Esercizi: Approssimazione ed errori

Un pilota di Formula 1 ha registrato un tempo sul giro di $1,24572$ minuti. Per semplificare i grafici nella trasmissione televisiva, occorre effettuare approssimazioni di tale tempo.

Calcola:

1. a) Il tempo troncato ai millesimi.

1. b) Il tempo arrotondato ai millesimi.

1. c) Il tempo arrotondato ai centesimi.

1. d) Spiega brevemente perché il risultato del troncamento e quello dell'arrotondamento ai millesimi sono diversi in questo caso specifico.

In un negozio di elettronica, il prezzo reale di uno smartphone è $456,28$ €. Tuttavia, sul cartello pubblicitario in vetrina, il proprietario decide di mettere il prezzo arrotondato alle unità per renderlo più attraente visivamente.

Calcola:

• Il valore approssimato che compare sul cartello.

• L'errore assoluto commesso con tale approssimazione.

• L'errore relativo espresso in percentuale (con due decimali).

Misurando lo spessore di un libro di testo con un righello la cui divisione minima è il millimetro, otteniamo un valore di $2,4$ cm.

Indica:

• Qual è il limite di errore assoluto di questa misura.

• Tra quali valori si trova lo spessore reale del libro, esprimendo il risultato mediante un intervallo.

Abbiamo due misure diverse effettuate da operai diversi:

1. Un falegname misura un listello di legno di $2,5$ metri e commette un errore assoluto di $1$ cm.

2. Un geometra misura un appezzamento di $450$ metri e commette un errore assoluto di $1$ metro.

Calcola l'errore relativo di ciascuna misura e determina, motivando la risposta, quale delle due approssimazioni è di qualità migliore (più precisa).

Il numero aureo, rappresentato dalla lettera greca $\phi$, ha un valore esatto di $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Uno studente usa la calcolatrice e ottiene che il suo valore è approssimativamente $1,6180339...$

Se lo studente decide di prendere come approssimazione del numero aureo il valore $1,62$:

• Si tratta di un arrotondamento o di un troncamento ai centesimi?

• Calcola l'errore assoluto commesso (considera il valore della calcolatrice come valore reale).

• Questo errore assoluto è minore di un millesimo?

Individua il numero di cifre significative dei seguenti dati ottenuti in un laboratorio di chimica:

• $0,00405$ grammi di un composto reagente.

• $120,70$ millilitri di acqua distillata.

• $3,50 \cdot 10^4$ particelle per centimetro cubo.

• $2000$ batteri in un campione (approssimato alle unità).

La massa della Terra è di circa $5.972.200.000.000.000.000.000.000$ kg. Nei libri di testo di scienze questo numero si esprime di solito in notazione scientifica arrotondando a due cifre decimali (tre cifre significative).

1. a) Scrivi la massa della Terra in notazione scientifica con tutte le sue cifre.

1. b) Scrivi l'approssimazione arrotondata che si userebbe in un libro di testo.

1. c) Calcola il limite massimo dell'errore assoluto associato a tale arrotondamento.

Per preparare una torta gigante, un pasticcere somma le masse dei tre ingredienti principali, che ha pesato con una bilancia industriale:

• Farina: $12,4$ kg (arrotondato ai decimi).

• Zucchero: $5,75$ kg (arrotondato ai centesimi).

• Burro: $2,125$ kg (arrotondato ai millesimi).

Calcola la somma totale degli ingredienti e arrotonda il risultato finale in modo coerente con la misura meno precisa delle tre. Giustifica la tua scelta.

Per un lavoro di Economia del quarto anno di liceo, Lucia e Carlo analizzano gli scostamenti di bilancio di due voci:

• Voce A (materiale informatico): costo reale di $820$ €, preventivato in $800$ €.

• Voce B (materiale di cancelleria): costo reale di $12$ €, preventivato in $10$ €.

Carlo afferma: «Nella voce B ci siamo scostati solo di $2$ €, mentre nella A ci siamo scostati di $20$ €. Poiché $2 < 20$, la stima della cancelleria è stata dieci volte più precisa di quella dell'informatica».

1. a) Individua l'errore concettuale nell'affermazione di Carlo e spiega perché l'errore assoluto non è un indicatore valido per confrontare la qualità di queste due approssimazioni.
2. b) Calcola l'errore assoluto e l'errore relativo percentuale commesso in ciascuna delle due voci.
3. c) A partire dai risultati, determina con rigore matematico quale delle due stime di bilancio è stata di qualità migliore.

Uno studente universitario spende esattamente $1,85$ € ogni giorno di lezione per un caffè al bar del campus. In un semestre ci sono esattamente $78$ giorni di lezione.

1. a) Fai una stima rapida a mente della spesa totale in caffè del semestre: arrotonda prima il prezzo unitario all'euro più vicino e il numero di giorni alla decina più vicina. Scrivi la tua stima.
2. b) Calcola la spesa reale esatta e determina l'errore assoluto e l'errore relativo percentuale commessi con la tua stima iniziale.
3. c) Rifletti e ragiona senza fare nuovi calcoli: era prevedibile che la tua stima sovrastimasse la spesa reale anziché sottostimarla? Giustificalo analizzando in che senso è stato arrotondato ciascuno dei due fattori.

Due tecnici del suono stanno calibrando le apparecchiature per un festival musicale. Il primo tecnico misura la lunghezza di un cavo d'antenna e ottiene $15,25$ m, mentre il suo valore reale è $15,30$ m. Il secondo tecnico misura la latenza di un segnale digitale e ottiene $0,018$ s, essendo il valore reale $0,020$ s.

1. a) Calcola l'errore assoluto commesso da ciascun tecnico.
2. b) Determina quale delle due misurazioni è più precisa confrontando i loro errori relativi.
3. c) Se il primo tecnico arrotonda la sua misura ai decimi, quale sarebbe il nuovo errore relativo commesso?

Un'azienda di componenti elettronici produce resistenze che devono avere un valore nominale di $470$ ohm ($\Omega$). Il controllo di qualità ammette un margine di errore (tolleranza) tale che il valore reale $R$ deve soddisfare la condizione $|R - 470| \leq 15$.

1. a) Esprimi mediante un intervallo della retta reale i valori di resistenza ammessi.
2. b) Se una resistenza misurata dà un valore di $482,5 \Omega$, rientra nel margine di tolleranza?
3. c) Calcola il limite dell'errore relativo massimo che l'azienda accetta per questo componente.

Il raggio di una pista circolare di pattinaggio è stato misurato con un metro a nastro, ottenendo un valore di $12,4$ metri. Si sa che l'errore assoluto commesso in questa misurazione è, al massimo, di $0,05$ metri.

1. a) Scrivi l'intervallo in cui si trova il valore reale del raggio.
2. b) Calcola i valori massimo e minimo possibili per l'area della pista (usa $\pi \approx 3,14159$).
3. c) Se prendiamo come approssimazione dell'area il valore calcolato con il raggio di $12,4$ m, qual è il limite di errore assoluto per tale area?

In un laboratorio di biologia, si stima che il numero di batteri in una piastra di coltura sia $4,25 \times 10^7$, con un errore relativo del $2\%$.

1. a) Calcola l'errore assoluto commesso nella stima.
2. b) Tra quali due valori si trova il numero reale di batteri?
3. c) Se dopo un'ora il numero di batteri triplica, esprimi il nuovo totale in notazione scientifica e calcola il suo ordine di grandezza.

Considera i numeri reali $A = \sqrt{7}$ e $B = \frac{22}{8}$.

1. a) Rappresenta in modo esatto il numero $A$ sulla retta reale utilizzando il teorema di Pitagora.
2. b) Approssima entrambi i numeri per arrotondamento ai millesimi.
3. c) Quale errore relativo si commette approssimando la somma $A + B$ con il numero $5,4$?

Un investitore analizza la redditività di una criptovaluta. Il valore attuale è $0,0004582$ € per unità. Per facilitare i calcoli nella sua app, decide di troncare questo valore ai centomillesimi (quinta cifra decimale).

1. a) Scrivi il valore troncato in notazione scientifica.
2. b) Calcola l'errore assoluto e l'errore relativo commessi con questo troncamento.
3. c) Quale sarebbe l'errore relativo se, invece di troncare, avesse arrotondato alla stessa cifra?

Dati i seguenti insiemi di numeri reali:

$A = \{x \in \mathbb{R} : |x - 1| < 3\}$

$B = [-2, 5]$

1. a) Esprimi l'insieme $A$ sotto forma di intervallo.
2. b) Calcola e rappresenta sulla retta reale l'intersezione $A \cap B$ e l'unione $A \cup B$.
3. c) Determina se il numero irrazionale $\sqrt{10}$ appartiene a uno di questi insiemi. Giustifica la risposta approssimando il radicale ai centesimi.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Una scala sismografica utilizza i logaritmi per misurare l'energia rilasciata da un terremoto. Se l'energia $E$ (in joule) è legata alla magnitudo $M$ dalla formula $\log E = 4,8 + 1,5M$:

1. a) Calcola l'energia rilasciata da un terremoto di magnitudo $M = 6,2$. Esprimi il risultato in notazione scientifica arrotondando la mantissa a due decimali.
2. b) Se commettiamo un errore di $0,1$ nel misurare la magnitudo ($M = 6,3$ invece di $6,2$), qual è l'errore relativo percentuale commesso nel calcolo dell'energia?
3. c) Spiega perché un piccolo errore nella magnitudo $M$ provoca un errore così grande nell'energia $E$.

Secondo i dati delle pubblicazioni demografiche dell'ISTAT, un comune italiano ha una popolazione residente di $48\,600$ abitanti, dato pubblicato arrotondato alle centinaia. D'altra parte, l'amministrazione comunale prevede una spesa sociale media di $125$ € per abitante, cifra arrotondata alle unità di euro. Il comune prevede uno stanziamento totale di $G = 48\,600 \cdot 125 = 6\,075\,000$ €.

1. a) Scrivi gli intervalli di incertezza in cui si trovano il numero reale di abitanti ($P$) e la spesa reale media per abitante ($g$).
2. b) Utilizzando la formula di propagazione dei limiti di errore relativo per il prodotto di due grandezze, calcola un limite superiore per l'errore relativo percentuale dello stanziamento totale $G$.
3. c) A partire da tale limite relativo, calcola il limite superiore dell'errore assoluto della spesa totale e determina l'intervallo di valori in cui con certezza si troverà la spesa reale.

In un rapporto di congiuntura economica sull'indice dei prezzi al consumo (IPCA) su base annua di una regione, si pubblica che il tasso di inflazione nel settore dei trasporti è stato del $3,4$ %, valore ottenuto arrotondando ai decimi di punto percentuale.

1. a) Determina l'intervallo di valori numerici in cui si trova il tasso reale $\tau$.
2. b) Trova il limite massimo dell'errore assoluto e calcola il maggiore errore relativo percentuale che si può aver commesso pubblicando la cifra $3,4$ % rispetto al valore reale sconosciuto.
3. c) Se l'autorità statistica regionale richiede per protocollo di qualità che l'errore relativo commesso nel pubblicare il tasso non superi in nessun caso il $0,5$ %, è sufficiente aver arrotondato ai decimi? In caso negativo, determina quante cifre decimali si sarebbero dovute conservare almeno nella pubblicazione per assicurare il rispetto di tale standard.

Un microchip di alta precisione ha una base rettangolare le cui dimensioni sono state misurate con un calibro laser. La lunghezza ottenuta è $l = 4,25$ mm e la larghezza è $w = 2,80$ mm. Si sa che lo strumento di misura ha un errore assoluto massimo di $0,005$ mm in ogni misurazione. Calcola:

1. a) Il limite dell'errore assoluto commesso nel calcolo dell'area del microchip.
2. b) L'intervallo di valori possibili in cui si trova l'area reale.
3. c) Qual è l'errore relativo massimo commesso nel calcolo dell'area, espresso in percentuale e arrotondato ai millesimi?

In un esperimento di fisica delle particelle, si stima che la massa di un campione sia $m = 3,45 \cdot 10^{-6}$ kg con un errore relativo del $0,2\%$. Contemporaneamente, il volume occupato dal campione è misurato come $V = 1,2 \cdot 10^{-9}$ $m^3$ con un limite di errore assoluto di $0,05 \cdot 10^{-9}$ $m^3$.

Determina se è possibile che la densità reale ($\rho = m/V$) del campione superi $3000$ $kg/m^3$, giustificando la risposta mediante il calcolo dei corrispondenti limiti di errore.

Un analista finanziario usa l'approssimazione del numero aureo $\Phi \approx 1,618$ per prevedere l'andamento di una criptovaluta in un grafico di crescita. Sapendo che il valore esatto è $\Phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$:

1. a) Calcola l'errore assoluto commesso in questa approssimazione (usa tutte le cifre decimali della tua calcolatrice per il valore reale).
2. b) Calcola l'errore relativo commesso.
3. c) Se l'analista applica questa proporzione a un investimento di $2.500.000$ €, quale sarebbe la differenza in euro tra l'uso del valore approssimato e quello del valore reale? Questo errore è significativo nel contesto finanziario?

Un escursionista usa un GPS da montagna per orientarsi. Il dispositivo stima la distanza dal rifugio di destinazione mediante la formula $d = \sqrt{x^2 + y^2}$. In un punto del percorso, le coordinate registrate sono $x = 800$ m e $y = 600$ m. Tuttavia, il GPS ha un'imprecisione (limite di errore assoluto) di $2$ metri su ciascun asse.

Calcola il limite dell'errore relativo commesso nella stima della distanza totale $d$. Arrotonda il risultato a quattro cifre significative.

Considera i numeri $A = 5,42 \cdot 10^8$ e $B = 3,1 \cdot 10^7$. Entrambi i numeri sono stati arrotondati alle cifre significative mostrate.

1. a) Determina i limiti di errore assoluto per $A$ e $B$.
2. b) Calcola il valore di $S = A + B$ ed esprimi il risultato in notazione scientifica.
3. c) Trova il limite dell'errore relativo della somma $S$. Come si confronta questo errore relativo con gli errori relativi di $A$ e $B$ presi separatamente?

Un serbatoio cilindrico di carburante ha un'altezza di $H = 10,0$ m e un raggio di base di $R = 4,0$ m. Le misure sono state prese con una precisione di un decimetro.

1. a) Calcola il volume nominale del serbatoio in metri cubi utilizzando $\pi \approx 3,1416$.
2. b) Determina il limite dell'errore assoluto commesso nel calcolo del volume a causa dell'imprecisione delle misure di $R$ e $H$ (considera il valore di $\pi$ come esatto in questo punto).
3. c) Se il carburante si dilata e il volume reale fosse dell'$1\%$ superiore al volume calcolato con le misure (che può scostarsi dal valore nominale fino al limite relativo trovato al punto b), quale sarebbe, nel caso più sfavorevole, l'errore relativo totale rispetto al valore nominale iniziale?

Si è misurata la velocità di una connessione in fibra ottica ottenendo un valore di $540,5$ Mbps. Il tecnico indica che l'errore relativo della misurazione è inferiore al $0,05\%$.

1. a) Tra quali valori può oscillare la velocità reale della connessione?
2. b) Se arrotondiamo il risultato alle decine di Mbps, quale sarebbe il nuovo limite dell'errore relativo massimo che assumeremmo rispetto alla velocità reale, tenendo conto dell'intervallo trovato in a)?

Data la funzione $f(x) = \frac{1}{x-1}$, vogliamo calcolare il suo valore per $x = \sqrt{2}$.

1. a) Approssima il risultato utilizzando per $\sqrt{2}$ il suo arrotondamento ai millesimi.
2. b) Calcola il valore "reale" (con tutte le cifre decimali possibili della calcolatrice).
3. c) Determina l'errore assoluto e l'errore relativo commessi.
4. d) Spiega con un ragionamento perché in questo tipo di funzioni una piccola variazione nell'approssimazione di $x$ può generare un errore relativo molto maggiore nel risultato di $f(x)$ quando $x$ è vicino a $1$.

Una PMI di commercio elettronico analizza il proprio margine commerciale mediante il quoziente $M = \frac{B}{I}$, dove $B$ è l'utile netto ottenuto e $I$ sono i ricavi totali fatturati. Nell'ultimo trimestre si registrano ricavi di $I = 200\,000$ € con un'incertezza assoluta di $\Delta I = 4\,000$ € e un utile di $B = 10\,000$ € con un'incertezza assoluta di $\Delta B = 800$ €. Per stimare l'intervallo in cui oscilla il margine reale, il team finanziario discute tra due procedimenti:

• Metodo 1 (Linearizzazione): calcolare il margine nominale $M_0 = \frac{B}{I}$, sommare i limiti di errore relativo per ottenere $\Delta M / M_0 \approx \frac{\Delta B}{B} + \frac{\Delta I}{I}$ e definire l'intervallo come $[M_0 - \Delta M, M_0 + \Delta M]$.

• Metodo 2 (Aritmetica degli intervalli): calcolare in modo esatto il margine minimo possibile $M_{\min} = \frac{B - \Delta B}{I + \Delta I}$ e il margine massimo possibile $M_{\max} = \frac{B + \Delta B}{I - \Delta I}$.

1. a) Applica entrambi i metodi mostrando tutti i calcoli ed esprimi gli intervalli ottenuti in forma percentuale con tre cifre decimali.
2. b) Confronta i due intervalli ottenuti: hanno la stessa ampiezza? Sono centrati sullo stesso valore? Spiega analiticamente a cosa è dovuta la discrepanza tra i due metodi.
3. c) Se l'azienda deve presentare questo rapporto a una banca per richiedere un finanziamento senza rischio di incorrere in falsità o sovrastima, giustifica con un ragionamento quale dei due metodi è preferibile utilizzare.

Una cooperativa agroalimentare esporta olio extravergine di oliva in serbatoi metallici di forma cubica con spigolo nominale $a = 80$ cm. Il volume di stoccaggio si calcola come $V = a^3$.

Il reparto logistico richiede che l'errore relativo percentuale nel calcolo del volume non superi il $0,75$ % ($E_r(V) \le 0,0075$) per evitare problemi nel trasporto marittimo.

1. a) Utilizzando la relazione di propagazione degli errori del primo ordine per una potenza ($V = a^n$), deduci il limite massimo dell'errore relativo ammissibile nella misurazione diretta dello spigolo $a$.
2. b) A partire dal risultato del punto precedente, determina il limite massimo di errore assoluto $\Delta a$ tollerabile nel misurare lo spigolo di $80$ cm.
3. c) Il produttore dispone di tre strumenti di misura: un metro a nastro comune graduato in centimetri interi ($u = 1$ cm), un flessometro con segni di mezzo centimetro ($u = 0,5$ cm) e un metro laser calibrato al millimetro ($u = 0,1$ cm). Se la cooperativa adotta come criterio di lettura l'arrotondamento al multiplo più vicino della graduazione dello strumento, determina quale sia lo strumento meno costoso (cioè quello di minore precisione) che garantisce il rispetto dell'esigenza logistica. Dimostra numericamente la tua scelta.