Esercizi: Formule di sottrazione degli angoli

Calcola il valore esatto di $\cos(15^\circ)$ senza usare la calcolatrice, applicando la formula del coseno della differenza di due angoli e sapendo che $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$.

Trova il valore esatto di $\sin(15^\circ)$ esprimendo l'angolo come la differenza $60^\circ - 45^\circ$ e applicando l'identità corrispondente.

Determina il valore esatto di $\tan(15^\circ)$ a partire dalle tangenti degli angoli notevoli $45^\circ$ e $30^\circ$. Razionalizza il risultato se necessario.

Semplifica l'espressione $\sin(90^\circ - x)$ applicando la formula del seno della differenza di due angoli e verifica che equivale a una delle funzioni trigonometriche fondamentali dell'angolo $x$.

Sapendo che $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ e $\cos \beta = \frac{12}{13}$, e che sia $\alpha$ sia $\beta$ sono angoli del primo quadrante, calcola il valore esatto di $\sin(\alpha - \beta)$.

Semplifica al massimo la seguente espressione trigonometrica: $\cos(x) \cos(y) + \sin(x) \sin(y)$. Poi usa il risultato semplificato per calcolare in modo esatto l'espressione quando $x = 75^\circ$ e $y = 15^\circ$.

Dimostra passo per passo che $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$ usando la formula del coseno della differenza di angoli.

Calcola il valore esatto di $\tan(105^\circ)$ usando la formula della differenza di angoli, considerando che $105^\circ = 135^\circ - 30^\circ$.

Marco sta risolvendo un esercizio in cui deve calcolare il valore esatto di $\cos(15^\circ)$ applicando la formula del coseno della differenza con $15^\circ = 60^\circ - 45^\circ$. Nel compito scrive il seguente svolgimento:

Controllando il risultato con la calcolatrice, nota con sorpresa che ottiene un numero negativo (circa $-0,26$), cosa che sa essere impossibile perché $15^\circ$ appartiene al primo quadrante e il suo coseno deve essere positivo.

1. a) Individua con precisione l'errore commesso da Marco e spiega, basandoti sulla parità delle funzioni trigonometriche ($\cos(-x) = \cos x$ e $\sin(-x) = -\sin x$), perché nella formula del coseno della differenza compare un segno positivo centrale.
2. b) Correggi il calcolo e trova il valore esatto e semplificato di $\cos(15^\circ)$.

Ti proponi di calcolare il valore esatto di $\sin(15^\circ)$ mediante le funzioni trigonometriche di angoli notevoli.

1. a) Prima di fare qualsiasi calcolo analitico, stima con un ragionamento tra quali due semplici limiti decimali deve trovarsi $\sin(15^\circ)$: sapendo che $\sin(0^\circ) = 0$ e $\sin(30^\circ) = 0,5$, e tenendo conto che il grafico della funzione seno nell'intervallo $[0^\circ, 30^\circ]$ è concavo verso il basso (sta sopra la corda che unisce l'origine con il punto $(30^\circ; 0,5)$), stabilisci se $\sin(15^\circ)$ deve essere strettamente maggiore, minore o uguale a $0,25$.
2. b) Scomponi $15^\circ$ come $45^\circ - 30^\circ$ e applica la formula di $\sin(\alpha - \beta)$ per ottenere l'espressione algebrica esatta e semplificata di $\sin(15^\circ)$.
3. c) Usando le approssimazioni $\sqrt{2} \approx 1,414$ e $\sqrt{6} \approx 2,449$, calcola il valore decimale ottenuto con tre cifre decimali e verifica se la tua stima del punto a) era corretta.

In una simulazione di navigazione marittima, una nave deve correggere la propria rotta attuale. L'angolo di correzione necessario è dato dall'espressione $\alpha - \beta$. Sapendo che $\alpha$ e $\beta$ sono angoli acuti, con $\tan \alpha = 3$ e $\tan \beta = \frac{1}{2}$, calcola il valore esatto di $\tan(\alpha - \beta)$ e deduci l'ampiezza dell'angolo di correzione.

Semplifica la seguente espressione trigonometrica ed esprimila esclusivamente in funzione delle tangenti degli angoli $a$ e $b$:

$\frac{\sin(a - b)}{\cos a \cos b}$

Un raggio di luce attraversa due mezzi diversi con angoli di rifrazione $\alpha$ e $\beta$. Se per le proprietà dei materiali sappiamo che $\cos \alpha = \frac{3}{5}$ (con $\alpha$ angolo del quarto quadrante) e $\sin \beta = \frac{5}{13}$ (con $\beta$ angolo del secondo quadrante), determina il valore esatto di $\cos(\alpha - \beta)$.

Calcola in modo esatto, senza usare la calcolatrice, la seguente espressione trigonometrica, individuando a quale sviluppo corrisponde:

$\sin(75^\circ) \cos(15^\circ) - \cos(75^\circ) \sin(15^\circ)$

Due forze complanari sono applicate a un oggetto formando rispettivamente angoli $\alpha$ e $\beta$ con l'orizzontale. Se $\sin \alpha = \frac{8}{17}$ e $\cos \beta = \frac{4}{5}$ (con entrambi gli angoli nel primo quadrante), calcola il seno dell'angolo formato tra loro dalle due forze, cioè $\sin(\beta - \alpha)$.

Dimostra analiticamente che $\tan(45^\circ - x) = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}$. Usa questo risultato per trovare il valore esatto di $\tan(15^\circ)$ sapendo che $\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Sapendo che due angoli $\alpha$ e $\beta$ sono complementari ($\alpha + \beta = 90^\circ$), dimostra passo per passo che vale l'identità $\sin(\alpha - \beta) = \cos(2\beta)$.

In uno studio di mercato, i cicli di vendita stagionali di due prodotti sono modellati mediante funzioni trigonometriche. La differenza di fase che determina la concorrenza diretta è data dal valore di $\cos(x - y)$. Se $\sin x = \frac{1}{3}$ e $\cos y = \frac{2}{5}$, con $x$ nel primo quadrante e $y$ nel quarto quadrante, trova il valore esatto di $\cos(x - y)$.

Si conoscono i seguenti dati di due angoli: $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ con $\alpha \in (90^\circ, 180^\circ)$, e $\cos \beta = -\frac{5}{13}$ con $\beta \in (180^\circ, 270^\circ)$. Si chiede di calcolare il valore esatto di $\sin(\alpha - \beta)$. Per risolverlo, due compagni propongono strategie diverse:

• Metodo 1 (Diretto): Calcolare $\cos \alpha$ e $\sin \beta$ usando l'identità fondamentale $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ scegliendo il segno adeguato in base al quadrante di ciascun angolo, e poi applicare la formula di $\sin(\alpha - \beta)$.

• Metodo 2 (Indiretto): Calcolare $\tan \alpha$ e $\tan \beta$, applicare la formula della differenza di tangenti per trovare $\tan(\alpha - \beta)$, e a partire da questo valore dedurre $\sin(\alpha - \beta)$ mediante la relazione $1 + \tan^2(\alpha - \beta) = \frac{1}{\cos^2(\alpha - \beta)}$.

1. a) Sviluppa completamente il Metodo 1 e ottieni il valore esatto e semplificato di $\sin(\alpha - \beta)$.
2. b) Analizza criticamente il Metodo 2: spiega quale ambiguità fondamentale compare cercando di determinare il segno di $\sin(\alpha - \beta)$ solo a partire dalla sua tangente e giustifica perché il Metodo 1 è più diretto e sicuro.

Nel Parco Nazionale del Gran Paradiso, una squadra del soccorso alpino pianifica l'evacuazione di un escursionista su una parete verticale. Dal punto di osservazione nella valle, la visuale verso la cima della parete forma con l'orizzontale un angolo $\alpha$ tale che $\tan \alpha = \frac{5}{2}$, mentre la visuale verso la base della parete forma con l'orizzontale un angolo $\beta$ con $\tan \beta = \frac{3}{7}$ (entrambi gli angoli nel primo quadrante). L'angolo totale sotto cui si vede la parete dal punto di osservazione è $\theta = \alpha - \beta$.

1. a) Modellizza la situazione applicando la formula della tangente della differenza per determinare il valore esatto e ridotto ai minimi termini di $\tan \theta = \tan(\alpha - \beta)$.
2. b) A partire dal risultato ottenuto, deduci senza calcolatrice la misura esatta dell'angolo visuale $\theta$ in gradi sessagesimali.
3. c) Il protocollo aeronautico di soccorso stabilisce che se l'angolo visuale $\theta$ supera i $40^\circ$, le turbolenze termiche della parete impediscono un avvicinamento frontale e l'elicottero deve entrare dal fianco laterale. Giustifica con un ragionamento quale manovra deve ordinare il pilota, basandoti sul tuo calcolo.

Risolvi la seguente equazione trigonometrica, trovando tutte le soluzioni possibili nell'intervallo $0^\circ \leq x < 360^\circ$:

$\sin(x - 30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Dimostra la seguente identità trigonometrica combinando opportunamente le formule di addizione e sottrazione degli angoli per il seno e il coseno:

$\frac{\cos(a - b) - \cos(a + b)}{\sin(a + b) + \sin(a - b)} = \tan b$

Un topografo osserva una scogliera di altezza $H$ e, situato proprio sul bordo sopra di essa, un faro di altezza $h$. Dalla sua posizione, a una distanza orizzontale $d$, l'angolo di elevazione fino alla base del faro è $\beta$ e fino alla sommità del faro è $\alpha$. Esprimi la tangente dell'angolo sotto cui si vede esclusivamente il faro, cioè $\tan(\alpha - \beta)$, in funzione soltanto delle distanze $H$, $h$ e $d$.

Risolvi il seguente sistema di equazioni trigonometriche sapendo che sia $x$ sia $y$ sono angoli appartenenti al primo quadrante:

$\sin x \cos y = \frac{3}{4}$

$\cos x \sin y = \frac{1}{4}$

Suggerimento: Calcola prima il valore di $\sin(x - y)$ e $\sin(x + y)$ sommando e sottraendo le due equazioni.

Nella progettazione di un braccio robotico, l'angolo di rotazione dell'articolazione finale dipende dalla differenza di due angoli di controllo interni $\alpha$ e $\beta$. Se la tangente dell'angolo risultante è $\tan(\alpha - \beta) = \frac{1}{2}$ e per vincoli meccanici sappiamo che $\tan \alpha = 3 \tan \beta$, determina i possibili valori esatti di $\tan \beta$.

Dimostra analiticamente che $\sin(\alpha - \beta) \cdot \sin(\alpha + \beta) = \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta$. Poi usa questo risultato algebrico per calcolare mentalmente il valore esatto dell'espressione $\sin(75^\circ) \cdot \sin(15^\circ)$.

Risolvi la seguente equazione trigonometrica, determinando tutte le soluzioni possibili nell'intervallo $[0, 2\pi)$ radianti:

$\cos(x - 45^\circ) + \cos(x + 45^\circ) = 1$

In un circuito in corrente alternata, la differenza di potenziale tra due nodi è data dalla sovrapposizione di due segnali sfasati: $V(t) = 10 \sin(\omega t) - 10 \sin(\omega t - \frac{\pi}{3})$. Usa le formule trigonometriche della differenza di angoli per esprimere la differenza di potenziale $V(t)$ nella forma semplificata $A \sin(\omega t + \phi)$, determinando i valori di $A$ e $\phi$.

Nella progettazione di un sensore ottico in un laboratorio di fisica dell'Università di Bologna, si richiede che due fasci luminosi sfasati di angoli acuti $\alpha$ e $\beta$ (con $\alpha, \beta \in (0^\circ, 90^\circ)$) soddisfino la seguente condizione di sintonizzazione:

1. a) Sviluppa entrambi i membri applicando rispettivamente le formule del coseno della differenza e del seno della somma di due angoli.
2. b) Porta tutti i termini al primo membro e scomponi l'espressione ottenuta mediante raccoglimento parziale per dimostrare che l'uguaglianza precedente richiede necessariamente che $\tan \alpha = 1$ oppure $\tan \beta = 1$. Quali ampiezze angolari esatte in gradi implica questo per $\alpha$ o $\beta$?
3. c) Giustifica perché questo risultato era prevedibile ricorrendo esclusivamente alla proprietà delle funzioni trigonometriche di angoli complementari ($\cos x = \sin(90^\circ - x)$), senza bisogno dello sviluppo algebrico del punto a), e fornisci una coppia concreta di angoli acuti distinti $(\alpha, \beta)$ che soddisfino l'uguaglianza.

In una sala espositiva della Galleria degli Uffizi (Firenze), una tela alta $3\text{ m}$ è appesa verticalmente a una parete. Il bordo inferiore del quadro si trova $2\text{ m}$ sopra l'altezza degli occhi dei visitatori. Un osservatore si trova in piedi a una distanza orizzontale di $x$ metri dalla parete ($x > 0$). Si definisce $\alpha$ l'angolo di elevazione dagli occhi del visitatore al bordo superiore del quadro, e $\beta$ l'angolo di elevazione al bordo inferiore, in modo che l'angolo visuale totale sotto cui si osserva la tela è $\theta(x) = \alpha - \beta$.

1. a) Esprimi $\tan \alpha$ e $\tan \beta$ in funzione della distanza orizzontale $x$.
2. b) Dimostra, applicando la formula della tangente della differenza di due angoli, che la tangente dell'angolo visuale è data da:

1. c) Per massimizzare la visione dei dettagli dell'opera pittorica si cerca la distanza $x$ che rende massimo l'angolo $\theta(x)$ (e, di conseguenza, $\tan \theta(x)$). Sapendo che $\frac{3x}{x^2+10} = \frac{3}{x + \frac{10}{x}}$ e che l'espressione $x + \frac{10}{x}$ per $x > 0$ raggiunge il minimo quando i due addendi sono uguali ($x = \frac{10}{x}$), calcola la distanza esatta in metri a cui deve porsi il visitatore per ottenere la prospettiva migliore e trova il valore esatto di $\tan \theta$ in tale posizione ottimale.