Esercizi: Operazioni con le funzioni

Date le funzioni $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$ e $g(x) = x^2 + 4x - 7$, determina l'espressione semplificata della funzione somma $(f + g)(x)$ e della funzione differenza $(f - g)(x)$.

Un'azienda di corrieri stabilisce che i suoi ricavi mensili (in euro) sono dati dalla funzione $I(x) = 15x$, dove $x$ è il numero di pacchi spediti. D'altra parte, i suoi costi totali mensili (in euro) sono regolati dalla funzione $C(x) = 5x + 1200$.

Ottieni l'espressione della funzione profitto $B(x) = (I - C)(x)$ e spiega che cosa rappresenta il termine noto della funzione risultante in questo contesto.

Date le funzioni $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$ e $g(x) = x + 5$, calcola il dominio della funzione prodotto $(f \cdot g)(x)$ e della funzione quoziente $(\frac{f}{g})(x)$. Quali valori di $x$ devono essere esclusi in ciascun caso?

Considera le funzioni $f(x) = 2x - 3$ e $g(x) = x^2 + 1$. Calcola il valore delle seguenti composizioni nei punti indicati:

1. a) $(g \circ f)(2)$
2. b) $(f \circ g)(-1)$
3. c) $(f \circ f)(0)$

Trova l'espressione algebrica della funzione composta $(g \circ f)(x)$ con $f(x) = 3x + 2$ e $g(x) = \sqrt{x - 1}$. Indica qual è il dominio della funzione risultante.

La figura mostra lo schema della composizione: il valore $x$ entra in $f$ e il risultato che esce da $f$ entra in $g$.

Data la funzione $f(x) = \frac{x - 4}{2}$, calcola la sua funzione inversa $f^{-1}(x)$. Verifica che il tuo risultato sia corretto eseguendo la composizione $(f \circ f^{-1})(x)$ e controllando di ottenere la funzione identità.

Nello studio di un mercato, l'offerta di un prodotto dipende dal prezzo $p$ secondo la funzione $O(p) = 2p - 10$. Trova la funzione inversa $O^{-1}$, che permette di conoscere il prezzo necessario per ottenere una determinata quantità di offerta. Quale sarebbe il prezzo se vogliamo che l'offerta sia di 40 unità?

Dato il grafico della funzione $f(x) = x + 3$, disegna in modo schematico la sua funzione inversa $f^{-1}(x)$ utilizzando la simmetria rispetto alla retta $y = x$. Scrivi l'espressione analitica di entrambe le funzioni.

Nella figura trovi il grafico di $f$ (in blu) e la retta $y = x$ (tratteggiata, in arancione). Ogni tacca degli assi corrisponde a un'unità.

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

In una verifica di Matematica applicata alle scienze sociali, Marco deve operare con le funzioni $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ e $g(x) = x - 4$. Sul suo foglio scrive quanto segue:

1. a) $(f - g)(x) = 3x^2 - 2x + 5 - x - 4 = 3x^2 - 3x + 1$.
2. b) $(g \circ f)(2) = g(2) \cdot f(2) = (2 - 4) \cdot (3\cdot 2^2 - 2\cdot 2 + 5) = (-2) \cdot 13 = -26$.

Individua in modo ragionato i due errori concettuali commessi da Marco: uno nella differenza di funzioni e l'altro nell'interpretare la notazione della composizione. Correggi entrambi i punti calcolando l'espressione algebrica semplificata e corretta di $(f - g)(x)$ e il valore numerico esatto di $(g \circ f)(2)$.

Durante il periodo dei saldi in un negozio di abbigliamento a Roma, vengono annunciate due promozioni successive applicabili a un capo il cui prezzo di cartellino è $x$ euro:

• Promozione A: uno sconto diretto del $20\,\%$ sul prezzo, modellizzato dalla funzione $f(x) = 0,80x$.

• Promozione B: un buono sconto aggiuntivo di $15$ € applicabile all'acquisto, modellizzato dalla funzione $g(x) = x - 15$.

• Modella algebricamente mediante composizione la funzione che rappresenta il prezzo finale se si applica prima lo sconto del $20\,\%$ e poi il buono di $15$ €, cioè $(g \circ f)(x)$.

• Modella la funzione nel caso in cui il negozio decidesse di applicare prima il buono di $15$ € e su quella cifra residua lo sconto del $20\,\%$, cioè $(f \circ g)(x)$.

• Confronta le due funzioni calcolando la loro differenza: $[(g \circ f) - (f \circ g)](x)$. A partire dal risultato, determina quale dei due ordini di applicazione favorisce di più l'acquirente e quanti soldi esatti risparmia indipendentemente dal prezzo iniziale $x$ del capo.

Un laboratorio artigianale di pasticceria ha due tipi di costi mensili. Il costo di forni ed energia è dato dalla funzione $F(x) = 0,5x^2 + 200$, dove $x$ è il numero di torte realizzate. D'altra parte, i costi di ingredienti e personale seguono la funzione $V(x) = 30x + 500$.

Calcola l'espressione della funzione Costo totale $C(x)$ come somma delle due e determina il costo che comporta per il laboratorio realizzare 100 torte in un mese.

Un giovane imprenditore vende magliette di design. I suoi ricavi dalla vendita di $x$ unità sono dati dalla funzione $I(x) = 25x$, mentre i costi di produzione sono $C(x) = x^2 + 5x + 40$.

Trova l'espressione analitica della funzione Profitto, definita come $B(x) = (I - C)(x)$. Indica quante magliette deve vendere affinché il profitto sia nullo (punto di pareggio).

Date le funzioni $f(x) = \frac{3x - 1}{x + 2}$ e $g(x) = x^2 + 1$.

Ottieni l'espressione della funzione composta $(f \circ g)(x)$ e calcola il suo valore per $x = 2$. Il valore $x = -2$ appartiene al dominio di questa nuova funzione? Giustifica la tua risposta.

Un negozio online applica uno sconto del $15\%$ sul prezzo dei suoi prodotti, che si può esprimere come $d(x) = 0,85x$. Inoltre, per ogni acquisto si addebita una commissione fissa di gestione di $2$ €, rappresentata da $c(x) = x + 2$. In entrambi i casi, $x$ è il prezzo base del prodotto, in euro.

Lo schema mostra l'ordine in cui si applicano le funzioni in ciascuna opzione: nell'Opzione A si applica prima lo sconto e poi la commissione; nell'Opzione B, al contrario.

1. a) Trova l'espressione di $(c \circ d)(x)$ e spiega che cosa rappresenta nel contesto del problema.
2. b) Trova l'espressione di $(d \circ c)(x)$ e spiega se il prezzo finale è lo stesso del punto precedente.

Considera la funzione $f(x) = \sqrt{2x - 6}$.

1. a) Calcola la sua funzione inversa $f^{-1}(x)$.
2. b) Determina il dominio e il codominio sia di $f(x)$ sia di $f^{-1}(x)$ e verifica la relazione esistente tra di essi.

In un laboratorio di biologia, il numero di individui di una popolazione di insetti in funzione del tempo $t$ (in giorni) segue la funzione $N(t) = 3t + 100$. Si è osservato che l'area occupata da tale popolazione (in $m^2$) dipende dal numero di individui secondo la funzione $A(n) = \sqrt{n}$.

Trova la funzione $(A \circ N)(t)$ che esprima l'area occupata in funzione del tempo e calcola quanti metri quadrati occuperanno dopo 25 giorni.

Trova la funzione inversa di $f(x) = \frac{2x + 5}{x - 3}$. Una volta ottenuta, esegui le seguenti verifiche per controllare che il tuo calcolo sia corretto:

1. a) Calcola $(f \circ f^{-1})(x)$.
2. b) Verifica che il punto $(4, 13)$ appartiene al grafico di $f$ e che il punto $(13, 4)$ appartiene a quello di $f^{-1}$.

Date le funzioni $f(x) = \frac{1}{x - 1}$ e $g(x) = \frac{x - 1}{x}$.

Calcola l'espressione semplificata della funzione Quoziente $Q(x) = (f / g)(x)$ e determina il suo dominio di definizione, tenendo conto delle restrizioni delle funzioni originarie e dell'operazione stessa.

Date le funzioni $f(x) = \dfrac{x + 4}{x - 2}$ e $g(x) = \sqrt{x - 1}$, si definisce la funzione quoziente $H(x) = \left(\dfrac{f}{g}\right)(x)$.

1. Prima di eseguire qualsiasi calcolo algebrico, stima in modo ragionato il segno di $H(5)$ analizzando separatamente il segno di $f(5)$ e quello di $g(5)$. Stima inoltre se $H(5)$ sarà maggiore o minore di $2$ considerando gli ordini di grandezza del numeratore e del denominatore. Ha senso tentare di calcolare $H(0)$ o $H(2)$? Giustifica la tua stima preliminare sulla fattibilità di tali calcoli a partire dalle restrizioni di $f$ e $g$.

2. Ottieni l'espressione algebrica semplificata di $H(x)$ e determina in modo rigoroso il suo dominio di definizione $\text{Dom}(H)$.

3. Calcola il valore numerico esatto di $H(5)$ esprimendolo con radicali, ottieni la sua approssimazione con due cifre decimali e verifica se la tua stima iniziale sul suo segno e sulla sua grandezza era corretta.

Considera la funzione affine $f(x) = 2x - 5$. Si cerca una funzione $g(x)$ tale che, componendola con $f$, il risultato sia la funzione quadratica $(g \circ f)(x) = 4x^2 - 20x + 21$.

1. Mediante un cambio di variabile del tipo $t = 2x - 5$ (oppure esprimendo il polinomio di secondo grado in termini del binomio $2x - 5$), deduci in modo ragionato l'espressione algebrica della funzione incognita $g(t)$.

2. Verifica che la tua deduzione è corretta valutando passo dopo passo la composizione $(g \circ f)(x)$ a partire dalla formula trovata.

3. Trova la composizione in ordine inverso, $(f \circ g)(x)$, e confrontala con $(g \circ f)(x)$. Vale la proprietà commutativa in questo caso? Giustifica la tua risposta indicando se esiste qualche valore particolare di $x$ per il quale le due composizioni coincidono.

Date le funzioni $f(x) = \sqrt{x + 3}$ e $g(x) = \frac{1}{x^2 - 4}$, si chiede di svolgere uno studio approfondito della loro composizione. La figura mostra il grafico di $f$.

1. Determina l'espressione algebrica della funzione composta $(g \circ f)(x)$.

2. Calcola in modo motivato il dominio di definizione di $(g \circ f)(x)$. Tieni presente che, affinché la composizione esista, $x$ deve appartenere al dominio di $f$ e $f(x)$ deve appartenere al dominio di $g$.

3. È possibile calcolare $(f \circ g)(0)$? Giustifica la tua risposta analizzando i domini di entrambe le funzioni.

Un drone per la sorveglianza forestale segue una traiettoria la cui altezza è definita dalla funzione $h(t) = -t^2 + 10t - 16$, dove $h$ è l'altezza in decine di metri e $t$ è il tempo in minuti da quando si attiva il sensore, con $t \in [2, 8]$. Nella figura è mostrato il grafico della traiettoria.

1. a) Spiega perché la funzione $h(t)$ non ha inversa in tutto il suo dominio $[2, 8]$.

1. b) Restringi il dominio di $h(t)$ all'intervallo in cui il drone sta scendendo, in modo che la funzione sia iniettiva.

1. c) Calcola l'espressione della funzione inversa $h^{-1}(x)$ per tale intervallo di discesa. Quale informazione ci fornisce questa funzione inversa nel contesto del problema?

Un parcheggio del centro utilizza due funzioni per calcolare il prezzo della sosta. La funzione $f(x) = |x - 5|$ rappresenta un aggiustamento per fascia oraria e $g(x) = 2x + 3$ rappresenta il prezzo base, dove $x$ è il numero di ore di sosta.

1. Definisci la funzione somma $S(x) = (f + g)(x)$ come funzione definita a tratti.

2. Rappresenta graficamente $S(x)$ e individua i suoi punti di flesso o i cambi di pendenza.

3. Se un automobilista lascia l'auto per $x = 2$ ore, qual è il prezzo totale? E se la lascia per $x = 10$ ore? Commenta la differenza di comportamento della funzione prima e dopo $x = 5$.

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Nel mercato azionario, il prezzo di un'azione $P$ (in euro) dipende dall'indice di fiducia $I$ secondo la funzione $P(I) = \frac{40I}{I + 10}$. A sua volta, l'indice di fiducia dipende dall'investimento in tecnologia $x$ (in milioni di euro) mediante $I(x) = \sqrt{x} + 2$.

1. Ottieni la funzione $(P \circ I)(x)$ che mette in relazione direttamente il prezzo dell'azione con l'investimento in tecnologia.

2. Calcola l'investimento necessario affinché il prezzo dell'azione sia di $20$ euro.

3. Determina la funzione inversa $(P \circ I)^{-1}(y)$. Quali restrizioni deve avere $y$ affinché questa inversa abbia senso concreto in questo mercato?

Considera la funzione esponenziale $f(x) = 3 \cdot 2^{x-1} + 4$.

1. Calcola la sua funzione inversa $f^{-1}(x)$ ricavando la variabile $x$ passo dopo passo.

2. Determina il dominio e il codominio sia di $f(x)$ sia di $f^{-1}(x)$. Spiega la relazione che esiste tra il codominio dell'una e il dominio dell'altra.

3. Verifica analiticamente che $(f \circ f^{-1})(x) = x$.

Uno studio di mercato per una nuova applicazione per cellulari stabilisce che la funzione dei ricavi mensili è $R(x) = 500x - 2x^2$ e la funzione dei costi è $C(x) = 100x + 3000$, dove $x$ è il numero di abbonamenti premium venduti.

1. Trova la funzione di profitto netto $B(x) = (R - C)(x)$.

2. Determina il numero di abbonamenti necessari affinché il profitto sia massimo utilizzando le proprietà delle funzioni quadratiche.

3. Per quali valori di $x$ l'azienda va in perdita? Risolvi la disequazione $(R - C)(x) < 0$.

Data la funzione definita a tratti:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x < 0 \\ x^2 - 1 & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$

e la funzione lineare $g(x) = x - 2$.

1. Determina l'espressione della funzione composta $(f \circ g)(x)$. Fai attenzione: il risultato sarà anch'esso una funzione definita a tratti e gli intervalli di definizione di $f$ saranno influenzati dalla traslazione di $g$.

2. Calcola i punti di intersezione di $(f \circ g)(x)$ con l'asse delle ascisse ($OX$).

3. Studia la continuità della funzione risultante $(f \circ g)(x)$ nel punto in cui cambia la sua definizione.

In un laboratorio di biologia, la popolazione di un batterio al tempo $t$ (ore) è data dalla funzione $P(t) = \frac{100}{1 + 9 \cdot e^{-0,5t}}$. Il grafico mostra l'evoluzione di $P(t)$ durante le prime 12 ore.

1. Se poniamo $f(t) = e^{-0,5t}$, esprimi $P(t)$ come combinazione di operazioni di base (somma, prodotto, quoziente) tra funzioni costanti e la funzione $f(t)$.

2. Calcola il tempo $t$ necessario affinché la popolazione raggiunga i 50 batteri. Per farlo, dovrai invertire la funzione $P(t)$ in modo algebrico.

3. Qual è il limite della popolazione quando il tempo tende a infinito ($t \to \infty$)? Interpreta il risultato dal punto di vista delle operazioni con le funzioni (cosa accade al denominatore al crescere di $t$).

Si considerano le funzioni $f(x) = \dfrac{x + 1}{x - 3}$ e $g(x) = \dfrac{2}{x - 1}$. Per trovare il dominio della funzione composta $(g \circ f)(x)$, due studenti di terzo liceo discutono su quale dei seguenti metodi sia quello corretto:

• Metodo 1 (Alberto): Calcola prima la formula semplificata di $(g \circ f)(x)$ e poi cerca i valori che annullano il denominatore risultante:

$$(g \circ f)(x) = \dfrac{2}{\frac{x+1}{x-3} - 1} = \dfrac{2}{\frac{x+1 - (x-3)}{x-3}} = \dfrac{2(x-3)}{4} = \dfrac{x-3}{2}$$

Poiché il risultato finale è un polinomio di grado 1, Alberto conclude che $\text{Dom}(g \circ f) = \mathbb{R}$.

• Metodo 2 (Elena): Applica la definizione formale di dominio di una composizione: richiede simultaneamente che $x \in \text{Dom}(f)$ e che l'uscita intermedia $f(x) \in \text{Dom}(g)$.

• Analizza il procedimento di Alberto e spiega con rigore matematico perché il suo metodo induce a un errore grave. Quale informazione strutturale si perde semplificando la frazione algebrica?

• Sviluppa passo dopo passo il Metodo 2 proposto da Elena e determina il dominio reale e completo di $(g \circ f)(x)$.

• Immagina il processo come una catena di montaggio e spiega che cosa succede esattamente quando si valuta la catena di operazioni per gli ingressi $x = 3$ e $x = 1$. Concludi quale dei due metodi si debba scegliere sempre nello studio delle funzioni composte ed enuncia una regola generale per evitare l'errore di Alberto.

Una cooperativa agricola della Puglia commercializza olio extravergine di oliva in confezioni speciali. Il suo team di gestione economica modella la propria attività mediante le seguenti funzioni:

• Il numero di confezioni prodotte al mese, $q$, dipende dal numero di lavoratori assunti nello stabilimento, $x$, secondo la funzione $q(x) = 80x$.

• I costi mensili di produzione in euro sono dati da $C(x) = 1400x + 3600$, dove sono compresi stipendi e infrastrutture fisse.

• Il prezzo di vendita unitario per confezione $p$ (in euro) dipende dal volume totale di confezioni immesse sul mercato per evitare eccedenze di magazzino, secondo la funzione di domanda $p(q) = 28 - 0,00625q$.

• Determina la funzione dei ricavi mensili della cooperativa in funzione della quantità di confezioni prodotte, $I(q) = q \cdot p(q)$, mediante il prodotto di funzioni.

• Modella mediante composizione di funzioni la funzione dei ricavi mensili diretti in funzione del numero di lavoratori, $(I \circ q)(x)$. Giustifica che cosa rappresenta questa composizione nella gestione dell'azienda.

• Ottieni la funzione di profitto mensile netto $B(x) = (I \circ q)(x) - C(x)$ mediante la differenza delle funzioni di ricavi e costi. Determina quanti lavoratori deve assumere la cooperativa per raggiungere la soglia di redditività o punto di pareggio ($B(x) = 0$), risolvi l'equazione risultante e interpreta quale intervallo di assunzioni garantisce che la cooperativa ottenga profitti strettamente positivi.