Esercizi: Eventi dipendenti e indipendenti

Siano $A$ e $B$ due eventi associati a un esperimento aleatorio. Sappiamo che la probabilità che si verifichi l'evento $A$ è $P(A) = 0,6$ e la probabilità che si verifichi l'evento $B$ è $P(B) = 0,3$. Se si sa che gli eventi sono indipendenti, calcola la probabilità che si verifichino entrambi contemporaneamente, cioè $P(A \cap B)$.

In un distributore di gomme da masticare ci sono palline di tre colori: 10 rosse, 6 blu e 4 verdi. Un bambino prende una gomma, annota il suo colore, la rimette nel distributore e ne prende una seconda.

1. a) Giustifica se gli eventi "estrarre una pallina rossa alla prima" ed "estrarre una pallina blu alla seconda" sono dipendenti o indipendenti.
2. b) Calcola la probabilità che la prima gomma sia blu e la seconda sia verde.

Estraiamo due carte da un mazzo di 40 carte, una dopo l'altra e senza rimettere la prima nel mazzo.

1. a) Qual è la probabilità che la prima carta sia un Re?
2. b) Sapendo che la prima carta era un Re, qual è la probabilità che anche la seconda sia un Re?
3. c) Questi eventi sono dipendenti o indipendenti?

Uno studente di quarta liceo ha due verifiche lo stesso giorno: Matematica e Inglese. La probabilità di essere promosso in Matematica è $P(M) = 0,7$ e quella di essere promosso in Inglese è $P(I) = 0,8$. Supponendo che superare una verifica non influisca sul risultato dell'altra:

1. a) Calcola la probabilità di superare entrambe le verifiche.
2. b) Calcola la probabilità di non superarne nessuna delle due.

In un cassetto del camerino di un negozio di abbigliamento sono rimasti dimenticati 4 calzini neri e 2 calzini bianchi, tutti della stessa taglia e dello stesso tatto. Se una commessa infila la mano ed estrae due calzini a caso, uno dopo l'altro e senza guardare:

1. a) Completa il seguente diagramma ad albero con le probabilità corrispondenti.
2. b) Calcola la probabilità che i due calzini estratti siano neri.

In una scuola è stato condotto un sondaggio sull'uso di due social network: Instagram ($I$) e TikTok ($T$). I risultati mostrano che il $70\%$ degli studenti usa Instagram, il $50\%$ usa TikTok e il $35\%$ usa entrambe le piattaforme. Determina se l'uso di Instagram è indipendente dall'uso di TikTok in questa scuola.

In un controllo di qualità di una fabbrica di lampadine, si sa che la probabilità che una lampadina sia difettosa è $0,02$. Se si scelgono due lampadine a caso, calcola la probabilità che:

1. a) Nessuna sia difettosa.
2. b) Entrambe siano difettose.

(Nota: la dimensione del lotto è così grande che si può considerare che l'estrazione di una lampadina non influisca sulla probabilità della successiva).

Osserva la seguente tabella di contingenza che mostra lo sport preferito da un gruppo di 100 adolescenti:

Si sceglie un adolescente a caso. Calcola:

1. a) $P(F)$, la probabilità che gli piaccia il calcio.
2. b) $P(F|H)$, la probabilità che gli piaccia il calcio sapendo che è un ragazzo.
3. c) Alla luce dei risultati, gli eventi "essere un ragazzo" e "piacere il calcio" sono indipendenti?

In una verifica di Matematica viene posta la seguente domanda: «Lanciamo un dado equilibrato a sei facce. Consideriamo gli eventi $A$: "ottenere un numero pari" e $B$: "ottenere un numero dispari". $A$ e $B$ sono indipendenti?».\n\nLuca risponde nella sua verifica:\n«Poiché è impossibile ottenere un numero pari e dispari contemporaneamente, gli eventi non si influenzano affatto; quindi sono indipendenti perché uno non può alterare l'altro».\n\na) Trova l'errore concettuale nel ragionamento di Luca e spiega in dettaglio perché confonde i concetti di «eventi incompatibili» ed «eventi indipendenti».\nb) Correggi l'esercizio eseguendo la verifica matematica formale rigorosa mediante l'uguaglianza $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ per classificare con certezza se gli eventi sono dipendenti o indipendenti.

In una piccola cooperativa di servizi di $10$ soci, $4$ possiedono un titolo in commercio internazionale e $6$ no. Per partecipare a un incontro d'affari si selezionano a caso e consecutivamente $2$ persone distinte (campionamento senza reinserimento). Siano gli eventi $A$: «la prima persona selezionata ha il titolo» e $B$: «la seconda persona selezionata ha il titolo».\n\na) Prima di calcolare qualsiasi cosa, stima in modo intuitivo e motiva: credi che il verificarsi di $A$ aumenti, riduca o lasci invariata la probabilità che si verifichi $B$? Di conseguenza, ti aspetti che gli eventi siano indipendenti o dipendenti?\nb) Calcola ora i valori esatti di $P(A)$, della probabilità condizionata $P(B|A)$ e della probabilità dell'intersezione $P(A \cap B)$.\nc) Calcola la probabilità marginale $P(B)$ e verifica numericamente se è soddisfatta la condizione di indipendenza $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Valuta se il risultato matematico ottenuto coincide con la tua stima iniziale e spiega che ruolo ha avuto l'assenza di reinserimento.

In una piattaforma di musica in streaming, il $60\%$ degli utenti ascolta il genere "Urban" ($U$) e il $45\%$ ascolta "Pop" ($P$). Si sa inoltre che il $27\%$ degli utenti ascolta entrambi i generi musicali.

1. a) Determina se gli eventi "ascoltare Urban" e "ascoltare Pop" sono indipendenti. Giustifica la risposta matematicamente.

1. b) Se scegliamo un utente che sappiamo ascoltare musica "Pop", qual è la probabilità che ascolti anche "Urban"?

Un'urna contiene 5 palline gialle e 3 palline viola. Estraiamo due palline dall'urna consecutivamente e senza reinserimento.

1. a) Disegna il diagramma ad albero corrispondente a questo esperimento, indicando la probabilità di ogni ramo.

1. b) Calcola la probabilità che le due palline estratte siano dello stesso colore.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un programmatore di videogiochi sta testando il sistema dei "critici" di un personaggio. Il personaggio ha una probabilità $0,2$ di infliggere un colpo critico ($C$). Tuttavia, il sistema è progettato in modo che, se l'ultimo colpo è stato critico, la probabilità che anche il successivo lo sia scenda a $0,1$ a causa del tempo di ricarica dell'abilità. Se l'ultimo colpo non è stato critico, la probabilità del successivo resta $0,2$.

1. a) Gli eventi "primo colpo critico" e "secondo colpo critico" sono indipendenti? Motiva la risposta.

1. b) Calcola la probabilità che, in una sequenza di due colpi, il personaggio non infligga alcun critico.

In un liceo di Roma è stato condotto uno studio sulle abitudini di colazione e sulla classe frequentata dagli studenti, ottenendo i seguenti dati:

Si sceglie uno studente a caso. Verifica se l'evento "fare colazione a casa" è indipendente dall'evento "frequentare la 4ª liceo".

Due componenti elettronici di un drone, $A$ e $B$, funzionano in modo indipendente. La probabilità che si guasti il componente $A$ è $0,05$ e la probabilità che si guasti il componente $B$ è $0,08$.

1. a) Calcola la probabilità che il drone possa continuare a volare se per farlo è necessario che almeno uno dei due componenti funzioni correttamente.

1. b) Calcola la probabilità che si guasti esattamente uno dei due componenti.

Estraiamo due carte da un mazzo di 40 carte, una dopo l'altra e senza rimettere la prima.

1. a) Qual è la probabilità che la seconda carta sia un Re, sapendo che la prima carta era l'Asso di Denari?

1. b) Qual è la probabilità di ottenere due figure (Fante, Cavallo o Re) di semi diversi?

Uno studente di liceo ha due sveglie indipendenti sul cellulare. La prima ($D_1$) funziona il $95\%$ delle mattine e la seconda ($D_2$) funziona il $90\%$ delle volte.

1. a) Calcola la probabilità che lo studente rimanga addormentato perché non suona nessuna delle due sveglie.

1. b) Se sappiamo che almeno una delle sveglie ha suonato, qual è la probabilità che la sveglia $D_1$ abbia fallito?

Siano $A$ e $B$ due eventi di uno spazio campionario tali che $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,3$ e $P(A \cup B) = 0,58$.

1. a) Calcola $P(A \cap B)$.

1. b) Determina se gli eventi $A$ e $B$ sono indipendenti.

1. c) Calcola la probabilità condizionata $P(A | \bar{B})$, dove $\bar{B}$ è l'evento contrario di $B$.

In una motorizzazione provinciale si analizzano i dati di $200$ candidati che si presentano alla prova pratica di guida. Del totale dei candidati, $120$ hanno svolto in precedenza un corso intensivo con simulatore di guida ($S$) e gli altri no. Dopo aver valutato i verbali, si verifica che $90$ di quelli che hanno svolto il corso intensivo hanno superato la prova al primo tentativo ($A$), mentre tra quelli che non hanno svolto il corso intensivo l'hanno superata solo $40$.\n\na) Modellizza le informazioni date costruendo una tabella di contingenza completa delle frequenze assolute e calcola le probabilità $P(S)$, $P(A)$ e $P(S \cap A)$.\nb) Determina formalmente se l'evento «superare la prova al primo tentativo» e l'evento «aver svolto il corso con simulatore» sono eventi matematicamente indipendenti.\nc) A partire dai risultati e confrontando $P(A|S)$ con $P(A)$, interpreta l'efficacia del corso per la Motorizzazione: consiglieresti di raccomandare tale corso ai futuri conducenti? Giustifica la risposta in termini di probabilità.

In una ricerca sul consumo culturale dei giovani in Italia si analizzano due servizi in abbonamento: stampa digitale generalista ($D$) e piattaforme di musica on demand ($M$). Si sa che la probabilità che un giovane sia abbonato alla stampa digitale è $P(D) = 0,40$ e che la probabilità che sia abbonato ad almeno uno dei due servizi è $P(D \cup M) = 0,70$.\n\na) Imposta un'equazione a partire dalle proprietà della probabilità e deduci quale deve essere esattamente il valore di $P(M)$ affinché essere abbonati alla musica e alla stampa digitale siano eventi statisticamente indipendenti.\nb) Supponiamo che un sondaggio successivo più ampio riveli che in realtà la probabilità di abbonamento alla musica è $P(M) = 0,60$. Con questo nuovo dato, calcola il valore reale di $P(D \cap M)$ e determina se i due servizi si comportano come eventi che si «attraggono» (si verificano insieme più spesso di quanto atteso per puro caso) o che si «respingono» (si verificano insieme meno spesso di quanto atteso).

In un popolare videogioco di strategia, i giocatori aprono "forzieri leggendari" per ottenere ricompense. La probabilità di ottenere un eroe di livello S nel primo forziere è di appena $0,05$. Tuttavia, il gioco ha un sistema di "fortuna accumulata": se non ottieni l'eroe in un forziere, la probabilità di ottenerlo nel successivo aumenta di $0,02$ rispetto alla probabilità del forziere precedente. Se ottieni l'eroe, la probabilità torna a $0,05$ per il tentativo successivo.

La figura mostra la situazione che devi studiare: i primi due forzieri non danno l'eroe e l'eroe compare nel terzo.

Calcola la probabilità che un giocatore debba aprire esattamente tre forzieri per ottenere il suo primo eroe di livello S.

Un'urna contiene $n$ palline bianche e $4$ palline nere. Si estraggono successivamente due palline senza reinserimento. Sapendo che la probabilità che entrambe le palline siano bianche è esattamente $\frac{1}{3}$, determina mediante un'equazione algebrica quante palline bianche c'erano inizialmente nell'urna.

Un sistema di sicurezza a doppia autenticazione invia un codice al cellulare dell'utente. Se il primo messaggio non arriva (cosa che accade con probabilità $0,12$), il sistema tenta un secondo invio. Tuttavia, a causa della saturazione della rete, se il primo invio è fallito, la probabilità che anche il secondo fallisca sale a $0,45$. D'altra parte, se il primo invio è andato a buon fine, la probabilità che l'utente riceva un secondo messaggio di conferma è $0,98$.

Calcola la probabilità che un utente riceva il secondo messaggio, indipendentemente da ciò che è accaduto con il primo.

In un allenamento di basket, un giocatore tira due tiri liberi consecutivi. La probabilità di segnare il primo è $0,7$. Se segna il primo, la sua fiducia aumenta e la probabilità di segnare il secondo è $0,8$. Se sbaglia il primo, si innervosisce e la probabilità di segnare il secondo scende a $0,4$.

Se sappiamo che il giocatore ha segnato solo uno dei due tiri, qual è la probabilità che sia stato il secondo?

Tre laboratori farmaceutici ($L_1$, $L_2$ e $L_3$) producono lo stesso tipo di test antigenico. $L_1$ produce il $45\%$ del totale, $L_2$ il $30\%$ e $L_3$ il resto. Si sa che la percentuale di test difettosi è del $1\%$ per $L_1$, del $2\%$ per $L_2$ e del $3\%$ per $L_3$.

Se scegliamo due test a caso da un grande lotto in cui sono mescolati tutti i produttori (puoi considerare l'estrazione con reinserimento, dato il grande volume):

1. a) Qual è la probabilità che entrambi siano difettosi?
2. b) Sapendo che il primo è risultato difettoso, qual è la probabilità che lo sia anche il secondo? Giustifica se questi eventi sono dipendenti o indipendenti.

Due eventi $A$ e $B$ soddisfano $P(A) = 0,6$ e $P(B) = 0,7$. La figura mostra un diagramma di Venn con entrambi gli eventi all'interno dello spazio campionario $\Omega$.

1. a) Determina l'intervallo dei valori possibili per la probabilità dell'intersezione $P(A \cap B)$.

1. b) Sulla base di ciò, spiega perché gli eventi $A$ e $B$ non possono mai essere incompatibili.

1. c) Quale valore dovrebbe avere $P(A \cap B)$ affinché $A$ e $B$ siano indipendenti?

In un centro di intelligence, un software di riconoscimento facciale analizza immagini. La probabilità che identifichi correttamente un individuo se questo è nella banca dati è $0,95$. Tuttavia, il software ha un margine di errore e a volte identifica erroneamente persone che non sono nella banca dati con probabilità $0,02$.

Sapendo che solo il $1\%$ delle persone che passano per una dogana è nella banca dati, calcola:

1. a) La probabilità che il software dia un allarme (identifichi qualcuno).
2. b) Se il software ha identificato una persona, qual è la probabilità che sia realmente nella banca dati?

Si lanciano due dadi tetraedrici (facce numerate da 1 a 4). Siano gli eventi:

• $A$: "La somma delle facce è un numero primo".

• $B$: "Il prodotto delle facce è un multiplo di 4".

• $C$: "Almeno uno dei dadi mostra un 1".

Studia l'indipendenza degli eventi $A$ e $B$, e degli eventi $B$ e $C$. Esiste una qualche relazione di dipendenza tra il risultato del primo dado e quello del secondo? Spiegalo matematicamente.

Un server di archiviazione di dati critici di un istituto bancario dispone di due sistemi indipendenti di backup, $S_1$ e $S_2$. In caso di perdita accidentale di file, la probabilità che il sistema $S_1$ recuperi i dati è $0,90$, e quella del sistema $S_2$ è $0,80$. Per calcolare la probabilità che l'istituto non perda i dati (cioè che almeno uno dei due sistemi funzioni con successo, evento $S_1 \cup S_2$), due analisti propongono procedimenti diversi:\n- Metodo 1: Applicare la regola generale dell'addizione $P(S_1 \cup S_2) = P(S_1) + P(S_2) - P(S_1 \cap S_2)$, usando l'indipendenza di $S_1$ e $S_2$ per calcolare l'intersezione.\n- Metodo 2: Usare l'evento contrario e calcolare $1 - P(\overline{S_1} \cap \overline{S_2})$, assumendo che se due eventi sono indipendenti, anche i loro contrari lo sono.\n\na) Sviluppa numericamente entrambi i metodi e verifica che forniscano lo stesso risultato.\nb) Dimostra in modo algebrico generale che se due eventi qualsiasi $A$ e $B$ sono indipendenti, allora i loro eventi contrari $\overline{A}$ e $\overline{B}$ sono necessariamente indipendenti.\nc) Se la banca decide di aumentare la sicurezza installando $5$ sistemi di backup indipendenti invece di $2$, giustifica quale dei due metodi sia notevolmente più efficiente e vantaggioso per calcolare la probabilità di successo complessiva.

Un generatore pseudocasuale di sicurezza per bonifici bancari emette codici di due bit con quattro risultati equiprobabili: $\Omega = \{00, 01, 10, 11\}$, ciascuno con probabilità $\frac{1}{4}$. Consideriamo i seguenti tre eventi:\n- $A$: «il primo bit è $1$»\n- $B$: «il secondo bit è $1$»\n- $C$: «esattamente uno dei due bit è $1$» (cioè i bit sono diversi).\n\na) Descrivi gli elementi che formano gli eventi $A$, $B$ e $C$, e calcola le loro probabilità $P(A)$, $P(B)$ e $P(C)$.\nb) Analizza l'indipendenza a due a due: verifica matematicamente se $A$ e $B$ sono indipendenti, se $A$ e $C$ sono indipendenti, e se $B$ e $C$ sono indipendenti.\nc) Verifica se i tre eventi sono mutuamente indipendenti valutando l'uguaglianza $P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)$.\nd) Spiega l'apparente paradosso: come è possibile che conoscere singolarmente il risultato di un evento non fornisca alcuna informazione su un altro (indipendenza a coppie), ma conoscere il risultato congiunto di due di essi determini con una certezza del $100\,\%$ ciò che accade con il terzo?

Sfida del tema. Il livello di istruzione determina l'inserimento lavorativo dei giovani? Analizza i dati ufficiali dell'ISTAT per verificarlo in termini probabilistici.

1. Ricerca e conteggio: Accedi al portale dell'ISTAT (rilevazione sulle forze di lavoro) ed estrai i dati di una tabella di contingenza di $2 \times 2$ sui giovani (16-24 anni), classificandoli per livello di istruzione (Istruzione superiore vs. Non superiore) e condizione lavorativa (Occupato vs. Disoccupato).

2. Elaborazione in foglio di calcolo: Inserisci i valori in un foglio di calcolo. Definisci gli eventi $S$ («possiede un'istruzione superiore») e $D$ («è disoccupato»). Assegna probabilità marginali e composte mediante la definizione classica di probabilità e le tecniche di conteggio matriciale.

3. Probabilità condizionata e indipendenza: Calcola nel foglio $P(D|S)$ e $P(D|\overline{S})$. Giustifica formalmente mediante proprietà teoriche se $S$ e $D$ sono dipendenti o indipendenti verificando se $P(S \cap D) = P(S) \cdot P(D)$ con un margine di tolleranza inferiore a $0,005$.

4. Proposta motivata: Redigi un rapporto sintetico di una pagina con le tue tabelle, le formule utilizzate e una valutazione sociologica basata strettamente sui risultati probabilistici ottenuti.

Verrà valutato:

• Ricerca rigorosa di dati reali e corretta formulazione matematica nel foglio di calcolo.

• Precisione nel calcolo di probabilità composte, condizionate e nella dimostrazione di (in)dipendenza.

• Capacità critica di argomentare conclusioni socioeconomiche fondate sui valori probabilistici.