Esercizi: Potenze con esponente intero

Applica le proprietà delle potenze per semplificare la seguente espressione e lascia il risultato sotto forma di un'unica potenza di base positiva:

Calcola il valore numerico delle seguenti potenze con esponente negativo, esprimendo il risultato finale come frazione ridotta ai minimi termini:

1. a) $5^{-2}$

1. b) $\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}$

1. c) $(-4)^{-2}$

È molto comune confondere l'effetto delle parentesi quando la base è negativa. Calcola i seguenti valori e spiega la differenza tra di essi:

1. a) $(-2)^4$

1. b) $-2^4$

1. c) $(-2)^3$

1. d) $-2^3$

Semplifica la seguente espressione utilizzando le proprietà della potenza di una potenza e del prodotto di potenze. Esprimi il risultato come un'unica potenza:

In informatica, le unità di misura crescono per potenze di base $2$. Sapendo che $1 \text{ KB (Kilobyte)}$ sono $2^{10} \text{ byte}$ e che $1 \text{ MB (Megabyte)}$ sono $2^{10} \text{ KB}$, esprimi sotto forma di un'unica potenza di base $2$ quanti byte ci sono in un file immagine che occupa $4 \text{ MB}$.

Riduci a un'unica potenza di base $x$ la seguente espressione e, poi, scrivila con esponente positivo:

Un biologo osserva una popolazione di batteri che triplica ogni ora. Se inizialmente c'erano $3^2$ batteri, esprimi mediante una potenza di base $3$:

1. a) Quanti batteri ci saranno dopo $5$ ore?
2. b) Quanti batteri ci saranno dopo $n$ ore?

Calcola il valore delle seguenti espressioni, rispettando la priorità delle operazioni e le regole degli esponenti:

1. a) $2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0$

1. b) $10^3 \cdot 10^{-2} + 5 \cdot 10^0$

1. c) $(3-1)^2 \cdot 3^{-1}$

In una verifica di primo liceo, Lucia doveva semplificare la seguente espressione numerica:

Lucia ha scritto sul foglio delle risposte:

«Poiché la base è negativa e anche l'esponente, i due segni meno si annullano, quindi $(-2)^{-4} = 2^4 = 16$. D'altra parte, poiché qualsiasi numero elevato a 0 è 1, ma c'è un segno meno davanti dentro la parentesi, $(-3)^0 = -1$. Pertanto:

1. a) Individua e spiega in dettaglio i due errori concettuali commessi da Lucia, indicando quale proprietà delle potenze o regola dei segni ha violato in ciascuno.
2. b) Correggi la risoluzione calcolando passo dopo passo il valore esatto dell'espressione sotto forma di frazione ridotta ai minimi termini o di numero intero.

Considera la seguente espressione numerica con potenze a esponente intero:

1. a) Stima in modo motivato senza calcolare il valore esatto:

Osserva i fattori del numeratore e del denominatore e interpreta l'effetto delle potenze con esponente negativo quando si spostano da un termine all'altro della frazione. Ragiona se il valore finale di $E$ sarà:

1. Positivo o negativo.

2. Maggiore di $1$ o minore di $1$.

1. b) Calcola e verifica:

Scomponi tutte le basi in fattori primi ($2$ e $5$), applica le proprietà delle potenze per semplificare l'espressione passo dopo passo fino a ottenere un unico numero intero o una frazione ridotta ai minimi termini, e verifica esplicitamente se il risultato numerico conferma le previsioni fatte nel punto precedente.

Per calcolare la capacità di archiviazione di un nuovo server cloud, un ingegnere deve semplificare la seguente espressione numerica. Utilizza le proprietà delle potenze per ridurla a un'unica potenza di base prima o a un prodotto di potenze di basi prime con esponenti positivi:

Un'azienda di cybersicurezza utilizza chiavi crittografiche la cui lunghezza cresce in modo esponenziale. Se una chiave di livello 1 ha una complessità di $(x^2 \cdot y^{-3})^2$ e si moltiplica per una di livello 2 con complessità $(x \cdot y^2)^{-4}$, semplifica l'espressione risultante per trovare la complessità totale del sistema in termini di $x$ e $y$:

In un laboratorio di biotecnologie, una popolazione di batteri triplica ogni ora. Se inizialmente c'erano $3^4$ batteri, l'espressione che rappresenta il numero di batteri dopo $t$ ore è $3^4 \cdot 3^t$.

1. a) Quanti batteri ci saranno dopo un giorno ($t=24$)? Esprimi il risultato come potenza.

1. b) Se, a causa di un antibiotico, la popolazione si riduce dividendosi per $9^5$, semplifica l'espressione risultante:

Esegui le operazioni e semplifica la seguente espressione, lasciando il risultato sotto forma di frazione ridotta ai minimi termini senza esponenti negativi:

Un satellite per le comunicazioni invia pacchetti di dati di dimensione $2^{15}$ byte. Se il satellite deve inviare un file totale di $16^5$ byte, calcola quanti pacchetti dovrà trasmettere. Esprimi sia i dati iniziali sia il risultato finale come potenze di base 2.

Stabilisci se le seguenti uguaglianze sono vere o false motivando la risposta in base alle proprietà delle potenze e alla regola dei segni:

1. a) $(-2)^4 = -2^4$

1. b) $\frac{a^{-3}}{b^{-3}} = \left( \frac{b}{a} \right)^3$

1. c) $(x+y)^2 = x^2 + y^2$

1. d) $(-5)^{-2} = \frac{1}{25}$

Il raggio di un atomo di idrogeno è di circa $5 \cdot 10^{-11}$ metri. Se volessimo rappresentare il volume di uno spazio cubico che abbia esattamente quel raggio come spigolo, dovremmo elevare al cubo tale misura ($V = l^3$).

Calcola il volume risultante in notazione scientifica e semplifica l'espressione:

Ordina in senso crescente i seguenti valori trasformandoli prima in modo che abbiano la stessa base:

Vogliamo costruire una frazione formata esclusivamente da potenze di base non prima della forma:

dove $a$, $b$ e $c$ sono numeri interi (positivi, negativi o nulli). L'obiettivo è che, dopo aver applicato le proprietà delle potenze e semplificato al massimo, il risultato esatto sia la frazione ridotta ai minimi termini $\frac{20}{27}$.

1. a) Scomponi in fattori primi le basi composte ($6$, $10$, $15$) e i numeri della frazione obiettivo ($20$, $27$).
2. b) Imposta il sistema di equazioni lineari che gli esponenti $a$, $b$ e $c$ devono soddisfare uguagliando le potenze di ciascuna base prima nei due membri.
3. c) Risolvi il sistema per determinare i valori interi di $a$, $b$ e $c$. Individua quale di essi risulta strettamente negativo e spiega quale significato pratico ha tale esponente negativo rispetto alla posizione reale di quel fattore nella frazione.

Un'azienda di telecomunicazioni monitora il consumo mensile di dati in un'area della Toscana. Prendendo l'anno 2024 come riferimento temporale ($k = 0$), l'aumento del lavoro da remoto fa sì che il traffico medio mensile raddoppi esattamente ogni 3 anni (cioè, in ogni triennio si moltiplica per un fattore $2$). Nel 2024 il traffico registrato è stato di $128\text{ TB}$ ($128 = 2^7\text{ TB}$).

1. a) Se $k \in \mathbb{Z}$ rappresenta il numero di trienni trascorsi dal 2024 (dove $k>0$ indica trienni nel futuro e $k<0$ trienni nel passato), scrivi la formula del traffico mensile $T(k)$ in terabyte come un'unica potenza di base $2$.
2. b) A quale anno del passato corrisponde il valore $k = -3$? Calcola il traffico dati di quell'anno applicando le proprietà dell'esponente negativo e giustifica perché il segno meno modellizza un ritorno indietro nel tempo (dividere successivamente per $2$ invece di moltiplicare).
3. c) Per il 2036 è prevista l'installazione di un nodo centrale con capacità di $2^{15}\text{ TB}$. Utilizza il quoziente di potenze con la stessa base per calcolare quante volte sarà maggiore tale capacità rispetto al traffico registrato nell'anno corrispondente a $k = -3$.

Semplifica la seguente espressione algebrica fino a ottenere un'unica potenza o un prodotto di potenze di base prima, eliminando tutti gli esponenti negativi ed evitando l'uso della calcolatrice:

Per risolverlo, scomponi prima tutte le basi nei loro fattori primi ($2$ e $3$) e applica con attenzione le proprietà delle potenze con esponente intero.

Nello studio dei modelli economici compaiono a volte espressioni che richiedono di raccogliere a fattor comune potenze con esponenti variabili. Semplifica al massimo la seguente frazione affinché sia più facile da programmare in un foglio di calcolo:

Un'azienda di cybersicurezza analizza la propagazione di un virus informatico. Si è osservato che il numero di file infetti triplica ogni ora. Tuttavia, ogni $4$ ore, un antivirus riesce a eliminare il $80 \%$ delle infezioni presenti in quell'istante.

Se inizialmente c'è $1$ solo file infetto, esprimi mediante un'operazione con potenze il numero di file colpiti dopo $12$ ore, subito dopo il terzo intervento dell'antivirus. Potresti scrivere il risultato finale in notazione scientifica?

Esegui le operazioni e semplifica la seguente espressione con variabili, lasciando il risultato finale senza esponenti negativi:

Un investitore analizza due prodotti finanziari. Nel primo, il suo capitale si moltiplica per $1,02$ ogni mese (interesse composto). Nel secondo, a causa dell'alta volatilità, il capitale si moltiplica per $1,05$ un mese, ma diminuisce moltiplicandosi per $0,98$ il mese successivo, ripetendo questo ciclo di due mesi indefinitamente.

Se l'investitore deposita una somma $C$ per $2$ anni ($24$ mesi), esprimi mediante potenze con esponente intero il capitale finale ottenuto in ciascuna opzione. Quale delle due opzioni è più redditizia dopo questi $24$ mesi? Giustifica la tua risposta confrontando le basi delle potenze ottenute, dopo averle scritte con lo stesso esponente.

Calcola il valore della seguente espressione numerica scomponendo le basi in fattori primi e semplificando al massimo. Il risultato deve essere un numero intero o una frazione ridotta ai minimi termini:

Nel mondo dell'informatica, le capacità di archiviazione crescono in modo esponenziale. Supponiamo che un server raddoppi la sua capacità di archiviazione ogni $18$ mesi. Se nell'anno $2020$ aveva una capacità di $2^{10}$ terabyte (TB):

1. a) Esprimi mediante una potenza di base $2$ quale sarà la sua capacità nell'anno $2035$.
2. b) Se ogni TB equivale a $2^{40}$ byte, esprimi la capacità totale dell'anno $2035$ in byte utilizzando un'unica potenza di base $2$.

Dimostra, applicando le proprietà delle potenze, che la seguente uguaglianza è vera per qualsiasi valore di $x$ e $y$ (purché le basi non siano nulle):

Indica passo dopo passo quale proprietà stai applicando in ogni fase della semplificazione.

Per semplificare la seguente espressione algebrica (con $a, b \ne 0$):

due studenti di quarta liceo propongono strade diverse:

• Metodo di Alba: Prima inverte l'intera frazione per trasformare l'esponente esterno $-2$ in $+2$; poi sposta al membro opposto (numeratore o denominatore) ogni fattore con esponente negativo in modo che tutti gli esponenti siano positivi; infine scompone $18$ e $12$ in fattori primi e semplifica.

• Metodo di Bruno: Mantiene la frazione originale e opera prima all'interno della parentesi quadra: scompone $18$ e $12$ in fattori primi, distribuisce la potenza del prodotto al denominatore, raggruppa le potenze con la stessa base sottraendo gli esponenti ($a^m / a^n = a^{m-n}$ operando con interi negativi) e solo alla fine applica la potenza di potenza con l'esponente esterno $-2$.

1. a) Svolgi la semplificazione passo dopo passo seguendo entrambi i metodi e verifica che con entrambi si arrivi alla stessa espressione ridotta con esponenti positivi.
2. b) Confronta in modo critico le due strategie: quale delle due riduce al minimo il rischio di commettere errori nella sottrazione di numeri negativi? Indica con precisione in quale passaggio algebrico è più facile sbagliare in ciascuno dei metodi.

Trova tutte le coppie di numeri interi $(m, n) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ che soddisfano la seguente equazione:

Per risolvere il problema senza procedere per tentativi, svolgi in modo giustificato i seguenti punti:

1. a) Segno e parità: Osserva che il secondo membro è negativo. Sapendo che $6^{n-m} > 0$ e $9^{-n} > 0$ per qualsiasi coppia di interi $m$ e $n$, deduci il segno che deve avere la potenza $(-2)^m$ e dimostra quale condizione di parità (pari o dispari) deve necessariamente soddisfare l'intero $m$.
2. b) Scomposizione in basi prime: Riscrivi entrambi i membri dell'equazione scomponendo tutte le basi nei loro fattori primi ($2$ e $3$) e applica le proprietà delle operazioni con le potenze per ridurre il primo membro alla forma $- (2^P \cdot 3^Q)$, dove $P$ e $Q$ sono espressioni algebriche in funzione di $m$ e $n$.
3. c) Risoluzione e unicità: A partire dall'unicità della scomposizione in fattori nei numeri razionali, imposta e risolvi il sistema di equazioni con incognite $m$ e $n$. Verifica che la soluzione ottenuta soddisfi la condizione di parità trovata in (a) e giustifica perché non può esserci nessun'altra soluzione intera.