Esercizi: Rapporti trigonometrici reciproci

Sapendo che $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ e che $\alpha$ è un angolo del primo quadrante, calcola il valore esatto di $\csc \alpha$ e $\sec \alpha$.

Determina il valore esatto di $\sec 60^\circ$ e $\cot 45^\circ$ senza usare la calcolatrice.

Se $\tan \beta = \frac{4}{3}$ e $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$, usa la relazione fondamentale $1 + \tan^2 \beta = \sec^2 \beta$ per calcolare $\sec \beta$.

Semplifica al massimo la seguente espressione trigonometrica: $\cos x \cdot \sec x + \sin x \cdot \csc x$.

Un angolo $\gamma$ soddisfa $\sec \gamma < 0$ e $\csc \gamma > 0$. Stabilisci, motivando, in quale quadrante della circonferenza goniometrica si trova l'angolo $\gamma$.

Sapendo che $\cos \theta = \frac{1}{3}$, calcola il valore numerico esatto dell'espressione $\sec^2 \theta - 1$.

Calcola il valore esatto di $\cot \frac{\pi}{6}$ e $\csc \frac{\pi}{4}$.

Se $\cot \alpha = 2$ e $\alpha$ appartiene al terzo quadrante, determina il segno e il valore esatto di $\tan \alpha$ e $\csc \alpha$.

Lucia deve calcolare il valore di $\sec \alpha$ sapendo che $\tan \alpha = -\frac{4}{3}$ e che $\alpha$ è un angolo del secondo quadrante ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$). Nel suo compito scrive il seguente procedimento:

Alla fine aggiunge: «Poiché la secante deriva dall'estrazione di una radice quadrata di una somma di termini al quadrato, il suo risultato è sempre positivo».

1. a) Spiega con ragionamento i due errori concettuali commessi da Lucia (uno nella risoluzione algebrica e uno nella sua affermazione sul segno della secante), basandoti sulla relazione tra secante e coseno e sulla posizione dell'angolo sulla circonferenza goniometrica.
2. b) Correggi il calcolo e trova il valore esatto di $\sec \alpha$ e di $\csc \alpha$.

Considera l'angolo acuto $\alpha = 85^\circ$.

1. a) Senza ricorrere alla calcolatrice per ottenere il valore numerico, stima con ragionamento se $\sec(85^\circ)$ sarà un numero minore di $1$, vicino a $1$ o molto maggiore di $1$. Giustifica la tua previsione analizzando che cosa accade al valore di $\cos \alpha$ sulla circonferenza goniometrica man mano che $\alpha$ si avvicina a $90^\circ$ e tenendo conto della definizione $\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}$.
2. b) Sapendo che $\cos(85^\circ) \approx 0,0872$, calcola il valore di $\sec(85^\circ)$ arrotondato a due cifre decimali e verifica se la tua stima qualitativa era corretta.
3. c) Sulla base di questo comportamento, è possibile trovare un angolo reale $\theta$ tale che $\sec \theta = 0,5$? Giustifica la risposta a partire dall'insieme dei valori che può assumere la funzione coseno.

Sapendo che $\sec \alpha = -\frac{13}{5}$ e che $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, calcola il valore esatto degli altri rapporti trigonometrici (seno, coseno, tangente, cosecante e cotangente).

Semplifica la seguente espressione trigonometrica fino a ottenere un unico rapporto: $\frac{\sec x}{\csc x} \cdot \cot^2 x$.

Dimostra la seguente identità trigonometrica: $\frac{1}{\sec x + \tan x} = \sec x - \tan x$.

Un faro illumina una parete dal suolo. La distanza orizzontale del faro dalla base della parete è di $10$ m. Il raggio di luce superiore forma un angolo $\alpha$ con il suolo. La lunghezza del raggio di luce dal faro al punto più alto illuminato sulla parete è $L$. Esprimi $L$ usando il rapporto secante e calcola il suo valore esatto se $\cot \alpha = \frac{3}{4}$.

Risolvi la seguente equazione trigonometrica indicando tutte le soluzioni nell'intervallo $[0, 2\pi]$: $2\csc x + 4 = 0$.

Calcola la seguente espressione dandone il valore esatto, senza usare approssimazioni decimali: $\sec(120^\circ) + \csc(210^\circ) - \cot(315^\circ)$.

Sapendo che $\csc x = 3$ e che l'angolo $x$ appartiene al secondo quadrante, calcola il valore esatto dell'espressione $E = \frac{\sec x + \tan x}{\cot x}$.

Dimostra che per qualsiasi angolo $\alpha$ per cui i rapporti sono definiti vale la seguente uguaglianza: $\cot^2 \alpha - \cos^2 \alpha = \cot^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha$.

Negli impianti solari fotovoltaici della Puglia, la massa d'aria relativa ($AM$) modellizza la lunghezza relativa del percorso che la radiazione diretta compie attraverso l'atmosfera terrestre. Per angoli zenitali $\theta$ non troppo vicini all'orizzonte ($0^\circ \le \theta \le 75^\circ$), si usa l'approssimazione $AM = \sec \theta$. L'angolo zenitale $\theta$ e l'angolo di elevazione solare sul suolo $\beta$ sono complementari, cioè $\theta + \beta = 90^\circ$.

In una misurazione effettuata in una stazione meteorologica di Foggia, si registra che la cotangente dell'angolo di elevazione solare è $\cot \beta = \frac{4}{3}$.

1. a) Dimostra algebricamente, a partire dalle definizioni dei rapporti reciproci e dei rapporti degli angoli complementari, che $\sec \theta = \csc \beta$.
2. b) Senza calcolare il valore dell'angolo in gradi e usando soltanto le identità pitagoriche dell'argomento, determina il valore esatto della massa d'aria $AM$ in tale stazione.
3. c) Interpreta matematicamente che cosa accade all'espressione $AM = \sec \theta$ quando il Sole si trova esattamente sull'orizzonte (tramonto, $\beta = 0^\circ$, il che equivale a $\theta = 90^\circ$). Spiega perché questo modello non è più applicabile in quell'istante.

Per semplificare l'espressione trigonometrica $E(x) = \frac{\sec^2 x + \csc^2 x}{\sec^2 x \cdot \csc^2 x}$ in tutti i punti in cui è definita, due studenti del liceo propongono strategie diverse:

• Metodo di Chiara: Esprimere fin dall'inizio tutti i rapporti in funzione di $\sin x$ e $\cos x$, eseguire la somma di frazioni del numeratore e poi dividere la frazione risultante per il denominatore.

• Metodo di Marco: Scomporre la frazione algebrica originale in una somma di due frazioni con uguale denominatore comune, $\frac{\sec^2 x}{\sec^2 x \cdot \csc^2 x} + \frac{\csc^2 x}{\sec^2 x \cdot \csc^2 x}$, semplificare ciascun addendo e applicare le identità fondamentali.

1. a) Applica passo dopo passo entrambi i metodi e verifica che con tutti e due si arriva a un'espressione numerica costante.
2. b) Confronta i due percorsi e giustifica quale dei due risulta più efficiente, indicando i vantaggi algebrici che presenta rispetto all'altro.
3. c) Determina quali angoli dell'intervallo $[0^\circ, 360^\circ]$ devono essere esclusi dal dominio di $E(x)$ perché annullano uno dei denominatori originali dei rapporti reciproci coinvolti.

Dimostra la seguente identità trigonometrica: $\frac{\tan x + \sec x - 1}{\tan x - \sec x + 1} = \tan x + \sec x$.

Risolvi l'equazione trigonometrica $\sec^2 x + \tan x = 3$ nell'intervallo $[0^\circ, 360^\circ)$.

In un esperimento di ottica, un raggio laser attraversa un blocco di cristallo a facce piane e parallele. Il percorso del raggio all'interno del cristallo ha lunghezza $L = h \cdot \sec \theta_r$, dove $h = 5$ cm è lo spessore del blocco e $\theta_r$ è l'angolo di rifrazione. Se il raggio incide dall'aria con un angolo $\theta_i = 60^\circ$ e l'indice di rifrazione del cristallo è $n = \sqrt{2}$, calcola il valore esatto della lunghezza $L$ percorsa dal laser all'interno del blocco. (Dato: la legge di Snell stabilisce che $\sin \theta_i = n \cdot \sin \theta_r$).

Semplifica la seguente espressione trigonometrica ed esprimila in funzione di un solo rapporto trigonometrico o di una costante numerica: $\frac{\sec^4 x - 1}{\tan^2 x} - \tan^2 x$.

Risolvi il seguente sistema di equazioni trigonometriche per valori di $x, y \in [0, \pi]$:

Un corridoio a forma di L ha due tratti di larghezza $a = 2$ m e $b = 3$ m che si incontrano ad angolo retto. Una trave rigida di lunghezza $L$ si incastra mentre cerca di girare l'angolo toccando entrambe le pareti esterne e lo spigolo interno. La lunghezza della trave in funzione dell'angolo $\theta$ che forma con una delle pareti esterne si può modellizzare come $L(\theta) = a \sec \theta + b \csc \theta$. Calcola il valore esatto di $L(\theta)$ quando $\cot \theta = \sqrt[3]{\frac{a}{b}}$.

Dimostra la seguente identità trigonometrica, indicando i passaggi algebrici necessari: $\frac{\csc \alpha + \cot \alpha}{\sec \alpha + \tan \alpha} = \frac{\sec \alpha - \tan \alpha}{\csc \alpha - \cot \alpha}$.

Determina tutti i valori di $x \in [0, 2\pi)$ che soddisfano l'equazione trigonometrica $\csc x + \cot x = \sqrt{3}$.

Si vuole costruire un'equazione di secondo grado della forma $A x^2 + B x + C = 0$, con coefficienti interi tali che $A > 0$ e $\text{mcd}(A, |B|, |C|) = 1$, le cui soluzioni reali siano esattamente $x_1 = \sec \alpha$ e $x_2 = \csc \alpha$.

Si sa che $\alpha$ è un angolo del primo quadrante ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$) che soddisfa la seguente condizione:

1. a) Senza calcolare l'angolo $\alpha$, eleva al quadrato l'uguaglianza precedente e applica l'identità pitagorica fondamentale per dedurre il valore esatto del prodotto $\sin \alpha \cdot \cos \alpha$.
2. b) Utilizzando tale prodotto e le definizioni dei rapporti reciproci, calcola la somma delle radici $S = \sec \alpha + \csc \alpha$ e il prodotto delle radici $P = \sec \alpha \cdot \csc \alpha$ sotto forma di frazioni ridotte ai minimi termini.
3. c) A partire da $S$ e $P$, scrivi l'equazione $A x^2 + B x + C = 0$ con i coefficienti interi richiesti.
4. d) Risolvi l'equazione di secondo grado ottenuta per trovare i valori numerici di $\sec \alpha$ e $\csc \alpha$, e giustifica perché era indispensabile che entrambe le soluzioni fossero strettamente maggiori di $1$ considerando che $\alpha$ appartiene al primo quadrante.

Davide deve risolvere in una verifica l'equazione trigonometrica $\sec x - \tan x = \cos x$ nell'intervallo $[0, 2\pi)$. Il suo svolgimento è il seguente:

1. Moltiplica entrambi i membri per $\cos x$: $\cos x \cdot \sec x - \cos x \cdot \tan x = \cos^2 x \implies 1 - \sin x = \cos^2 x$.

2. Sostituisce $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, ottenendo $1 - \sin x = 1 - \sin^2 x$.

3. Semplifica il $1$ e scompone in fattori: $\sin^2 x - \sin x = 0 \implies \sin x (\sin x - 1) = 0$.

4. Conclude che le soluzioni sono: se $\sin x = 0 \implies x = 0$ o $x = \pi$; se $\sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2}$. Davide scrive come soluzione finale: $S = \left\{0, \pi, \frac{\pi}{2}\right\}$.

1. a) Identifica quale dei valori ottenuti da Davide non appartiene al dominio di definizione dell'equazione originale e spiega la ragione analitica e geometrica per cui $\sec x$ e $\tan x$ non esistono in tale valore.
2. b) Spiega quale errore algebrico è stato commesso nel passaggio 1 che ha provocato la comparsa di quella soluzione falsa o estranea.
3. c) Verifica se gli altri due valori ($x = 0$ e $x = \pi$) sono effettivamente soluzioni sostituendoli nell'equazione originale e scrivi l'insieme soluzione corretto del problema.