la funzione presentasse una discontinuità a salto in $x = 2$.
4. d) Alla luce del risultato, spiega se la curva ammette un'unica retta tangente in $(2, f(2))$ e ragiona geometricamente su quale figura formano le semirette tangenti in quel punto.

Nel piano strategico di lancio di un'applicazione di servizi finanziari in Italia, l'utile netto cumulato stimato (in migliaia di euro) segue la curva:

dove $x$ è la spesa destinata all'acquisizione digitale (in decine di migliaia di euro), con un intervallo di fattibilità di bilancio $x \in [1, 7]$.

Un fondo di investimento offre un contratto di finanziamento strutturato il cui apporto segue una relazione lineare. Tale finanziamento parte da un saldo iniziale garantito di $20\,000$ euro quando l'investimento in acquisizione è nullo (cioè la retta passa per il punto $(0, 2)$ nelle unità del modello). Per garantire che l'integrazione del capitale non generi tensioni finanziarie né salti di redditività, si richiede che la retta di finanziamento sia strettamente tangente alla curva degli utili in un punto di ascissa incognita $x = a \in [1, 7]$.

1. a) Scrivi l'equazione del fascio di rette passanti per il punto esterno $(0, 2)$ in funzione del loro coefficiente angolare $m$.
2. b) Formula il sistema di equazioni che mette in relazione l'ascissa di tangenza $a$, il valore della funzione $B(a)$ e la derivata istantanea $B'(a)$ per assicurare che la retta sia tangente alla curva in $(a, B(a))$.
3. c) Risolvi il sistema precedente. Ragiona su quale delle soluzioni matematiche ottenute sia l'unica economicamente ammissibile nell'intervallo di fattibilità $[1, 7]$, e determina le coordinate esatte del punto di tangenza e l'equazione esplicita della retta di finanziamento.
4. d) Trova l'equazione della retta normale alla curva degli utili in tale punto di tangenza e spiega il significato geometrico del suo coefficiente angolare rispetto alla traiettoria di finanziamento fissata.