Esercizi: Funzioni esponenziale e logaritmica

Senza rappresentarle, indica quali di queste funzioni esponenziali sono crescenti e quali decrescenti, giustificando la risposta a partire dalla base:

1. a) $f(x) = 3^{x}$

1. b) $g(x) = 0,5^{x}$

1. c) $h(x) = e^{x}$

1. d) $i(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^{x}$

1. e) $j(x) = 1,03^{x}$

Ogni funzione esponenziale $f(x) = a^{x}$ (con $a > 0$ e $a \neq 1$) passa per uno stesso punto, e ogni funzione logaritmica $g(x) = \log_{a} x$ passa per un altro. Quali sono questi punti? Dimostralo calcolando $f(0)$ e $g(1)$ per una base qualsiasi.

Indica l'equazione dell'asintoto di ciascuna funzione e di' di che tipo è (orizzontale o verticale):

1. a) $f(x) = 2^{x}$

1. b) $g(x) = 5^{-x}$

1. c) $h(x) = \log_{3} x$

1. d) $i(x) = \ln x$

Siano $f(x) = 3^{x}$ e $g(x) = \log_{2} x$. Calcola, senza calcolatrice:

1. a) $f(-2)$, $f(0)$ e $f(3)$

1. b) $g(8)$, $g(1)$ e $g\left(\frac{1}{2}\right)$

Associa ciascun fenomeno al tipo di modello esponenziale che lo descrive meglio, crescente (base maggiore di $1$) o decrescente (base compresa tra $0$ e $1$), e giustifica la scelta:

• Il raffreddamento di una tazza di caffè fino a raggiungere la temperatura ambiente.

• Il capitale di un conto di risparmio con interesse composto.

• La radioattività residua di una sorgente medica con il passare degli anni.

• Il numero di persone raggiunte da una catena solidale in cui ogni persona avvisa tre amici.

Calcola il dominio delle seguenti funzioni:

1. a) $f(x) = \log(x - 3)$

1. b) $g(x) = 2^{x - 1}$

1. c) $h(x) = \ln(10 - x)$

1. d) $i(x) = e^{x} + 1$

Indica il codominio delle seguenti funzioni, motivandolo a partire dai grafici di $f(x) = 2^{x}$ e di $g(x) = \log x$:

1. a) $f(x) = 2^{x}$

1. b) $g(x) = 2^{x} - 1$

1. c) $h(x) = \log x$

1. d) $i(x) = \log x + 2$

Il grafico di una funzione esponenziale $f(x) = a^{x}$ passa per il punto $(2, 9)$.

1. a) Qual è il valore della base $a$?

1. b) Con la base trovata, calcola $f(3)$ e $f(-1)$.

1. c) Per quale punto passa il grafico qualunque sia il valore di $a$?

Marco sta svolgendo due esercizi sulle funzioni e commette frequenti errori concettuali:

1. a) Per trovare il dominio della funzione $f(x) = \log_3(x - 5)$, Marco afferma: «Poiché nelle frazioni non si può dividere per zero, qui l'unico numero vietato è quello che annulla la parentesi, cioè $x - 5 = 0 \implies x = 5$; quindi $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{5\}$». Spiega in modo motivato perché l'argomentazione di Marco è errata, quale condizione richiede realmente un logaritmo e qual è il dominio corretto di $f$.

1. b) Per risolvere l'equazione $4^x = -2$, Marco scrive: «Porto il $4$ a dividere e resta $x = \dfrac{-2}{4} = -0,5$». Spiega perché quel passaggio non ha senso matematico e giustifica, a partire dal codominio della funzione esponenziale, quante soluzioni reali ha tale equazione.

Risolvi le seguenti questioni costruendo le funzioni a partire dalle loro proprietà geometriche:

1. a) Scrivi la formula di una funzione esponenziale della forma $f(x) = a^x$ sapendo che è decrescente e che il suo grafico passa per il punto $(-2, 9)$. Giustifica la scelta del valore della base $a$.

1. b) Scrivi l'espressione analitica della funzione logaritmica $g(x) = \log_b x$ che è l'inversa della funzione $f(x)$ che hai ottenuto nel punto precedente. Per quale punto del piano passa necessariamente il grafico di $g(x)$ senza fare alcun calcolo?

1. c) Indica motivando l'equazione dell'asintoto di $f(x)$ e quella di $g(x)$, specificando in ciascun caso se si tratta di un asintoto orizzontale o verticale.

Considera la funzione esponenziale $f(x) = 2^{x}$.

1. a) Copia e completa la tabella dei valori della funzione per $x \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$.

1. b) Quali sono il dominio e il codominio della funzione? È crescente o decrescente?

1. c) Quale retta è il suo asintoto? Il grafico la tocca in qualche punto? Motiva la risposta.

Nella figura compaiono i grafici di $f(x) = 3^{x}$ e $g(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}$.

1. a) In quale punto si intersecano? Giustifica che ogni esponenziale della forma $h(x) = a^{x}$ passa per quello stesso punto.

1. b) Rispetto a quale asse sono simmetrici i due grafici? Verificalo calcolando $f(2)$ e $g(-2)$.

1. c) Senza rappresentarla, descrivi il grafico di $k(x) = 0,7^{x}$: crescenza, asintoto e posizione rispetto ai due precedenti.

La figura mostra il grafico della funzione logaritmica $f(x) = \log_{2} x$. Ogni quadretto della griglia misura 1 unità su entrambi gli assi.

1. a) Indica il suo dominio e il suo codominio.

1. b) Qual è il suo asintoto e di che tipo è?

1. c) Calcola $f(16)$ e $f\left(\frac{1}{4}\right)$ a partire dalla definizione di logaritmo e verifica che concordano con il grafico.

1. d) Ha senso calcolare $f(-2)$? Perché?

A partire dal grafico di $f(x) = 2^{x}$ (in blu) è stato disegnato quello di $g(x) = 2^{x} + 3$ (in verde), come si vede nella figura.

1. a) Quale trasformazione collega i due grafici?

1. b) Qual è l'asintoto orizzontale di $g$? E il suo codominio?

1. c) Scrivi l'espressione della funzione il cui grafico è quello di $f$ traslato di $2$ unità verso sinistra e indica il suo asintoto.

Il valore di un'auto segue il modello $V(t) = 24.000 \cdot 0,85^{t}$, con $t$ in anni.

1. a) Qual era il prezzo dell'auto nuova?

1. b) Calcola il valore dopo $5$ anni, arrotondando agli euro.

1. c) L'auto perde lo stesso valore ogni anno? Calcola quanto perde durante il primo anno e quanto perde tra il quarto e il quinto anno, e spiega la differenza.

Il grafico mostra la percentuale di carbonio-14 che rimane in un campione nel tempo.

1. a) Quale percentuale rimane dopo $5.730$ anni? Come si chiama quel periodo?

1. b) Leggi sul grafico la percentuale che rimane dopo $17.190$ anni (segnata con «?») e verificala calcolando quanti periodi di dimezzamento sono trascorsi.

1. c) Stabilisci tra quali due segni dell'asse dei tempi si troverà l'istante in cui rimane meno del $1 \%$ e giustificalo.

La figura mostra il grafico di $f(x) = \log_{2}(x + 2)$.

1. a) Qual è il dominio di $f$? Mettilo in relazione con la zona ombreggiata e con l'asintoto del grafico.

1. b) Qual è il suo codominio?

1. c) Determina, senza rappresentarle, il dominio di queste funzioni: $g(x) = \log_{2}(x - 5)$, $h(x) = \ln(4 - x)$, $i(x) = \log(2x + 8)$.

Determina il dominio delle seguenti funzioni:

1. a) $f(x) = 2^{x - 1}$

1. b) $g(x) = e^{\frac{1}{x}}$

1. c) $h(x) = \ln(x^{2} - 4)$

1. d) $i(x) = \log_{3} x + \sqrt{x + 1}$

1. e) $j(x) = \frac{1}{1 - 2^{x}}$

Un piano pensionistico commercializzato in Italia offre un rendimento medio stimato del $7\,\%$ annuo composto. Se si effettua un versamento iniziale di $2.500$ €, il capitale accumulato dopo $t$ anni è dato dalla funzione $C(t) = 2.500 \cdot 1,07^t$. Si vuole scoprire quanti anni devono trascorrere per raddoppiare il capitale investito (raggiungere $5.000$ €).

1. a) Prima di calcolare con i logaritmi, fai una stima: sapendo che $1,07^2 \approx 1,14$ e che $1,07^{10} \approx 1,97$, delimita il tempo necessario tra due numeri interi consecutivi di anni. Giustifica la tua stima.

1. b) Imposta l'equazione corrispondente e risolvila passo per passo applicando i logaritmi per determinare il valore esatto di $t$ (arrotonda il risultato ai decimi).

1. c) Verifica se il risultato ottenuto conferma la tua stima iniziale e valuta se è coerente con la regola finanziaria del 72 (che prevede che il tempo di raddoppio al $r\,\%$ annuo sia circa $\dfrac{72}{r}$).

Secondo i dati dell'Istituto Nazionale di Statistica (ISTAT), un comune rurale dell'Appennino contava $1.200$ abitanti residenti al 1° gennaio 2015. A causa dell'esodo giovanile e dell'invecchiamento della popolazione, la sua popolazione diminuisce a un ritmo approssimativo del $3\,\%$ annuo, secondo il modello $P(t) = 1.200 \cdot 0,97^t$, dove $t$ è il tempo in anni trascorsi dal 2015.

1. a) Interpreta nel contesto del problema il significato del coefficiente $1.200$ e della base $0,97$. Giustifica a partire dalla base perché la funzione è strettamente decrescente.

1. b) L'amministrazione ritiene che un comune entri in rischio grave di spopolamento se scende sotto i $800$ abitanti. Se la tendenza si mantiene, in quale anno solare questo comune raggiungerà tale soglia critica? Imposta e risolvi l'equazione corrispondente mediante i logaritmi.

1. c) Un titolo di giornale locale afferma: «A questo ritmo costante di perdita del $3\,\%$ ogni anno, fra 34 anni il paese avrà perso il $102\,\%$ dei suoi abitanti e scomparirà del tutto». Spiega la falsità matematica di questa affermazione basandoti sulle proprietà del decadimento esponenziale e degli asintoti orizzontali.

Il carbonio-14 decade in modo tale che la quantità rimasta in un campione segue il modello $N(t) = N_0 \cdot 0,5^{t/5.730}$, dove $t$ è il tempo in anni e $N_0$ la quantità iniziale. Un gruppo di archeologi analizza un frammento di osso trovato in una grotta.

1. a) Quale percentuale di carbonio-14 rimarrà dopo $2.000$ anni? Arrotonda ai decimi.

1. b) Se il frammento conserva il $38 \%$ del carbonio-14 originario, imposta l'equazione che permette di trovare la sua età e risolvila usando i logaritmi.

1. c) Un titolo di giornale afferma: «dopo $11.460$ anni non resta più carbonio-14, perché sono trascorsi due periodi di dimezzamento». Spiega perché è falso e calcola la percentuale reale che resta in quell'istante.

La concentrazione di un farmaco nel sangue, in mg/l, evolve secondo il modello $C(t) = 120 \cdot 0,82^{t}$, dove $t$ sono le ore trascorse dalla somministrazione.

1. a) Quale concentrazione c'era al momento dell'iniezione? E dopo $6$ ore? Arrotonda ai decimi.

1. b) Il farmaco smette di essere efficace quando la concentrazione scende sotto $30$ mg/l. Imposta la disequazione corrispondente e calcola, con i logaritmi, per quante ore dura l'effetto.

1. c) Se un paziente riceve una seconda dose identica $12$ ore dopo la prima, quale concentrazione totale avrà nel sangue subito dopo la nuova iniezione, supponendo che le concentrazioni si sommino?

La popolazione di una città costiera evolve secondo il modello $P(t) = 180.000 \cdot 1,015^{t}$, dove $t$ sono gli anni trascorsi dal 2025.

1. a) Quale popolazione ci si aspetta nel 2035? Arrotonda alle centinaia.

1. b) In quale anno la città supererà i $250.000$ abitanti? Imposta la disequazione e risolvila con i logaritmi.

1. c) Spiega quale ipotesi sulla crescita nasconde questo modello e ragiona sul perché potrebbe smettere di essere realistico a lunghissimo termine.

Rappresentando insieme le funzioni $f(x) = 2^{x}$ e $g(x) = 2^{-x}$, una studentessa afferma: «sono simmetriche rispetto all'asse $X$, perché una è l'esponenziale e l'altra la sua opposta». Valuta con ragionamento l'affermazione: indica se è vera o falsa, fai uno schema di entrambi i grafici, spiega rispetto a quale asse sono realmente simmetriche e confermalo confrontando $f(2)$ con $g(-2)$.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Due analisti di un'applicazione musicale discutono su come crescerà il numero di utenti. Il primo propone un modello lineare e il secondo uno esponenziale; entrambi i modelli partono da $100$ utenti alla settimana $0$ e sono rappresentati nella figura.

1. a) La retta passa per i punti $(0, 100)$ e $(10, 1.000)$: scrivi la sua equazione.

1. b) La curva esponenziale ha la forma $u(t) = 100 \cdot a^{t}$ e passa per il punto $(5, 420)$: calcola la base $a$ usando i logaritmi e arrotonda ai millesimi.

1. c) Con i due modelli completi, determina tra quali due settimane consecutive la previsione esponenziale supera quella lineare, verificalo con la figura e spiega quale differenza c'è tra le due previsioni a lungo termine.

Il livello di intensità sonora si misura in decibel (dB) con la scala logaritmica $L = 10 \cdot \log \frac{I}{I_0}$, dove $I_0 = 10^{-12}\ \text{W/m}^{2}$ è la soglia di udibilità.

1. a) Calcola il livello, in dB, di una conversazione normale la cui intensità è $I = 10^{-6}\ \text{W/m}^{2}$.

1. b) La soglia del dolore è a $130$ dB. Qual è l'intensità corrispondente? Esprimila come potenza di $10$.

1. c) Quante volte è più intenso il suono di un concerto da $110$ dB rispetto a quello di una biblioteca da $40$ dB? Spiega perché, anche se la differenza è «solo» di $70$ dB, l'intensità si moltiplica per $10^{7}$.

Con un'inflazione annua del $3 \%$, il potere d'acquisto di $1.000\ \text{ €}$ tenuti «sotto il materasso» evolve secondo $V(t) = 1.000 \cdot 1,03^{-t}$, dove $t$ sono gli anni trascorsi.

1. a) Calcola il potere d'acquisto dopo $5$ anni, arrotondato ai centesimi.

1. b) Quanti anni devono passare perché quel denaro «valga» la metà? Imposta l'equazione e risolvila con i logaritmi.

1. c) Rappresenta approssimativamente la funzione per $t \in [0, 30]$ (scala suggerita: $1$ cm $= 5$ anni sull'asse orizzontale e $1$ cm $= 100\ \text{ €}$ su quello verticale) e segna su di essa i risultati dei punti precedenti.

Il valore di un'auto elettrica nuova da $32.000\ \text{ €}$ segue il modello esponenziale $V(t) = 32.000 \cdot 0,85^{t}$, con $t$ in anni.

1. a) Quanto varrà dopo $4$ anni? Arrotonda agli euro.

1. b) Un concessionario offre di riacquistarla quando il suo valore scende sotto $12.000\ \text{ €}$. Quanto tempo passerà fino ad allora? Usa i logaritmi.

1. c) Un altro venditore usa un modello lineare secondo il quale l'auto perde $4.500\ \text{ €}$ di valore ogni anno. Confronta il valore che ciascun modello assegna dopo $4$ anni e spiega quale dei due favorisce il proprietario che voglia venderla a medio termine.

Si propone di risolvere in classe l'equazione esponenziale $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$. Due studenti suggeriscono strade diverse:

• Alba suggerisce di applicare direttamente i logaritmi a entrambi i membri per «abbassare» gli esponenti fin dall'inizio: $\log(4^x - 5 \cdot 2^x + 4) = \log(0)$.

• Bruno suggerisce di esprimere $4^x$ come $(2^x)^2$ e di applicare il cambio di variabile $u = 2^x$.

1. a) Valuta il metodo di Alba: indica due motivi matematici rigorosi per cui la sua impostazione non è praticabile (uno relativo al dominio della funzione logaritmica e uno relativo alle proprietà operative del logaritmo di una somma o differenza).

1. b) Sviluppa completamente il metodo di Bruno per trovare le soluzioni reali dell'equazione, giustificando ogni passaggio nel tornare indietro dal cambio di variabile mediante la definizione di logaritmo.

1. c) Se l'equazione proposta fosse stata $4^x - 5 \cdot 2^x - 6 = 0$, applicando il cambio di variabile si otterrebbero $u_1 = 6$ e $u_2 = -1$. Spiega perché il valore $u_2 = -1$ deve essere scartato, collegando la tua spiegazione al codominio della funzione esponenziale $g(x) = 2^x$.

L'attenuazione del segnale luminoso in una tratta interurbana di fibra ottica si modellizza con una funzione esponenziale decrescente $I(x) = I_0 \cdot a^x$, dove $x$ rappresenta la distanza percorsa dalla luce in chilometri e $I(x)$ è la potenza del segnale ricevuto in milliwatt ($\text{mW}$).

Nella stazione emittente ($x = 0$), il segnale parte con una potenza di $100\text{ mW}$. Raggiunta una stazione di controllo situata a $15\text{ km}$, si rileva che la potenza si è ridotta esattamente a $25\text{ mW}$.

1. a) Deduci in modo motivato i valori esatti di $I_0$ e della base $a$. Esprimi $a$ come potenza di base irriducibile (senza ricorrere ad approssimazioni decimali) e scrivi l'espressione analitica completa di $I(x)$.

1. b) Gli amplificatori di segnale disponibili richiedono che la potenza luminosa che li raggiunge sia di almeno $1,5\text{ mW}$ per poter elaborare i dati senza perdite. Imposta e risolvi con i logaritmi qual è la distanza massima a cui si può collocare l'amplificatore dalla centrale emittente. Arrotonda ai decimi di chilometro.

1. c) Costruisci la funzione inversa $x(I)$ che permette di calcolare la distanza percorsa in funzione dell'intensità finale osservata. Determina il suo dominio matematico e il dominio con significato reale nel contesto di questa tratta in fibra, giustificando analiticamente che tipo di funzione è.

Sfida del tema. Come incide l'inflazione sull'economia familiare? Modellizzerai l'evoluzione del costo della vita reale attraverso le funzioni.

1. Dati e interpolazione: Accedi al sito dell'ISTAT (istat.it) e annota l'indice dei prezzi al consumo medio annuo degli ultimi $5$ anni. Applica l'interpolazione lineare per stimare l'indice in un semestre intermedio e adatta poi i dati a un modello esponenziale $f(t) = a \cdot b^t$.

2. Inversa e operazioni: Ottieni analiticamente la funzione inversa $f^{-1}$ mediante i logaritmi per calcolare in quale anno l'indice supererà un aumento del $50\,\%$. Modella l'errore di adattamento mediante una funzione definita a tratti che integri il valore assoluto dello scarto, $E(t) = |f(t) - y_{\text{real}}|$, e analizza se una funzione radice $g(t) = k \cdot \sqrt{t}$ descriverebbe meglio i periodi di stagnazione.

3. Studio e prodotto finale: Rappresenta le funzioni con GeoGebra o un foglio di calcolo. Svolgi lo studio completo passo per passo: dominio, codominio, asintoti, intersezioni con gli assi e segno. Consegna una relazione sintetica di una pagina con i tuoi grafici e una valutazione critica dei risultati.

Verranno valutati:

• Precisione matematica nell'interpolazione lineare e nel calcolo delle inverse logaritmiche.

• Rigore nello studio analitico (dominio, codominio, segno, funzioni definite a tratti e valore assoluto).

• Qualità tecnica nella rappresentazione grafica con GeoGebra o il foglio di calcolo.

• Coerenza e spirito critico nelle conclusioni socioeconomiche della relazione.