Esercizi: Definizioni e proprietà

Il club di teatro di un liceo decide di sorteggiare tre biglietti per la prima tra il pubblico presente. Per farlo, utilizza un'urna con palline numerate da $1$ a $20$. Si considera l'esperimento aleatorio di estrarre una pallina e annotarne il numero.

Definisci i seguenti elementi:

1. a) Lo spazio campionario $E$.

1. b) L'evento $A$: "ottenere un numero multiplo di $5$".

1. c) L'evento $B$: "ottenere un numero primo maggiore di $10$".

1. d) L'evento $C$: "ottenere un numero minore di $4$".

Scrivi tutti gli eventi elementari che formano ciascuno degli insiemi precedenti.

In un'urna ci sono $12$ palline colorate: $5$ sono rosse, $4$ sono blu e $3$ sono gialle. Estraiamo una pallina a caso e osserviamo il suo colore. Utilizzando la definizione classica di probabilità, calcola la probabilità dei seguenti eventi:

1. a) $P(R)$: "la pallina è rossa".
2. b) $P(A \cup M)$: "la pallina è blu o gialla".
3. c) $P(\bar{R})$: "la pallina non è rossa".
4. d) $P(V)$: "la pallina è verde".

Osserva il seguente diagramma di Venn che rappresenta gli eventi $A$ e $B$ all'interno di uno spazio campionario $E$. I numeri rappresentano la quantità di eventi elementari in ciascuna regione.

Se l'esperimento consiste nello scegliere a caso uno degli eventi elementari di $E$, tutti equiprobabili, calcola:

1. a) $P(A)$
2. b) $P(A \cap B)$
3. c) $P(A \cup B)$
4. d) $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ (che non sia né in $A$ né in $B$).

Un'app di musica ha analizzato le preferenze di un gruppo di giovani. Si sa che la probabilità che a un utente piaccia la Trap è $P(T) = 0,65$, la probabilità che gli piaccia il Pop è $P(P) = 0,40$ e la probabilità che gli piacciano entrambi i generi è $P(T \cap P) = 0,15$.

Calcola la probabilità che, scegliendo un utente a caso:

1. a) Gli piaccia la Trap o il Pop.
2. b) Non gli piaccia la Trap.
3. c) Gli piaccia la Trap ma non il Pop ($P(T - P)$).

Indica motivando se le seguenti assegnazioni di probabilità per uno spazio campionario $E = \{x_1, x_2, x_3\}$ sono valide secondo gli assiomi di Kolmogorov:

1. a) $P(x_1) = 0,4; \quad P(x_2) = 0,3; \quad P(x_3) = 0,3$
2. b) $P(x_1) = 0,7; \quad P(x_2) = -0,1; \quad P(x_3) = 0,4$
3. c) $P(x_1) = 0,5; \quad P(x_2) = 0,5; \quad P(x_3) = 0,2$
4. d) $P(x_1) = 1; \quad P(x_2) = 0; \quad P(x_3) = 0$

Lanciamo un dado a sei facce numerate da $1$ a $6$. Consideriamo gli eventi:

• $A = \{2, 4, 6\}$ (esce un numero pari)

• $B = \{1, 2, 3\}$ (esce un numero minore o uguale a $3$)

• $C = \{5\}$ (esce il cinque)

Determina se le seguenti coppie di eventi sono compatibili o incompatibili:

1. a) $A$ e $B$
2. b) $A$ e $C$
3. c) $B$ e $C$

Giustifica la risposta verificando se l'intersezione di ciascuna coppia è l'insieme vuoto $\emptyset$.

In un liceo, il $25\%$ degli studenti del quarto anno è iscritto a lezioni di chitarra e il $15\%$ è iscritto a lezioni di pianoforte. Se sappiamo che nessuno studente frequenta entrambi gli strumenti contemporaneamente:

1. a) Come si chiamano in probabilità questo tipo di eventi?

1. b) Calcola la probabilità che uno studente scelto a caso studi chitarra o pianoforte.

1. c) Calcola la probabilità che uno studente non studi nessuno di questi due strumenti.

Si estrae una carta da un mazzo di $40$ carte. Calcola la probabilità di ottenere:

1. a) Un re.
2. b) Una carta di coppe.
3. c) L'asso di denari.
4. d) Una figura (fante, cavallo o re).
5. e) Una carta che non sia un asso.

Ugo analizza un sondaggio realizzato nel suo liceo sugli hobby degli studenti. Secondo i suoi appunti, la probabilità che uno studente giochi abitualmente ai videogiochi è $P(V) = 0,70$ e quella che pratichi uno sport di squadra è $P(D) = 0,50$. Ugo pubblica sul giornalino della scuola le seguenti due affermazioni:

1. «Gli eventi $V$ e $D$ sono incompatibili perché chi dedica molto tempo ai videogiochi non ha tempo per allenarsi in una squadra».

2. «Quindi la probabilità che uno studente giochi ai videogiochi o pratichi uno sport di squadra è $P(V \cup D) = 0,70 + 0,50 = 1,20$».

1. a) Individua i due errori concettuali commessi da Ugo e spiega motivando quali assiomi o proprietà della probabilità viola ciascuna delle sue affermazioni.
2. b) Correggi l'analisi di Ugo deducendo il valore minimo che deve avere $P(V \cap D)$ affinché i dati siano compatibili con gli assiomi di Kolmogorov.
3. c) Se $P(V \cap D)$ assume esattamente quel valore minimo, calcola la probabilità che uno studente scelto a caso pratichi soltanto sport di squadra.

In un sondaggio sulle abitudini di mobilità sostenibile in un capoluogo di provincia, la probabilità che un cittadino usi abitualmente il trasporto pubblico è $P(T) = 0,60$, che usi la bicicletta è $P(B) = 0,25$ e la probabilità che utilizzi entrambi i mezzi nella vita quotidiana è $P(T \cap B) = 0,15$.

1. a) Prima di eseguire qualsiasi operazione matematica, stima in modo motivato se la probabilità che una persona usi almeno uno dei due mezzi, $P(T \cup B)$, sarà minore della somma diretta $0,60 + 0,25 = 0,85$ e se può arrivare a essere minore di $0,60$.
2. b) Applica la formula generale della probabilità dell'unione per calcolare il valore esatto di $P(T \cup B)$ e verifica se la tua stima iniziale era corretta.
3. c) A partire dal risultato precedente e utilizzando la probabilità dell'evento contrario insieme alle leggi di De Morgan, calcola la probabilità che un cittadino non utilizzi nessuno dei due mezzi, $P(\overline{T} \cap \overline{B})$, e interpreta se il risultato ottenuto è coerente con i dati di partenza.

In una piattaforma di streaming, il $65\ \%$ degli abbonati ha visto l'ultima stagione di una serie di fantascienza ($S$), il $40\ \%$ ha visto un documentario sulla natura ($D$) e il $25\ \%$ ha visto entrambi i contenuti. Se scegliamo un utente a caso, calcola la probabilità dei seguenti eventi:

a) Che abbia visto la serie o il documentario.

b) Che non abbia visto né la serie né il documentario.

c) Che abbia visto la serie ma non il documentario.

È stato condotto un sondaggio tra gli studenti di un liceo sull'uso dei social network. Si sa che la probabilità che uno studente usi Instagram ($I$) è $P(I) = 0,82$ e la probabilità che usi TikTok ($T$) è $P(T) = 0,55$. Se la probabilità che non usi nessuno dei due è $P(\bar{I} \cap \bar{T}) = 0,10$, utilizza le leggi di De Morgan per calcolare:

a) La probabilità che usi almeno uno dei due social network.

b) La probabilità che li usi entrambi contemporaneamente.

c) Gli eventi "usare Instagram" e "usare TikTok" sono incompatibili? Motiva la risposta.

In una scuola di lingue, gli studenti sono suddivisi in base al livello frequentato e alla lingua scelta. I dati sono riportati nella seguente tabella di contingenza:

	Inglese ($A$)	Francese ($B$)	TOTALE
Livello B1 ($M$)	$45$		$75$
Livello B2 ($N$)		$20$
TOTALE	$100$

a) Completa i dati mancanti nella tabella.

b) Se scegliamo uno studente a caso, calcola la probabilità che studi Francese o sia del livello B2.

c) Sapendo che lo studente scelto è del livello B1, qual è la probabilità che studi Inglese?

Una squadra di e-sports partecipa a un torneo con due fasi eliminatorie. La probabilità di superare la prima fase è $0,7$ e, se la supera, quella di superare la seconda è $0,6$. Rappresenta la situazione mediante un diagramma ad albero e calcola:

a) La probabilità che la squadra superi entrambe le fasi.

b) La probabilità che venga eliminata in una delle due fasi.

c) La probabilità che superi esattamente una delle due fasi.

Siano $A$ e $B$ due eventi associati a un esperimento aleatorio di cui si conoscono le probabilità: $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ e $P(A \cup B) = 0,7$.

a) Calcola $P(A \cap B)$.

b) Determina se $A$ e $B$ sono eventi indipendenti.

c) Calcola la probabilità dell'evento unione dei contrari, cioè $P(\bar{A} \cup \bar{B})$.

In un centro di salute giovanile, il $30\ \%$ dei pazienti si rivolge al centro per motivi nutrizionali ($N$), il $50\ \%$ per salute mentale ($S$) e il $20\ \%$ per controlli di routine ($R$). Si sa che il $10\ \%$ di quelli che si rivolgono per nutrizione, il $20\ \%$ per salute mentale e il $5\ \%$ per controlli sono maggiorenni ($M$).

a) Calcola la probabilità che un paziente scelto a caso sia maggiorenne.

b) Se scegliamo un paziente e risulta maggiorenne, qual è la probabilità che si sia rivolto al centro per motivi di salute mentale?

Una scatola contiene 10 auricolari wireless, di cui 3 difettosi. Se estraiamo due auricolari consecutivamente e senza reinserimento, calcola la probabilità che:

a) I due auricolari funzionino correttamente.

b) Almeno uno degli auricolari sia difettoso.

c) Il secondo auricolare sia difettoso sapendo che il primo non lo era.

In un'estrazione benefica organizzata dagli studenti per il viaggio di fine anno, si vendono biglietti numerati da $000$ a $999$. Consideriamo gli eventi:

$A =$ "Il numero termina con una cifra pari (0, 2, 4, 6, 8)".

$B =$ "Il numero è multiplo di 25".

a) Calcola $P(A)$ e $P(B)$ applicando la definizione classica di probabilità.

b) Gli eventi $A$ e $B$ sono compatibili o incompatibili? Giustifica la risposta trovando l'evento $A \cap B$.

c) Calcola la probabilità che il numero estratto termini con una cifra pari o sia multiplo di 25.

Dai dati pubblicati dall'Istituto Nazionale di Statistica (ISTAT) nella sua indagine sulle dotazioni e sull'uso delle TIC nelle famiglie italiane, si osserva che il $85\,\%$ della popolazione adulta utilizza l'home banking (evento $B$) e il $65\,\%$ svolge pratiche presso portali pubblici online (evento $A$). Inoltre, si rileva che la probabilità che un cittadino scelto a caso non effettui nessuna di queste due operazioni digitali è $0,08$.

1. a) Modellizza formalmente l'informazione traducendo ogni percentuale in probabilità di eventi espressi con operazioni tra insiemi ($A$, $B$, unioni, intersezioni o contrari).
2. b) Utilizza le proprietà dell'evento contrario per ottenere il valore numerico della probabilità che un cittadino effettui almeno una delle due operazioni, $P(B \cup A)$.
3. c) Dimostra rigorosamente, a partire dagli assiomi di Kolmogorov, perché gli eventi $B$ e $A$ non possono essere incompatibili e calcola la percentuale esatta di cittadini che effettuano entrambe le operazioni.
4. d) Se si definisce un nuovo evento $D$: «scaricare certificati fiscali», e sappiamo che questa pratica richiede sempre l'accesso a un portale pubblico ($D \subseteq A$), ragiona mediante la proprietà di monotonia se un rapporto che sostenesse che $P(D) = 0,70$ sarebbe matematicamente ammissibile.

In un'azienda di e-commerce si effettua un controllo di qualità sulle spedizioni. La probabilità che un pacco subisca un ritardo nella consegna è $P(R) = 0,12$, la probabilità che contenga un articolo sbagliato è $P(E) = 0,08$ e la probabilità che si verifichino entrambi i problemi contemporaneamente nello stesso ordine è $P(R \cap E) = 0,03$. Il servizio clienti deve calcolare la probabilità dell'evento $U$: «l'ordine presenta esattamente uno dei due problemi».

1. a) Svolgi il calcolo con il Metodo 1: scomponi $U$ come unione di due eventi disgiunti usando la differenza di eventi ($R - E$ e $E - R$), applicando le corrispondenti proprietà della probabilità.
2. b) Svolgi il calcolo con il Metodo 2: esprimi la probabilità di $U$ a partire dalla differenza tra l'unione e l'intersezione, $P(R \cup E) - P(R \cap E)$, giustificando prima con un ragionamento logico perché questa espressione è equivalente a $U$.
3. c) Confronta i due percorsi: verifica che portano allo stesso valore e giustifica quale dei due metodi sarebbe più vantaggioso se un audit esterno ti fornisse direttamente i valori complessivi $P(R \cup E) = 0,17$ e $P(R \cap E) = 0,03$ senza darti $P(R)$ né $P(E)$ separatamente.

Dati due eventi $A$ e $B$ associati a uno stesso esperimento aleatorio, sappiamo che la probabilità che non si verifichi nessuno dei due è $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,2$. Inoltre si sa che $P(A) = 0,5$ e che la probabilità che si verifichi $A$ ma non si verifichi $B$ è $P(A - B) = 0,3$.

Calcola in modo motivato, utilizzando le proprietà della probabilità e le leggi di De Morgan:

1. a) $P(A \cup B)$
2. b) $P(A \cap B)$
3. c) $P(B)$
4. d) $P(\bar{A} \cup \bar{B})$

In un prestigioso torneo di e-sport si deve scegliere un comitato di controllo antidoping digitale formato da 4 membri. Il gruppo di candidati è composto da 8 analisti di dati e 6 esperti di cybersicurezza. Se la selezione avviene in modo casuale, calcola la probabilità dei seguenti eventi:

1. a) Il comitato è formato esclusivamente da esperti di cybersicurezza.
2. b) Nel comitato c'è almeno un rappresentante di ciascun profilo.
3. c) Il numero di analisti di dati è strettamente maggiore di quello degli esperti di cybersicurezza.

Uno studio sugli hobby dei giovani di 16 anni rivela che il $60\%$ pratica uno sport, il $55\%$ suona uno strumento musicale e il $45\%$ va regolarmente al cinema. Inoltre, si sa che il $30\%$ pratica sport e suona uno strumento, il $25\%$ pratica sport e va al cinema, e il $20\%$ suona uno strumento e va al cinema. Solo il $10\%$ dei giovani svolge contemporaneamente le tre attività.

Scegliendo un giovane a caso, calcola e spiega la probabilità che:

1. a) Svolga almeno una delle tre attività.
2. b) Non svolga nessuna di queste attività.
3. c) Svolga esclusivamente una delle tre attività.

Dimostra in modo motivato se le seguenti affermazioni sono vere o false, fornendo un controesempio numerico nel caso siano false:

1. a) Se due eventi $A$ e $B$ sono incompatibili ($A \cap B = \emptyset$), allora devono necessariamente essere dipendenti.
2. b) Se $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$, allora gli eventi $A$ e $B$ sono indipendenti.
3. c) Se $P(A) = 0,6$ e $P(B) = 0,5$, allora gli eventi $A$ e $B$ non possono essere incompatibili.

In una scuola, il $65\%$ degli studenti pratica calcio ($F$) e il $50\%$ pratica pallacanestro ($B$). Sapendo che la probabilità che uno studente non pratichi nessuno dei due sport è $P(\bar{F} \cap \bar{B}) = 0,15$:

1. a) Determina se gli eventi $F$ e $B$ sono indipendenti.
2. b) Se il club di scacchi ($A$) è un evento tale che $A \subset F$ e $P(A) = 0,2$, calcola la probabilità che uno studente scelto a caso pratichi calcio ma non scacchi.
3. c) Calcola $P(\bar{F} \cup \bar{B})$ e interpreta il suo significato nel contesto del problema.

Un sistema informatico di sicurezza ha tre livelli di protezione indipendenti ($C_1, C_2, C_3$). La probabilità che un attaccante riesca a violare il primo livello è $0,15$; la probabilità di violare il secondo è $0,10$ e quella del terzo è $0,05$. Il sistema si considera compromesso solo se l'attaccante riesce a superare tutti e tre i livelli.

1. a) Qual è la probabilità che il sistema sia compromesso?
2. b) Qual è la probabilità che l'attaccante superi almeno un livello di protezione?
3. c) Qual è la probabilità che l'attaccante superi esattamente due dei tre livelli?

Si lancia un dado a sei facce truccato in modo tale che le facce pari abbiano tutte la stessa probabilità di uscire, e anche le facce dispari abbiano la stessa probabilità tra loro. Tuttavia, si sa che la probabilità di ottenere un numero pari è il triplo di quella di ottenere un numero dispari.

1. a) Determina la probabilità di ciascuna delle sei facce del dado.
2. b) Se si lancia il dado due volte, qual è la probabilità che la somma dei punteggi ottenuti sia un numero primo?
3. c) Calcola la probabilità di ottenere almeno un numero maggiore di 4 in tre lanci consecutivi.

In un laboratorio biologico si analizzano campioni di DNA. Si è osservato che in un esperimento con 5 campioni indipendenti la probabilità che almeno un campione presenti una mutazione specifica è $0,67232$.

1. a) Calcola la probabilità che un singolo campione scelto a caso presenti tale mutazione (supponendo che sia la stessa per tutti i campioni).
2. b) Se si analizzano 3 campioni, qual è la probabilità che esattamente due presentino la mutazione?
3. c) Quanti campioni bisognerebbe analizzare, come minimo, affinché la probabilità di trovare almeno una mutazione sia maggiore di $0,95$?

Un reparto di gestione degli investimenti valuta due eventi sfavorevoli, $A$ e $B$, che potrebbero colpire un portafoglio di attività. La direzione stabilisce come vincolo di sicurezza che la probabilità che non si verifichi nessuno dei due eventi sia almeno $0,60$ ($P(\overline{A} \cap \overline{B}) \geq 0,60$). Si sa con certezza che la probabilità dell'evento $A$ è $P(A) = 0,35$.

1. a) Supponendo che gli eventi $A$ e $B$ siano incompatibili, determina il valore massimo che potrebbe raggiungere la probabilità $P(B)$ per rispettare il criterio di sicurezza della direzione.
2. b) Se una nuova perizia conclude che $P(B) = 0,25$, deduci la disequazione che $P(A \cap B)$ deve soddisfare per garantire che $P(\overline{A} \cap \overline{B}) \geq 0,60$. Successivamente, determina l'intervallo chiuso completo $[k_{\min}, k_{\max}]$ dei valori ammissibili per $P(A \cap B)$, tenendo conto dei limiti assiomatici di Fréchet.
3. c) Costruisci un'assegnazione esplicita di probabilità per la partizione formata dai quattro eventi elementari incompatibili $\{A \cap B,\ A \cap \overline{B},\ \overline{A} \cap B,\ \overline{A} \cap \overline{B}\}$ in modo che si verifichino contemporaneamente $P(A) = 0,35$, $P(B) = 0,25$ e $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0,65$, verificando che siano soddisfatti tutti gli assiomi di Kolmogorov.

L'Aeronautica Militare (servizio meteorologico) analizza la frequenza di due allerte meteorologiche estive in una zona agricola: allerta per ondata di calore ($C$) e allerta per temporale secco ($T$). Dallo storico degli ultimi anni si stima che $P(C) = 0,75$ e $P(T) = 0,40$.

1. a) Deduci passo dopo passo, utilizzando esclusivamente gli assiomi di Kolmogorov e le proprietà dell'addizione, l'intervallo numerico chiuso $[L_{\min}, L_{\max}]$ entro cui deve necessariamente trovarsi la probabilità che le due allerte coincidano, $P(C \cap T)$, giustificando analiticamente da dove nasce ciascuno dei due limiti.
2. b) Un'associazione di agricoltori presenta un rapporto in cui sostiene che la probabilità di avere una giornata tranquilla senza nessuna delle due allerte è del $30\,\%$ ($P(\overline{C} \cap \overline{T}) = 0,30$). Dimostra matematicamente che questa affermazione è insostenibile e falsa, analizzando la contraddizione che si produce sia calcolando $P(C \cap T)$ sia applicando la proprietà di monotonia all'evento $C$ rispetto all'unione $C \cup T$.
3. c) Se si aggiunge una terza allerta per grandine ($G$) e si sa che ogni episodio di grandine è necessariamente accompagnato da temporale secco ($G \subseteq T$), dimostra a partire dall'assioma di additività che $P(T \cap \overline{G}) = P(T) - P(G)$. Calcola tale probabilità sapendo che $P(G) = 0,15$ e interpreta il suo significato per il settore assicurativo agricolo.