Esercizi: Permutazioni

Calcola il valore numerico delle seguenti espressioni con i fattoriali: $\frac{8!}{5! \cdot 3!}$ e $\frac{12!}{10!}$.

Un gruppo di $6$ amici va a teatro e compra biglietti per posti consecutivi nella stessa fila. In quanti modi diversi possono sedersi per godersi lo spettacolo?

Quante parole diverse, abbiano o no senso nel dizionario, si possono formare ordinando tutte le lettere della parola "MUNDO"?

In una galleria d'arte si espongono $5$ quadri di un artista locale appendendoli in linea retta su una parete principale. In quanti modi diversi si possono ordinare le opere?

Durante una gara di atletica scolastica, $7$ corridori arrivano al traguardo senza che si verifichi alcun pari merito. Quante classifiche diverse possono verificarsi al termine della gara?

Un festival musicale ha in programma le esibizioni di $4$ band rock per la serata di sabato. In quanti modi si può organizzare l'ordine in cui saliranno sul palco a suonare?

Per configurare una password sicura, un'applicazione richiede di usare esattamente i caratteri $A, B, C, 1, 2$, senza ripeterne nessuno. Quante password diverse si possono creare nel sistema?

Semplifica la seguente espressione algebrica che coinvolge fattoriali, esprimendo il risultato nella sua forma più ridotta: $\frac{(n+2)!}{n! \cdot (n+1)}$.

Marco vuole calcolare quante parole diverse, abbiano o no senso, si possono formare ordinando tutte le lettere della parola «PATATA». Nel suo compito scrive quanto segue:

«Siccome la parola ha 6 lettere, ci sono $6! = 720$ ordinamenti. Ma siccome la lettera A si ripete 3 volte e la lettera T si ripete 2 volte, le sottraggo al totale: $6! - 3! - 2! = 720 - 6 - 2 = 712$ parole possibili».

Individua l'errore concettuale commesso da Marco, spiega con parole tue perché l'operazione di sottrarre fattoriali non ha senso in questo contesto di ordinamenti e calcola la soluzione corretta applicando e giustificando la formula adeguata.

Quattro amici vanno a fare merenda in un bar del centro città. Sono indecisi tra sedersi a un bancone con 4 sgabelli in fila oppure a un tavolo rotondo da 4 posti in cui conta soltanto la posizione relativa tra loro (chi sta a sinistra o a destra di chi).

1. a) Prima di applicare qualsiasi formula, stima in modo motivato quale delle due situazioni offrirà un numero maggiore di ordinamenti diversi e ipotizza quale relazione approssimativa ci sarà tra i due risultati.
2. b) Calcola in modo esatto il numero di ordinamenti al bancone ($P_4$) e al tavolo rotondo ($PC_4$).
3. c) Verifica se il calcolo conferma la tua stima iniziale e spiega perché il fatto di fissare una persona come riferimento al tavolo riduce il totale degli ordinamenti esattamente di quel fattore.

Cinque amici vanno al cinema e si siedono in poltrone contigue. Due di loro, Amina e Luca, vogliono sedersi vicini per condividere i popcorn. In quanti modi possono sistemarsi i cinque amici rispettando sempre questa condizione?

Una nave comunica con altre navi mediante bandiere colorate issate verticalmente su un pennone. Se dispone di $3$ bandiere rosse, $2$ bandiere blu e $1$ bandiera gialla, tutte della stessa dimensione, quanti segnali diversi può inviare usando tutte le bandiere contemporaneamente?

Una famiglia di $6$ membri si siede a cena attorno a un tavolo rotondo in un ristorante. In quanti modi diversi possono disporsi se conta soltanto la posizione relativa tra loro e non la sedia esatta che occupano nella sala?

Quante parole diverse, abbiano o no senso, si possono formare utilizzando tutte le lettere della parola "CAMPANA"?

Alla finale di una gara di nuoto dei Giochi Olimpici partecipano $8$ nuotatori. Se sappiamo con certezza quale nuotatore ha vinto la medaglia d'oro e quale è arrivato ultimo a causa di un infortunio, in quanti modi diversi possono essersi classificati gli altri partecipanti nelle posizioni intermedie?

Nella pianta di una città con strade disposte a reticolo, un fattorino in bicicletta deve andare dal punto $A$ al punto $B$ spostandosi soltanto verso destra e verso l'alto. Quanti percorsi diversi di lunghezza minima può seguire per effettuare la consegna?

Un ingegnere informatico vuole formare codici numerici di sei cifre utilizzando esattamente le seguenti cifre in ciascun codice: $2, 2, 3, 3, 3, 4$. Quanti codici diversi può programmare il sistema?

Un gruppo formato da $3$ ragazzi e $3$ ragazze deve sedersi in una fila di $6$ poltrone per assistere a un concerto. In quanti modi possono farlo se devono sedersi in modo che i sessi siano rigorosamente alternati (ragazzo-ragazza-ragazzo... oppure ragazza-ragazzo-ragazza...)?

Un furgone di consegne delle Poste deve spostarsi lungo la rete a reticolo di un quartiere di Milano. Parte da un magazzino e deve arrivare a un punto di consegna situato a 4 isolati verso est e 3 isolati verso nord. Il furgone segue sempre percorsi di lunghezza minima, spostandosi esclusivamente verso est ($E$) o verso nord ($N$) in ogni tratto.

1. a) Modella questa situazione mediante permutazioni con ripetizione giustificando perché ogni percorso possibile equivale a una sequenza di lettere di lunghezza fissa e calcola il numero totale di percorsi minimi distinti.
2. b) Se l'incrocio situato a 2 isolati a est e 1 isolato a nord dell'origine è completamente chiuso per lavori comunali, calcola quanti percorsi minimi restano disponibili evitando di passare per tale incrocio. Giustifica il procedimento che hai seguito.

Un mazzo di allenamento per il calcolo mentale contiene 8 carte in totale. Due di esse sono di colore rosso e le restanti sono carte blu e carte verdi. Disponendo tutte le carte in fila sul tavolo, si verifica che si possono formare esattamente 420 ordinamenti distinti considerando soltanto la sequenza dei colori.

1. a) Imposta un'equazione combinatoria che metta in relazione il numero di carte blu ($a$) e il numero di carte verdi ($v$) con il totale degli ordinamenti possibili.
2. b) Deduci quante carte blu e quante carte verdi compongono il mazzo. Giustifica perché compaiono due soluzioni numeriche simmetriche e spiega il loro significato pratico.

Trova il valore del numero naturale $x$ che soddisfa la seguente equazione, giustificando matematicamente la tua risposta: $P_x = 30 \cdot P_{x-2}$.

Quante parole diverse, con o senza senso, si possono formare riordinando tutte le lettere della parola "ESTADISTICA" in modo che inizino obbligatoriamente con la lettera $E$ e terminino con la lettera $A$?

Otto diplomatici si riuniscono in un vertice internazionale e devono sedersi attorno a un grande tavolo rotondo. Due dei rappresentanti sono fortemente in inimicizia e il protocollo richiede che non siedano uno accanto all'altro. In quanti modi diversi possono sistemarsi al tavolo rispettando questa restrizione?

Nello scaffale di una biblioteca scolastica si devono disporre in fila $4$ libri distinti di Matematica, $3$ libri distinti di Fisica e $2$ libri distinti di Chimica. Se la bibliotecaria richiede che i libri della stessa materia restino sempre insieme formando un blocco, in quanti modi diversi si possono ordinare sul ripiano?

Un robot autonomo si sposta su un reticolo logistico dal nodo $A$ al nodo $B$ avanzando esclusivamente verso destra e verso il basso. A causa di alcune riparazioni del pavimento, il nodo $C$ è bloccato e il robot non può passarvi. Quante traiettorie valide esistono per completare il percorso?

Calcola la somma totale di tutti i numeri interi di $4$ cifre distinte che si possono formare utilizzando esclusivamente le cifre $1, 2, 3$ e $4$.

Se si generano tutte le parole possibili, con o senza senso, permutando le lettere della parola "LIBRO" e poi si ordinano rigorosamente in ordine alfabetico (come in un dizionario), quale posizione occuperà esattamente la parola "LIBRO" in tale elenco?

Semplifica le frazioni algebriche e risolvi la seguente equazione che contiene fattoriali, trovando il valore di $x$: $\frac{(x+1)!}{(x-1)!} - \frac{x!}{(x-2)!} = 14$.

In un simposio scientifico organizzato dal CNR partecipano 6 relatori: 3 specialisti in fisica e 3 in matematica. Interverranno consecutivamente nella stessa sala e il comitato organizzatore richiede che non ci siano due fisici che intervengono di seguito. Per determinare quante programmazioni valide esistono, due studenti propongono percorsi diversi:

• Lucia propone il metodo del complementare: «Calcoliamo tutti gli ordinamenti possibili dei 6 relatori e sottraiamo quelli in cui i fisici compaiono vicini».

• Sergio propone il metodo degli spazi: «Disponiamo prima i 3 matematici in fila, individuiamo gli spazi disponibili tra di loro e agli estremi, e collochiamo lì i fisici».

1. a) Analizza entrambe le proposte e spiega con precisione perché la strategia di Lucia risulta estremamente complessa e soggetta a errori in questo caso concreto (indica quali casi sovrapposti o diversi dovrebbe distinguere cercando di sottrarre).
2. b) Sviluppa per intero la strategia di Sergio scomponendo i fattori mediante permutazioni, calcola il risultato finale e concludi giustificando perché questo metodo è più sicuro ed efficiente.

In un vertice diplomatico tenuto a Firenze si organizza una cena per 8 capi di Stato a un tavolo rotondo di 8 posti, dove si tiene conto soltanto della posizione relativa dei commensali tra loro. Il servizio di protocollo impone due restrizioni simultanee:

1. I capi di Stato di Spagna e Portogallo devono sedersi obbligatoriamente vicini, uno accanto all'altro.

2. I capi di Stato di Francia e Germania devono sedersi in posizioni diametralmente opposte (uno di fronte all'altro attraverso il centro del tavolo).

Progetta una strategia rigorosa per contare le configurazioni possibili fissando un commensale come riferimento per rompere la simmetria circolare, analizza dettagliatamente quante posizioni compatibili restano per il blocco ispano-lusitano e per le altre delegazioni, e deduci il numero totale di modi validi di sistemare gli 8 capi di Stato.