Esercizi: Risoluzione dei triangoli qualunque

In un triangolo $ABC$ sono noti i lati $a = 5$ cm e $b = 8$ cm, e l'angolo compreso tra essi $C = 60^\circ$. Calcola la lunghezza del lato $c$.

I tre lati di un triangolo misurano $a = 3$ m, $b = 5$ m e $c = 7$ m. Determina la misura dell'angolo di maggiore ampiezza di tale triangolo.

In un triangolo $ABC$, gli angoli $A$ e $B$ misurano rispettivamente $30^\circ$ e $105^\circ$. Se il lato opposto all'angolo $A$ ha lunghezza $a = 8$ cm, trova la lunghezza del lato $c$ (opposto all'angolo $C$).

In un triangolo sono noti i seguenti dati: $a = 12$ m, $b = 8$ m e l'angolo $A = 120^\circ$. Calcola la misura dell'angolo $B$.

Trova l'area di un triangolo $ABC$ di cui conosciamo i lati $b = 14$ cm, $c = 20$ cm e l'angolo da essi formato, $A = 60^\circ$.

I lati adiacenti di un parallelogramma misurano $6$ cm e $10$ cm, e formano un angolo ottuso di $120^\circ$. Calcola la lunghezza della diagonale maggiore del parallelogramma.

In un triangolo isoscele, il lato diverso (la base) misura $12$ m e gli angoli uguali misurano $75^\circ$ ciascuno. Determina la lunghezza dei lati uguali utilizzando il teorema dei seni.

In un triangolo $ABC$, il lato $a$ misura $10$ cm e l'angolo opposto $A$ misura $45^\circ$. Calcola il raggio $R$ della circonferenza circoscritta a tale triangolo.

Marco deve calcolare la lunghezza del lato $a$ di un triangolo di cui conosce $b = 5\text{ cm}$, $c = 8\text{ cm}$ e l'angolo compreso $A = 120^\circ$. Sul quaderno scrive la seguente risoluzione:

1) Indica l'errore di calcolo commesso da Marco nell'operare con i segni.

2) Senza rifare ancora i conti, spiega perché un risultato di $a = 7\text{ cm}$ è geometricamente impossibile in questo triangolo (metti in relazione l'ampiezza dell'angolo $A$ con le misure relative dei lati).

3) Correggi il procedimento e calcola il valore corretto del lato $a$ arrotondato a due decimali.

In un triangolo conosciamo i lati $a = 6\text{ cm}$ e $b = 6\text{ cm}$ e l'angolo compreso tra essi $C = 62^\circ$.

1) Stima: prima di eseguire qualsiasi calcolo numerico con formule, ragiona se il terzo lato $c$ sarà leggermente maggiore, minore o uguale a $6\text{ cm}$. Per giustificarlo, immagina come sarebbe la figura se l'angolo fosse esattamente di $60^\circ$ (triangolo equilatero) e analizza che cosa accade aprendo l'angolo di due gradi in più.

2) Verifica: calcola con esattezza la lunghezza del lato $c$ mediante il teorema del coseno (arrotonda a due cifre decimali).

3) Valuta se il risultato ottenuto conferma la tua stima qualitativa e calcola l'errore assoluto che avresti commesso se avessi approssimato direttamente $c \approx 6\text{ cm}$.

Due barche partono contemporaneamente da un porto seguendo rotte rettilinee che formano tra loro un angolo di $75^\circ$. La prima barca naviga a una velocità costante di $15$ nodi e la seconda a $20$ nodi. Calcola la distanza in miglia nautiche che separerà le due barche dopo $2$ ore di navigazione.

Per misurare l'altezza $h$ di un aerogeneratore, ci posizioniamo in un punto $A$ del suolo e misuriamo l'angolo di elevazione fino al punto più alto, ottenendo $40^\circ$. Avanziamo di $30$ metri in linea retta verso la base dell'aerogeneratore fino a raggiungere un punto $B$, da cui il nuovo angolo di elevazione è di $55^\circ$. Calcola l'altezza dell'aerogeneratore.

Nella progettazione di un braccio robotico articolato, il primo segmento misura $40$ cm e il secondo misura $35$ cm. Se l'angolo che il primo segmento forma con la base orizzontale è di $50^\circ$ e l'estremo del secondo segmento tocca esattamente la base orizzontale, calcola le due possibili distanze dall'origine del braccio al punto di contatto sulla base.

Un terreno agricolo ha la forma di un quadrilatero $ABCD$. Le misure dei suoi lati sono $AB = 50$ m, $BC = 40$ m, $CD = 30$ m e $DA = 60$ m. Sapendo che l'angolo nel vertice $B$ è di $70^\circ$, calcola l'area totale del terreno dividendolo in due triangoli.

Due rimorchiatori trainano una chiatta mediante due cavi che formano tra loro un angolo di $45^\circ$. Se le tensioni esercitate dai cavi sono di $4500$ N e $6000$ N, determina il modulo della forza risultante e l'angolo che tale risultante forma con il cavo che esercita la forza di $6000$ N.

Un drone di sorveglianza si trova in un punto $C$ e osserva un tratto rettilineo di strada delimitato da due città $A$ e $B$ che distano $5$ km tra loro. Gli angoli di depressione dal drone verso le città sono tali che, nel triangolo formato, l'angolo in $A$ è di $35^\circ$ e l'angolo in $B$ è di $62^\circ$. Calcola l'altitudine a cui vola il drone rispetto alla strada.

Un ettagono regolare (poligono di $7$ lati uguali) è inscritto in una circonferenza di raggio $10$ cm. Utilizzando il teorema del coseno e/o del seno nei triangoli centrali, calcola il perimetro e l'area di tale ettagono.

Un pannello solare lungo $2$ metri deve essere installato su un tetto piano che ha un'inclinazione di $15^\circ$ rispetto all'orizzontale. Per massimizzarne il rendimento, il pannello deve formare un angolo di $35^\circ$ rispetto all'orizzontale. Calcola la lunghezza $x$ del sostegno verticale che deve essere collocato all'estremo superiore del pannello per collegarlo al tetto.

Di un triangolo si conoscono i tre lati: $a = 4\text{ cm}$, $b = 7\text{ cm}$ e $c = 10\text{ cm}$. Per risolverlo completamente bisogna trovare i suoi tre angoli. Due compagni propongono strade diverse per calcolare il secondo angolo dopo aver ottenuto il primo:

• Lucia: «Calcolo prima l'angolo minore, $A$, con il teorema del coseno. Poi, per fare conti più rapidi e semplici, calcolo l'angolo maggiore, $C$, usando il teorema del seno ($\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$), e infine $B = 180^\circ - A - C$».

• Sergio: «È pericoloso calcolare $C$ con il teorema del seno. È molto più sicuro calcolare direttamente $C$ con il teorema del coseno, oppure usare il teorema del seno per calcolare $B$, ma mai per $C$».

1) Giustifica matematicamente l'obiezione di Sergio: quale limite ha la funzione $\arcsin$ della calcolatrice nel cercare angoli che potrebbero essere ottusi?

2) Verifica l'errore del metodo di Lucia: calcola l'angolo $A$ con il teorema del coseno e mostra quale valore errato per $C$ fornirebbe il teorema del seno se applicato direttamente.

3) Applica il percorso sicuro proposto da Sergio per calcolare con precisione i tre angoli del triangolo.

Durante la campagna di prevenzione degli incendi della Regione Toscana, due torri di avvistamento forestale, Torre Almadén ($A$) e Torre Yelmo ($B$), poste a una distanza di $12\text{ km}$ in linea retta, rilevano una colonna di fumo in un punto $C$. Gli osservatori prendono come riferimento il segmento rettilineo $AB$: dalla torre $A$ si osserva il fumo sotto un angolo di $48^\circ$, e dalla torre $B$, sotto un angolo di $74^\circ$ (entrambe le visuali sono dirette dallo stesso lato della retta $AB$).

1) Modellizza geometricamente la situazione e calcola la distanza in linea retta da ciascuna delle due torri al focolaio dell'incendio $C$.

2) Per intervenire sul terreno si valutano due opzioni:

• Un elicottero antincendio con base nella torre $A$, che decolla immediatamente e vola in linea retta verso il fuoco a una velocità costante di $190\text{ km/h}$.

• Un'autobotte fuoristrada con base nella torre $B$, che avanza a una media di $45\text{ km/h}$ su piste forestali, percorrendo un tragitto reale stimato il $25\,\%$ più lungo della distanza in linea retta.

Calcola il tempo di percorrenza (in minuti e secondi) di ciascun mezzo e determina, motivando, quale raggiungerà per primo il focolaio.

I lati di un triangolo sono dati dalle espressioni $x$, $x+2$ e $x+4$ centimetri. Sapendo che l'angolo di ampiezza maggiore del triangolo misura $120^\circ$, imposta l'equazione corrispondente, trova il valore esatto di $x$ e calcola il perimetro del triangolo.

In un triangolo $ABC$ si sa che il lato $a = 10$ cm, l'angolo $B = 30^\circ$ e che l'area totale del triangolo è di $20\sqrt{3}$ cm$^2$. Imposta un sistema per trovare il valore esatto dei lati $b$ e $c$, e determina la misura degli angoli $A$ e $C$.

Dimostra geometricamente o mediante i teoremi trigonometrici (del seno e del coseno) che in qualsiasi triangolo $ABC$ vale la relazione delle proiezioni: $a = b \cos C + c \cos B$. In seguito, utilizza questa identità insieme al teorema del seno per dimostrare la formula del seno della somma di due angoli: $\sin(B+C) = \sin B \cos C + \cos B \sin C$.

Le lancette di un orologio da parete misurano $12$ cm (la lancetta dei minuti) e $8$ cm (la lancetta delle ore). Calcola la distanza esatta in centimetri che separa le punte delle due lancette quando l'orologio segna esattamente le 10:10. Tieni conto dello spostamento proporzionale della lancetta delle ore.

Due aerei volano alla stessa quota. L'aereo 1 si trova nel punto $A$ e vola verso Nord a una velocità costante di $800$ km/h. L'aereo 2 si trova nel punto $B$, situato esattamente a $200$ km a Nord-Est ($45^\circ$ rispetto al Nord) del punto $A$. Se l'aereo 2 vola verso Ovest a una velocità costante $v$ e i due si scontrano in un punto $C$, determina il valore della velocità $v$ e il tempo che impiegano a scontrarsi.

In un triangolo $ABC$ di lati $a=13$ cm, $b=14$ cm e $c=15$ cm, si tracciano la circonferenza circoscritta di raggio $R$ e la circonferenza inscritta di raggio $r$. Calcola l'area del triangolo utilizzando la formula di Erone e, a partire da essa, ricava i valori esatti di $R$ e $r$.

Dato il triangolo $ABC$ con lati $a = 7$ cm, $b = 5$ cm e $c = 8$ cm. Si traccia la bisettrice interna dell'angolo $C$, che interseca il lato $AB$ nel punto $D$. Applicando il teorema del coseno per trovare l'angolo $C$ e utilizzando le proprietà delle aree o il teorema del seno, calcola la lunghezza esatta del segmento bisettrice $CD$ (indicato come $x$).

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Una piramide regolare a base quadrata ha il lato di base di $100$ m. Sapendo che l'angolo diedro formato da due facce triangolari adiacenti è di $105^\circ$, imposta la geometria della sezione trasversale adeguata e calcola l'altezza totale della piramide.

Un perito topografo deve ricostruire le misure originali di un appezzamento triangolare $ABC$ a partire da un vecchio rapporto incompleto che riporta solo tre dati esatti:

• La superficie dell'appezzamento è di $80\text{ m}^2$.

• Il confine $b$ misura esattamente il doppio del confine $a$ ($b = 2a$).

• L'angolo compreso $C$ soddisfa $\cos C = 0,6$.

1) A partire dall'identità fondamentale della trigonometria e dalla formula dell'area di un triangolo in funzione di due lati e dell'angolo compreso, imposta un'equazione e ricava le lunghezze esatte dei lati $a$ e $b$.

2) Calcola la lunghezza del terzo lato $c$ applicando il teorema del coseno.

3) Problema inverso: spiega perché esiste un altro appezzamento non congruente al precedente che ha esattamente la stessa superficie ($80\text{ m}^2$) e le stesse lunghezze $a$ e $b$, ma una forma diversa. Trova il valore del suo nuovo angolo compreso $C'$, calcola la lunghezza che avrebbe il lato $c$ in questa seconda configurazione e determina quale dei due appezzamenti richiederebbe meno metri di recinzione per la delimitazione perimetrale.

Elena risolve in classe di Matematica un esercizio di delimitazione di un terreno triangolare $ABC$ di cui si conoscono $a = 14\text{ m}$, $b = 20\text{ m}$ e l'angolo $A = 35^\circ$. Presenta alla lavagna il seguente svolgimento:

«Applico il teorema del seno:

Poiché i tre angoli sommano $180^\circ$, abbiamo $C = 180^\circ - 35^\circ - 55^\circ = 90^\circ$. Poiché il triangolo risulta rettangolo in $C$, calcolo il lato rimanente $c$ usando il teorema di Pitagora: $c = \sqrt{20^2 - 14^2} = \sqrt{204} \approx 14,28\text{ m}$».

1) Individua e spiega in dettaglio i due errori concettuali commessi da Elena:

a) Perché la sua deduzione per l'angolo $B$ è incompleta e omette una soluzione geometrica valida?

b) Anche supponendo che l'angolo $C$ fosse di $90^\circ$, perché l'impostazione che fa del teorema di Pitagora è falsa?

2) Risolvi il problema con totale rigore: determina i due possibili triangoli che soddisfano i dati iniziali, indicando per ciascuno di essi i valori degli angoli $B$ e $C$ e la lunghezza del lato $c$.

3) Se recintare il perimetro del terreno costa $45\text{ \euro/m}$, calcola la differenza economica che comporterebbe optare per una configurazione o per l'altra.

Sfida del tema. Riprogetta la rete di monitoraggio ambientale del tuo comune utilizzando il visualizzatore ufficiale dell'Istituto Geografico Militare (IGM).

1. Raccolta dei dati e conteggio: Seleziona 4 punti elevati del tuo territorio. Applica le tecniche di calcolo combinatorio ($C_{4,3}$) per calcolare quanti triangoli di copertura diversi potresti formare. Scegline uno, annota le sue coordinate o distanze ed esprimi i suoi angoli sia in gradi sessagesimali sia in radianti.

2. Risoluzione del triangolo qualunque: Determina tutti i lati e gli angoli incogniti di tale triangolo applicando con precisione i teoremi del seno e del coseno in GeoGebra o in un foglio di calcolo.

3. Calcolo di altezze e rapporti composti: Per installare un'antenna su uno dei vertici, imposta il calcolo mediante la risoluzione di triangoli rettangoli con visuali successive (ad esempio, a distanze $d$ e $2d$, o con angoli $\alpha$ e $2\alpha$). Utilizza le formule di duplicazione o di sottrazione degli angoli per ricavare l'altezza della torre senza misurarla direttamente.

4. Proposta motivata: Elabora una breve relazione tecnica con la cattura della mappa, lo sviluppo analitico dei rapporti trigonometrici impiegati e le conclusioni sulla copertura.

Verranno valutati:

• Rigore nella conversione da gradi a radianti e nell'uso delle identità (somma/sottrazione o duplicazione).

• Risoluzione algebrica e geometrica corretta di triangoli rettangoli e qualunque mediante i teoremi del seno e del coseno.

• Applicazione adeguata del calcolo combinatorio e precisione con i dati cartografici reali.