Esercizi: Logaritmi

Un topografo misura la lunghezza di un terreno destinato a un nuovo parco centrale e ottiene un valore di $154,7$ metri. Se la misura reale esatta è di $154,728$ metri, calcola:

1. a) L'errore assoluto commesso nella misurazione.
2. b) L'errore relativo commesso, espresso in percentuale e arrotondato a due cifre decimali.

In un laboratorio di biologia si stima che il numero di batteri in un campione cresca molto rapidamente. Esprimi i seguenti dati utilizzando la notazione scientifica:

1. a) Il numero di batteri dopo una settimana è $450.000.000$.
2. b) La dimensione di un singolo batterio è $0,0000000025$ metri.
3. c) La massa del campione trattato è $0,00034$ grammi.

Per comprendere la relazione tra potenze e logaritmi, completa la seguente tabella trasformando ogni uguaglianza esponenziale nella corrispondente forma logaritmica, in base alla definizione $\log_a b = x \iff a^x = b$:

Calcola il valore esatto dei seguenti logaritmi senza usare la calcolatrice, applicando direttamente la definizione:

1. a) $\log_2 16$
2. b) $\log_3 27$
3. c) $\log_{10} 1000$
4. d) $\log_5 (\frac{1}{5})$
5. e) $\log_7 1$

Sapendo che $\log k = 0,6$, usa le proprietà dei logaritmi (logaritmo di un prodotto, di un quoziente e di una potenza) per calcolare il valore delle seguenti espressioni:

1. a) $\log (10 \cdot k)$
2. b) $\log (k^2)$
3. c) $\log (\frac{k}{100})$

L'intensità del suono si misura in decibel ($dB$) mediante una scala logaritmica. Se la formula semplificata per confrontare due suoni è $dB = 10 \cdot \log_{10}(\frac{I}{I_0})$, dove $I_0$ è la soglia di udibilità, calcola quanti decibel corrispondono a:

1. a) Un suono la cui intensità $I$ è $100$ volte maggiore di $I_0$.
2. b) Un suono la cui intensità $I$ è $10.000$ volte maggiore di $I_0$.

Senza usare la calcolatrice in un primo momento, stima tra quali due numeri interi consecutivi deve trovarsi il valore di $\log_3(70)$, giustificando la tua stima a partire dalle potenze intere della base $3$. Poi usa la formula del cambiamento di base al logaritmo decimale per calcolarne il valore numerico con la calcolatrice (arrotondando a tre cifre decimali) e verifica se la tua stima era corretta elevando la base $3$ all'esponente ottenuto.

Matteo sta risolvendo alla lavagna l'equazione $\log(x + 20) - \log(x) = 1$. Sul quaderno scrive i seguenti passaggi:

Passaggio 1: $\log(x + 20 - x) = 1$

Passaggio 2: $\log(20) = 1$

Passaggio 3: «Poiché $\log(20) \ne 1$, l'equazione non ha soluzioni reali».

1. a) Spiega con precisione quale errore concettuale ha commesso Matteo nel Passaggio 1 applicando le proprietà dei logaritmi e fornisci un semplice controesempio numerico che dimostri che $\log(A - B) \ne \log A - \log B$.
2. b) Risolvi correttamente l'equazione applicando le proprietà legittime del logaritmo e verifica che la soluzione ottenuta sia valida sostituendola nell'equazione originale.

Calcola il valore delle seguenti espressioni utilizzando esclusivamente la definizione di logaritmo, senza usare la calcolatrice:

1. a) $\log_{3}\left(\frac{1}{243}\right)$

1. b) $\log_{\sqrt{2}}(32)$

1. c) $\log_{5}(\sqrt[3]{25})$

Sapendo che i logaritmi decimali di 2 e 3 sono approssimativamente $\log 2 \approx 0,3010$ e $\log 3 \approx 0,4771$, utilizza le proprietà dei logaritmi per stimare il valore di:

1. a) $\log(1,2)$

1. b) $\log(\sqrt{18})$

1. c) $\log(25)$ (Suggerimento: metti in relazione il 5 con il 10 e il 2).

Nel laboratorio di chimica, il livello di acidità di una sostanza si misura mediante il $pH$, che è definito come $pH = -\log[H^{+}]$, dove $[H^{+}]$ è la concentrazione di ioni idrogeno in moli per litro.

Se una bibita gassata ha una concentrazione $[H^{+}] = 2,5 \cdot 10^{-4}$ e un'acqua minerale ha un $pH = 6,2$:

1. a) Calcola il $pH$ della bibita gassata.
2. b) Determina la concentrazione di ioni idrogeno $[H^{+}]$ dell'acqua minerale.

Sviluppa le seguenti espressioni utilizzando le proprietà dei logaritmi, in modo che il risultato finale contenga solo logaritmi di variabili semplici:

1. a) $\log \left( \frac{100 \cdot x^2}{\sqrt{y}} \right)$

1. b) $\ln \left( \frac{e^3 \cdot a}{b^2 \cdot c} \right)$

Un investitore deposita $5.000$ € in un fondo di investimento che offre un interesse composto del $3,5 \%$ annuo. Il montante finale $M$ dopo un tempo $t$ in anni è dato dalla formula $M = C \cdot (1+i)^t$.

Quanti anni devono trascorrere affinché l'investitore raggiunga un montante di $8.000$ €? Esprimi il risultato arrotondando alle unità.

Risolvi le seguenti equazioni logaritmiche applicando le proprietà per unificare i termini e verifica l'accettabilità delle soluzioni ottenute:

1. a) $2 \log(x) - \log(x + 6) = 0$

1. b) $\log(x+3) + \log(x) = 1$

La magnitudo $M$ di un terremoto nella scala Richter è legata all'energia liberata $E$ (in joule) dalla formula:

$\log E = 1,5 \cdot M + 4,8$

Nella figura trovi il grafico di questa relazione (magnitudo $M$ sull'asse orizzontale e $\log E$ sull'asse verticale). Calcola con la formula; il grafico ti serve solo per verificare che il risultato sia ragionevole.

1. a) Se un terremoto ha magnitudo $M = 5$, quanta energia libera?

1. b) Se un terremoto libera $10^{15}$ joule di energia, qual è la sua magnitudo nella scala Richter?

Utilizza la formula del cambiamento di base e la tua calcolatrice per risolvere i seguenti quesiti:

1. a) Calcola con quattro cifre decimali il valore di $\log_{2}(15) + \log_{5}(2)$.

1. b) Risolvi l'equazione esponenziale $4^{x+1} = 125$. Arrotonda il risultato ai centesimi.

Progetta un'equazione logaritmica della forma $\log(x) + \log(x - k) = 1$ (dove $k$ è un numero intero positivo costante) che soddisfi contemporaneamente queste due condizioni:

1. Trasformandola in un'equazione polinomiale mediante le proprietà dei logaritmi, ammetta come candidati soluzione i valori $x = 5$ e $x = -2$.

2. Verificando l'accettabilità nell'equazione originale, solo $x = 5$ sia una soluzione reale valida, mentre $x = -2$ debba essere obbligatoriamente scartata.

1. a) Deduci algebricamente il valore numerico esatto che deve avere la costante $k$.
2. b) Risolvi l'equazione passo per passo con il valore di $k$ ottenuto e giustifica in modo rigoroso, ricorrendo alla definizione formale di logaritmo, perché si scarta $x = -2$ e si accetta $x = 5$.

Nel quadro del Piano Nazionale Integrato per l'Energia e il Clima (PNIEC), una regione ha generato $1.200\text{ GWh}$ mediante energia solare fotovoltaica nell'anno 2020. A causa del ritmo di installazione di nuovi impianti, la sua produzione cresce a un tasso stimato del $14\%$ annuo, modellizzato mediante la funzione $P(t) = 1.200 \cdot (1,14)^t$, dove $t$ è il tempo in anni trascorso dal 2020 e $P(t)$ la produzione in $\text{GWh}$.

1. a) Imposta l'equazione necessaria per scoprire quanti anni devono trascorrere per quadruplicare la produzione del 2020 (raggiungere $4.800\text{ GWh}$) e risolvila applicando i logaritmi decimali e le loro proprietà.
2. b) Calcola il valore di $t$ arrotondando a due decimali e interpreta in quale anno e mese del calendario verrà raggiunto tale obiettivo.
3. c) Se il tasso di crescita annuo fosse stato il doppio ($28\%$ annuo invece del $14\%$), si impiegherebbe esattamente la metà del tempo per quadruplicare la produzione? Giustifica la tua risposta ragionando sulle proprietà dei logaritmi senza limitarti a dare il risultato numerico.

Un laboratorio di biotecnologia misura la dimensione di una proteina come $4,25 \cdot 10^{-9}$ metri con un errore massimo del $2\%$. Contemporaneamente, misura la distanza tra due cellule come $0,00034$ metri con un errore assoluto di $1,5 \cdot 10^{-6}$ metri.

1. a) Calcola l'errore relativo di entrambe le misure in notazione scientifica.
2. b) Determina con un ragionamento quale delle due misure è più precisa.
3. c) Se si sommassero le due lunghezze, quale sarebbe il limite superiore dell'errore assoluto della somma?

Sapendo che $\log_k a = 2$ e $\log_k b = 5$, utilizza le proprietà dei logaritmi per trovare il valore esatto della seguente espressione senza calcolare il valore di $k$, $a$ né $b$:

Risolvi la seguente equazione logaritmica assicurandoti di verificare l'accettabilità delle soluzioni ottenute nel dominio di definizione:

Contestualizza il problema: se $x$ rappresentasse il numero di utenti, in migliaia, di un nuovo social network, entrambe le soluzioni matematiche avrebbero senso nel mondo reale?

La scala di magnitudo momento ($M_w$), utilizzata per misurare l'energia dei terremoti, è definita come:

dove $E$ è l'energia liberata in erg.

La figura mostra, in modo schematico, come cresce $\log_{10}(E)$ con la magnitudo $M_w$ e indica i due terremoti dei quesiti.

1. a) Se un terremoto di magnitudo $6,5$ è considerato "forte", calcola l'energia $E_1$ che libera, in notazione scientifica.

1. b) Quante volte più energia libera un terremoto di magnitudo $8,5$ ($E_2$) rispetto a uno di magnitudo $6,5$ ($E_1$)? Esprimi il rapporto come potenza di base 10.

Un investitore deposita $15.000 €$ in un prodotto finanziario che offre un interesse composto nominale del $4,5\%$ annuo con capitalizzazione mensile.

1. a) Utilizzando i logaritmi, calcola esattamente quanti mesi devono trascorrere affinché il capitale finale sia il triplo di quello iniziale.
2. b) Calcola il Tasso Annuo Effettivo (TAE) di questa operazione ed esprimilo in percentuale con due decimali. Che cosa significa questo valore rispetto al $4,5\%$ nominale?

Data l'espressione del numero aureo $\Phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, dimostra mediante l'uso dei logaritmi e delle proprietà delle potenze che vale la seguente uguaglianza:

Per risolvere l'equazione esponenziale $5 \cdot 2^{3x} = 3 \cdot 4^{x+1}$, due studenti di quarta liceo propongono strategie completamente diverse:

• Candida decide di applicare direttamente i logaritmi decimali a entrambi i membri dell'uguaglianza fin dal primo passo: $\log(5 \cdot 2^{3x}) = \log(3 \cdot 4^{x+1})$.

• Sergio preferisce trasformare prima le potenze in una base comune ($4 = 2^2$), raggruppare i termini esponenziali in un membro e i coefficienti numerici nell'altro, e applicare i logaritmi solo alla fine.

1. a) Sviluppa completamente la risoluzione con il metodo di Candida e con il metodo di Sergio, verificando che entrambi portano alla stessa soluzione esatta espressa come quoziente di logaritmi decimali.
2. b) Analizza i due percorsi: quale dei due richiede meno trasformazioni algebriche e riduce al minimo il rischio di errore nel manipolare le parentesi contenenti l'incognita?
3. c) Se nell'equazione originale sostituiamo la base $4$ con un $7$, ottenendo $5 \cdot 2^{3x} = 3 \cdot 7^{x+1}$, spiega con un ragionamento quale dei due metodi resta applicabile e perché.

La normativa italiana sull'inquinamento acustico (Legge quadro 447/1995) stabilisce che il livello di intensità sonora $\beta$ misurato in decibel ($\text{dB}$) è legato all'intensità fisica del suono $I$ (in $\text{W/m}^2$) dalla formula:

dove $I_0 = 10^{-12}\text{ W/m}^2$ rappresenta la soglia di udibilità umana. In una zona residenziale urbana, il limite diurno è fissato a $65\text{ dB}$.

1. a) Un dehors di un locale genera un livello di rumore di $62\text{ dB}$. Il comune autorizza l'apertura, proprio accanto, di un altro dehors identico che emette con la stessa intensità fisica $I$. Un comitato di residenti afferma che il rumore complessivo sarà di $62 + 62 = 124\text{ dB}$, superando ampiamente la legge. Dimostra mediante le proprietà dei logaritmi perché quella somma diretta è un errore e calcola il livello sonoro complessivo reale ($I_{\text{totale}} = 2I$). Il limite di $65\text{ dB}$ viene superato?
2. b) Dimostra analiticamente che ogni volta che l'intensità fisica di una sorgente sonora viene moltiplicata per dieci, il livello sonoro in decibel aumenta sempre di una quantità fissa e costante, e indica quale sia tale incremento.
3. c) Imposta e risolvi un'equazione logaritmica per calcolare quanti dehors identici al primo dovrebbero funzionare contemporaneamente affinché il livello sonoro complessivo raggiunga almeno $75\text{ dB}$.