Esercizi: Disegnare una funzione passo dopo passo

Un fattorino che consegna cibo a domicilio riceve una paga base di $4$ € per ogni ora lavorata. Rappresenta graficamente la funzione lineare $f(x) = 4x$, dove $x$ è il numero di ore e $f(x)$ il denaro guadagnato in euro. Per disegnarla, segui questi passi:

1. Costruisci una tabella di valori calcolando le immagini per $x = 0, 1, 2$ e $3$.

2. Rappresenta i punti nel piano cartesiano.

3. Unisci i punti con una semiretta (tenendo conto che le ore non possono essere negative).

Ti diamo gli assi già pronti per collocare i punti:

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Rappresenta graficamente la funzione quadratica $f(x) = x^2 - 4$. Segui questi passi in modo ordinato:

1. Individua i punti di intersezione con l'asse $X$ risolvendo l'equazione $x^2 - 4 = 0$.

2. Trova il punto di intersezione con l'asse $Y$ calcolando $f(0)$.

3. Determina le coordinate del vertice $V(x_v, y_v)$.

4. Disegna la parabola unendo i punti precedenti. Puoi aiutarti con gli assi della figura, in cui ogni divisione equivale a 1 unità su entrambi gli assi.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Una piattaforma di streaming offre una tariffa fissa di $12$ € al mese, indipendentemente da quanti film guardi. Rappresenta graficamente la funzione $f(x) = 12$, dove $x$ è il numero di film visti in un mese e $f(x)$ è il costo mensile in euro.

1. a) Ragiona su che tipo di funzione sia (lineare, quadratica o costante).

1. b) Determina il valore della funzione per $x = 0$, $x = 10$ e $x = 20$.

1. c) Disegna il grafico in un sistema di assi coordinati: colloca sull'asse orizzontale il numero di film ($x$) e sull'asse verticale il costo in euro ($y$), e scegli una scala adeguata su ciascun asse.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Disegna passo dopo passo la funzione definita a tratti:

$f(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{si } x < 1 \\ 4 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

1. Calcola i valori del primo tratto per $x = -1, x = 0$ e il valore a cui si avvicina quando $x = 1$.

2. Disegna il secondo tratto sapendo che è una funzione costante per valori maggiori o uguali a $1$.

3. Presta attenzione al punto di unione in $x = 1$ per vedere se c'è un salto o se la funzione è continua.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Stai per rappresentare la funzione valore assoluto $f(x) = |x - 3|$ (sul quaderno, se vuoi, per aiutarti). Segui questi passi:

1. Rappresenta prima la retta ausiliaria $y = x - 3$ con linea tratteggiata.

2. Individua il punto in cui la retta interseca l'asse $X$ (è il punto in cui cambia la direzione del grafico, il vertice).

3. «Ribalta» la parte di retta che sta sotto l'asse $X$ verso la parte positiva delle $Y$.

4. Ripassa il tratto finale della funzione $f(x)$.

Ora rispondi a partire dalla tua rappresentazione:

1. a) Qual è l'ascissa $x$ del punto in cui la retta $y = x - 3$ interseca l'asse $X$?

1. b) Quale valore assume la retta ausiliaria in $x = 0$? E quale valore assume $f(0)$ dopo il ribaltamento?

1. c) Calcola $f(5)$.

1. d) Per $x < 3$, il grafico di $f$ coincide con la retta $y = -x + 3$. Qual è il suo coefficiente angolare?

Verrà valutato che la retta ausiliaria, il punto di intersezione, il ribaltamento e il tratto finale siano coerenti tra loro, e che i valori che darai nei vari punti coincidano con il tuo grafico.

Rappresenta la funzione di proporzionalità inversa $f(x) = \dfrac{4}{x}$.

1. a) Spiega perché il valore $x = 0$ non appartiene al dominio.

1. b) Calcola le immagini per $x = 1, 2, 4$ e per i loro opposti $x = -1, -2, -4$.

1. c) Rappresenta in un sistema di assi coordinati i punti ottenuti e disegna i due rami dell'iperbole tenendo conto che gli assi sono asintoti.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Disegna la parabola $f(x) = -x^2 + 1$. Segui questi passi per non sbagliare:

1. Osserva il segno del coefficiente di $x^2$ e decidi se i rami vanno verso l'alto o verso il basso.

2. Calcola il vertice. Poiché non c'è il termine in $x$, qual è la sua ascissa $x_v$?

3. Trova i punti di intersezione con l'asse $X$.

4. Disegna la curva in modo simmetrico rispetto all'asse $Y$.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un'azienda di noleggio di monopattini elettrici fa pagare $1$ € per sbloccare il monopattino e $0,50$ € per ogni minuto di utilizzo. Rappresenta la funzione $f(x) = 0,5x + 1$, dove $x$ sono i minuti e $f(x)$ è il costo in euro.

1. a) Calcola il costo per $0$, $5$, $10$ e $20$ minuti.

1. b) Individua l'ordinata all'origine e spiega cosa significa in questo contesto reale.

1. c) Disegna il grafico risultante. Puoi usare come guida questi assi con la loro griglia (ogni quadretto corrisponde a $5$ minuti in orizzontale e $5$ € in verticale).

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Per rappresentare graficamente la funzione con valore assoluto $f(x) = |2x - 6|$, Marco esegue la seguente procedura:\n1. Calcola i punti di intersezione della funzione interna $g(x) = 2x - 6$ con gli assi coordinati: $(0, -6)$ e $(3, 0)$.\n2. Poiché sa che il valore assoluto non può dare risultati negativi, cambia il segno dell'ordinata del punto di intersezione con l'asse $Y$, ottenendo il punto $(0, 6)$.\n3. Unisce con un righello i punti $(0, 6)$ e $(3, 0)$ e prolunga quella stessa retta indefinitamente verso destra.\n\nRispondi motivando alle seguenti domande:\na) Individua i due errori concettuali che ha commesso Marco nel tracciare il grafico definitivo.\nb) Spiega perché il grafico di una funzione della forma $f(x) = |mx + n|$ con $m \ne 0$ non può mai essere un'unica retta indefinita.\nc) Descrivi la procedura corretta da seguire per disegnare $f(x)$ passo dopo passo a partire dalla retta ausiliaria $g(x)$, indicando quale parte rimane invariata e quale parte viene trasformata.

Una compagnia di telecomunicazioni in Italia commercializza un pacchetto dati la cui tariffa mensile in euro corrisponde alla funzione lineare $C(x) = 1{,}50x + 12$, dove $x$ è il numero di gigabyte (GB) aggiuntivi consumati durante il mese. Due studenti discutono su quale sia la migliore strategia per rappresentarla nel piano cartesiano:\n- Alba propone di costruire una tabella di valori completa calcolando le immagini di $x = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ e $6$, rappresentare tutti i punti e unirli con un righello.\n- Ugo afferma che basta calcolare l'ordinata all'origine $(0, C(0))$ e un solo punto aggiuntivo scelto bene, come $(4, C(4))$, tracciare la retta che passa per essi e usare un terzo punto, ad esempio $(8, C(8))$, soltanto per verificare che il righello sia allineato correttamente.\n\na) Basandoti sui principi della geometria piana sulla determinazione di una retta, giustifica perché la proposta di Ugo è matematicamente sufficiente.\nb) Perché la scelta di $x = 4$ e $x = 8$ fatta da Ugo è più prudente e precisa per disegnare a mano su una griglia rispetto a scegliere $x = 1$ o $x = 3$?\nc) Tenendo conto del contesto reale del consumo di dati, indica in quale intervallo dell'asse delle ascisse deve effettivamente essere disegnato il grafico e se è opportuno prolungarlo verso valori negativi di $x$.

Un giocatore di basket lancia un tiro libero la cui traiettoria segue la funzione $h(t) = -t^2 + 4t + 2$, dove $h$ è l'altezza in metri e $t$ è il tempo in secondi dal lancio. Rappresenta graficamente la traiettoria del pallone seguendo questi passi:

1. Individua il tipo di funzione e determina l'orientamento dei suoi rami.

2. Calcola le coordinate del vertice della parabola.

3. Trova i punti di intersezione con l'asse delle ascisse ($OX$) e con l'asse delle ordinate ($OY$).

4. Stabilisci il dominio reale della funzione tenendo conto del contesto fisico (il tempo non è negativo e il pallone si ferma quando tocca il suolo).

5. Disegna il grafico utilizzando i dati precedenti.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Nel mercato delle scarpe da ginnastica, la domanda di un modello specifico è descritta dalla funzione razionale $q(p) = \frac{200}{p-10}$, dove $q$ è la quantità di paia richieste e $p$ è il prezzo in euro ($p > 10$). Studia la curva di domanda eseguendo la seguente analisi (puoi fare un disegno sul quaderno per aiutarti):

1. Determina il dominio della funzione nel contesto economico.

2. Trova le equazioni degli asintoti verticale e orizzontale.

3. Ricava i punti di intersezione con gli assi, se esistono.

4. Costruisci una piccola tabella di valori per prezzi significativi (per esempio $p=20$, $p=50$ e $p=110$).

5. Descrivi com'è il grafico della funzione (posizione rispetto agli asintoti e forma della curva) e indica chiaramente la tendenza della domanda al crescere del prezzo.

Un'azienda di corrieri fa pagare ai clienti in base al peso dei pacchi. La tariffa è definita dalla seguente funzione definita a tratti:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 5 & \text{si } 0 \le x < 5 \\ 15 & \text{si } 5 \le x \le 10 \\ x + 5 & \text{si } x > 10 \end{cases}$

dove $x$ è il peso in kg e $f(x)$ il prezzo in euro. Rappresenta la funzione passo dopo passo (puoi usare come guida gli assi della figura, con 1 kg = 30 unità in orizzontale e 1 € = 12 unità in verticale, oppure disegnare i tuoi su carta):

1. Individua il tipo di funzione in ciascuno dei tre intervalli.

2. Calcola i valori della funzione nei punti di rottura ($x=5$ e $x=10$).

3. Determina se la funzione è continua in tali punti calcolando i limiti laterali.

4. Disegna ogni tratto della funzione nel suo intervallo, indicando con un punto pieno o vuoto se l'estremo di ciascun tratto appartiene o meno alla funzione.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Vogliamo analizzare l'andamento del saldo di un conto per giovani che ha avuto movimenti bruschi. La funzione che descrive il saldo stimato è $f(x) = |x^2 - 4x|$, dove $x$ rappresenta i mesi trascorsi. Disegna il grafico seguendo questa procedura:

1. Rappresenta prima la funzione parabolica ausiliaria $g(x) = x^2 - 4x$, trovando il suo vertice e le intersezioni con l'asse $OX$.

2. Individua gli intervalli in cui il valore di $g(x)$ è negativo.

3. Applica la definizione di valore assoluto per «ribaltare» la parte negativa del grafico rispetto all'asse $OX$.

4. Disegna il grafico definitivo di $f(x)$, assicurandoti che non ci siano valori al di sotto dell'asse delle ascisse.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Il numero di utenti di un nuovo social network cresce in modo esponenziale secondo la funzione $U(t) = 2 \cdot 1,5^t$, dove $U$ è il numero di utenti (in migliaia) e $t$ è il tempo in mesi. Per rappresentare questa crescita, segui questi passi:

1. a) Individua il valore iniziale di utenti (per $t=0$).

1. b) Determina il tipo di crescita (è crescente o decrescente?) osservando la base della potenza.

1. c) Indica l'equazione dell'asintoto orizzontale della funzione.

1. d) Calcola i valori per $t=1$, $t=2$ e $t=3$.

1. e) Disegna in un sistema di assi cartesiani (tempo $t$ in mesi sull'asse orizzontale e utenti $U$ in migliaia sull'asse verticale) i punti ottenuti e l'asintoto, e uniscili con una curva continua che rappresenti l'evoluzione della comunità.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Uno studio archeologico utilizza la funzione $f(x) = \sqrt{x+4} - 2$ per modellizzare la profondità di uno scavo in metri, essendo $x$ la distanza orizzontale dal centro del sito. Rappresenta la funzione seguendo questi passi:

1. a) Calcola il dominio della funzione.

1. b) Trova il punto iniziale della curva (dove comincia il dominio).

1. c) Trova i punti di intersezione con gli assi coordinati.

1. d) Determina se la funzione è crescente o decrescente nel suo dominio.

1. e) Disegna sul quaderno il grafico, aiutandoti con una tabella di valori, e descrivi la curvatura caratteristica delle funzioni radice.

L'intensità del suono (in una scala logaritmica semplificata) percepita da un microfono è data da $S(x) = \log_2(x) + 3$, dove $x$ è la potenza della sorgente sonora. Rappresenta la funzione $S(x)$ eseguendo quanto segue:

1. a) Stabilisci il dominio della funzione.

1. b) Individua l'asintoto verticale.

1. c) Calcola il punto in cui l'intensità è nulla (punto di intersezione con l'asse $OX$).

1. d) Ricava il valore della funzione per potenze significative come $x=1$, $x=2$ e $x=4$.

1. e) Disegna il grafico mostrando il comportamento logaritmico, indicando in esso l'asintoto, il punto di intersezione con $OX$ e i punti del punto d).

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Il costo medio di produzione di una serie di magliette personalizzate è dato dalla funzione $C(x) = \frac{4x + 100}{x}$, dove $x$ è il numero di magliette prodotte ($x > 0$) e $C(x)$ è il costo per unità in euro. Rappresenta questa funzione razionale seguendo questi passi:

1. a) Semplifica l'espressione della funzione dividendo ogni termine del numeratore per il denominatore.

1. b) Individua l'asintoto verticale e l'asintoto orizzontale. Spiega il significato economico dell'asintoto orizzontale.

1. c) Determina se la funzione è crescente o decrescente.

1. d) Calcola il costo medio per $x=10$, $x=20$ e $x=50$.

1. e) Disegna la curva del costo medio, indicando gli asintoti e i punti calcolati nel punto precedente.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Una cooperativa agricola siciliana commercializza agrumi di stagione. L'utile netto settimanale dell'azienda (in centinaia di euro) dipende dal prezzo di vendita al chilo $x$ (in euro) secondo la funzione quadratica $B(x) = -2x^2 + 12x - 10$, definita per $x \in [1, 5]$. Prima di tracciare il grafico, devi pianificare il disegno:\n\n1. Stima: sapendo che le intersezioni con l'asse orizzontale rappresentano i prezzi che non generano né perdite né guadagni ($B(x) = 0$), e verificando mentalmente che $B(1) = 0$ e $B(5) = 0$:\n - Deduci, basandoti esclusivamente sulla proprietà di simmetria delle parabole e senza applicare ancora alcuna formula algebrica, a quale prezzo $x$ esatto si raggiungerà l'utile massimo settimanale.\n - Ragiona se i rami della parabola sono rivolti verso l'alto o verso il basso in base al segno del coefficiente principale, e stima se il vertice si troverà sopra o sotto l'asse orizzontale.\n2. Verifica: applica la formula analitica dell'ascissa del vertice $x_v = -\dfrac{b}{2a}$ e trova la sua ordinata $B(x_v)$. Verifica se il risultato coincide con la tua stima precedente.\n3. Piano di tracciamento: spiega passo dopo passo come disegneresti la parabola nell'intervallo $[1, 5]$ utilizzando solo il vertice, le intersezioni con l'asse $X$ e l'asse di simmetria verticale, giustificando perché non è necessario calcolare una tabella di valori con numeri decimali intermedi.

Un parcheggio a rotazione nel centro di Napoli applica le seguenti condizioni di pagamento per soste fino a 12 ore:\n- Durante i primi 60 minuti ($0 \le t \le 1$ ora), c'è una tariffa promozionale di $2$ € all'ora (o frazione proporzionale).\n- Tra la prima e la quinta ora ($1 < t \le 5$), il costo corrisponde ai $2$ € della prima ora più $3$ € per ogni ora aggiuntiva: $C(t) = 2 + 3(t - 1)$.\n- Dalla quinta ora fino a un massimo di 12 ore ($5 < t \le 12$), si applica una tariffa fissa di lunga sosta pari a $14$ €.\n\n1. Scrivi l'espressione analitica semplificata della funzione definita a tratti $C(t)$ su tutto il suo dominio $[0, 12]$.\n2. Analizza i punti di cambio di tratto ($t = 1$ e $t = 5$): calcola il valore della funzione appena a sinistra e a destra di ciascuno di essi per determinare se il grafico è continuo o se presenta qualche salto.\n3. Descrivi passo dopo passo le istruzioni per disegnare il grafico con esattezza: indica quali punti chiave delimitano ciascun tratto, quale tipo di tracciato geometrico corrisponde a ogni intervallo e come devono essere rappresentati gli estremi per mostrare se un punto di confine è incluso o escluso.

Un analista finanziario studia l'evoluzione della redditività di un investimento tecnologico nell'arco di 10 anni. La funzione che descrive la redditività $R(t)$ in funzione del tempo $t$ (in anni) è data dalla seguente espressione a tratti:

$R(t) = \begin{cases} \dfrac{2t - 4}{t + 1} & \text{si } 0 \le t < 4 \\[2mm] |t^2 - 10t + 21| & \text{si } 4 \le t \le 10 \end{cases}$

Disegna il grafico della funzione seguendo questi passi:

1. a) Determina il dominio di definizione nel contesto del problema e studia se la funzione è continua in $t = 4$ (calcola il limite sinistro e il valore $R(4)$).

1. b) Trova i punti di intersezione con gli assi coordinati.

1. c) Calcola gli asintoti del ramo razionale e decidi quali interessano il grafico nell'intervallo $0 \le t < 4$.

1. d) Studia il valore assoluto nel secondo tratto: determina per quali valori di $t$ si annulla $t^2 - 10t + 21$, scrivi $R(t)$ senza valore assoluto in $[4, 7]$ e in $[7, 10]$, e trova il punto in cui la curva tocca l'asse $X$ formando una cuspide, nonché il massimo locale in $[4, 7]$.

1. e) Rappresenta la funzione con precisione, indicando con un punto vuoto o pieno ciò che corrisponde in $t = 4$.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un laboratorio artigianale di pasticceria studia i propri costi di produzione. Il costo unitario $C(x)$ (in euro) dipende dal numero di unità prodotte al giorno $x$ e segue la funzione:

$C(x) = \frac{3x^2 + 12}{x - 1}$

Disegna il grafico dettagliato della funzione per $x > 1$ svolgendo la seguente analisi:

1. Individua il dominio e spiega perché non ha senso analizzare i valori $x \le 1$.

2. Trova l'asintoto verticale e studia la posizione della curva rispetto ad esso mediante i limiti laterali.

3. Determina l'esistenza di un asintoto obliquo mediante la divisione tra polinomi e rappresentalo come linea ausiliaria.

4. Calcola i punti di intersezione (se esistono) e utilizza una piccola tabella di valori strategici per definire la curvatura.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Si sta monitorando la temperatura di una nuova scheda grafica durante un test di stress. La temperatura $T$ (in $^\circ C$) dopo $x$ minuti è modellizzata dalla funzione:

$T(x) = 25 + \dfrac{60x^2}{x^2 + 9}$

Per disegnare il grafico che rappresenterà il rapporto tecnico, svolgi i seguenti passi:

1. a) Trova il valore della temperatura nell'istante iniziale.

1. b) Calcola l'asintoto orizzontale e spiega il suo significato fisico (temperatura limite di saturazione).

1. c) Determina se la funzione ha punti di intersezione con l'asse delle ascisse e giustifica il risultato basandoti sul codominio della funzione.

1. d) Studia la simmetria della funzione e spiega come ti aiuta a disegnarla per valori di tempo ipoteticamente negativi.

1. e) Disegna sui tuoi assi la curva levigata (puoi aiutarti con una tabella di valori) indicando chiaramente l'asintoto.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Data la funzione razionale $f(x) = \frac{x-2}{x^2-4}$, disegna il suo grafico seguendo un'analisi esaustiva:

1. Determina il dominio di definizione. Attenzione! Individua il tipo di discontinuità presente in ogni punto in cui il denominatore si annulla.

2. Semplifica l'espressione della funzione e spiega cosa succede graficamente in $x = 2$ (c'è un asintoto o un "buco"?).

3. Trova gli asintoti verticali e orizzontali della funzione semplificata.

4. Studia il segno della funzione negli intervalli definiti dalle radici e dagli asintoti.

5. Disegna il grafico rappresentando il punto eliminabile come un piccolo cerchio vuoto.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Rappresenta graficamente la funzione $f(x) = \sqrt{|x| - 3}$. Per farlo, segui questi passi logici:

1. Determina il dominio di definizione della funzione risolvendo la disequazione $|x| - 3 \ge 0$.

2. Analizza la simmetria della funzione. È pari o dispari? Come influisce questo sulla costruzione del disegno?

3. Studia la crescita nell'intervallo $(3, +\infty)$.

4. Rappresenta prima la parte destra del grafico e poi utilizza la simmetria per completare il lato sinistro.

5. Indica i punti di intersezione con l'asse $X$.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

L'utile netto $B(x)$ di una startup di app per cellulari (in migliaia di euro) segue il modello:

$B(x) = \begin{cases} x^2 + 4x & \text{si } x < 0 \\ 5 \cdot \ln(x + 1) & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$

Dove $x$ rappresenta il saldo dell'investimento pubblicitario (negativo è debito, positivo è investimento netto). Disegna il grafico passo dopo passo:

1. Studia la continuità nel punto critico $x = 0$.

2. Per il tratto di sinistra ($x < 0$), trova il vertice della parabola e i suoi punti di intersezione con gli assi.

3. Per il tratto di destra ($x \ge 0$), studia la crescita e trova il punto di intersezione con l'asse $Y$. Calcola anche qualche altro punto (ad esempio, per $x = 4$) che ti aiuti a disegnare la curva.

4. Determina se la funzione ha qualche asintoto.

5. Disegna entrambi i rami sugli stessi assi e segna il punto di raccordo.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Si vuole rappresentare la funzione $f(x) = \frac{|x^2 - 1|}{x}$. Esegui il disegno seguendo queste indicazioni:

1. Riscrivi la funzione come funzione definita a tratti eliminando il valore assoluto.

2. Determina il dominio e gli asintoti verticali.

3. Trova gli asintoti obliqui per i tratti corrispondenti.

4. Studia la simmetria della funzione per semplificare il tracciato.

5. Individua i punti di "cambio di curvatura" in cui agisce il valore assoluto e disegna il grafico finale.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Disegna passo dopo passo il grafico della funzione $f(x) = 2 + e^{1/(x-2)}$. Questo tipo di funzioni è comune negli studi di crescita con barriere critiche.

1. Trova il dominio e l'asintoto verticale.

2. Calcola i limiti laterali per $x \to 2^-$ e $x \to 2^+$. Verso quale valore tende la funzione a sinistra dell'asintoto? E a destra?

3. Determina l'asintoto orizzontale calcolando il limite per $x \to \pm\infty$.

4. Verifica se la funzione interseca l'asse $X$ o l'asse $Y$.

5. Utilizza tutte le informazioni precedenti per eseguire il tracciato, prestando particolare attenzione alla discontinuità in $x = 2$.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

In un audit energetico sulla climatizzazione di una sede aziendale si modellizza lo scostamento di temperatura rispetto al livello di comfort mediante una funzione della forma $f(x) = |ax^2 + bx + c|$, dove $x \in [0, 8]$ rappresenta le ore trascorse della giornata lavorativa. A causa di un errore informatico, i coefficienti $a$, $b$ e $c$ sono stati cancellati dal rapporto, ma si conservano le seguenti caratteristiche visive del grafico:\n- La curva tocca l'asse orizzontale ($y = 0$) esattamente in due istanti: $x = 2$ e $x = 6$, dove il grafico «rimbalza» formando due punti angolosi.\n- Tra i due valori, la curva si innalza formando un arco continuo simmetrico il cui punto più alto si trova in $(4, 8)$.\n- Agli estremi del dominio, la funzione raggiunge i valori $f(0) = 24$ e $f(8) = 24$.\n\n1. Imposta il problema inverso: ricostruisci la parabola interna $g(x) = ax^2 + bx + c$ prima di applicare il valore assoluto. Per farlo, deduci con ragionamento quali dovevano essere le coordinate del vertice di $g(x)$ e verso dove dovevano rivolgersi i suoi rami originali.\n2. Calcola analiticamente i valori dei parametri $a$, $b$ e $c$.\n3. Descrivi la procedura per disegnare il grafico definitivo di $f(x)$ a partire dalla parabola ausiliaria $g(x)$, indicando quale intervallo dell'asse delle ascisse subisce una simmetria rispetto all'asse $X$ ed esprimendo $f(x)$ come funzione definita a tratti senza valore assoluto.

L'area ambiente di un'unione di comuni in Italia analizza il costo medio annuo per abitante del nuovo servizio di raccolta differenziata. Tale costo unitario (in euro per residente) è descritto dalla funzione razionale:\n$$\bar{C}(x) = \frac{180.000 + 45x}{x} = \frac{180.000}{x} + 45$$\ndove $x$ è il numero di residenti iscritti all'anagrafe che aderiscono al sistema ($x > 0$).\n\n1. Analisi asintotica e giustificazione teorica:\n - Spiega perché la retta verticale $x = 0$ è un asintoto verticale della funzione e quale significato socioeconomico ha l'andamento della curva quando la partecipazione dei residenti è quasi nulla ($x \to 0^+$).\n - Motiva perché la retta orizzontale $y = 45$ è un asintoto orizzontale quando il numero di partecipanti cresce indefinitamente ($x \to +\infty$). Dimostra analiticamente se la curva tocca o interseca il suo asintoto orizzontale in qualche punto con $x > 0$ oppure se il costo medio rimane sempre strettamente superiore a $45$ €.\n2. Critica dei metodi di rappresentazione: Un assistente tecnico suggerisce di rappresentare la funzione costruendo una semplice tabella di valori con $x = 1, 2, 3, 4$ e $5$ partecipanti. Argomenta in modo dettagliato perché questo metodo abituale della tabella di valori è del tutto inadeguato per cogliere l'andamento globale dell'iperbole in un sistema di assi cartesiani in scala reale.\n3. Strategia di rappresentazione ragionata: Proponi una scala adeguata per gli assi e scegli quattro valori di $x$ strategici (giustificando la tua scelta) che permettano di rappresentare fedelmente la curvatura della funzione e il suo avvicinamento progressivo all'asintoto orizzontale.