Esercizi: Senza ordinamento

A un torneo di scacchi partecipano $14$ giocatori. Se ogni giocatore deve affrontare una sola volta tutti gli altri, determina il numero totale di partite che si disputeranno nel torneo.

Per preparare un'insalata hai a disposizione $8$ ingredienti diversi (lattuga, pomodoro, carota, cipolla, cetriolo, tonno, mais e olive). Calcola quante insalate diverse di $4$ ingredienti puoi preparare.

Una verifica è composta da $10$ domande. L'insegnante indica che gli studenti devono scegliere e rispondere soltanto a $6$ di esse. Determina in quanti modi diversi uno studente può selezionare le domande a cui rispondere.

A una riunione di lavoro ci sono $12$ persone. Alla fine tutti si salutano stringendosi la mano una sola volta. Calcola quante strette di mano avvengono in totale.

Trova il valore di $x$ nella seguente uguaglianza tra coefficienti binomiali, sapendo che $x \neq 4$:

$\binom{x}{4} = \binom{x}{7}$

Calcola il valore della seguente espressione utilizzando le proprietà dei coefficienti binomiali:

$\binom{8}{3} + \binom{8}{4}$

Da un mazzo di carte da $40$ carte si estraggono contemporaneamente $3$ carte a caso. Determina quanti risultati diversi si possono ottenere.

Si segnano $7$ punti su una circonferenza. Calcola quanti segmenti distinti si possono tracciare unendo due di questi punti.

Per la materia di Italiano della classe quarta del liceo, il docente propone un elenco di 7 letture consigliate, tra le quali ogni studente deve sceglierne 3 per svolgere un lavoro durante il trimestre. Sergio afferma con sicurezza: «Per scegliere il primo libro ho 7 possibilità; per il secondo, 6; e per il terzo, 5. Quindi, in totale ci sono $7 \cdot 6 \cdot 5 = 210$ modi possibili di scegliere le mie 3 letture».

1. a) Individua l'errore concettuale commesso da Sergio e spiega perché il suo calcolo produce un numero molto maggiore delle scelte reali.
2. b) Quante volte Sergio sta contando ogni possibile gruppo di 3 libri? Collega la tua risposta alle permutazioni di questi 3 elementi.
3. c) Scrivi la formula corretta utilizzando la notazione del coefficiente binomiale $\binom{n}{k}$ e calcola quante selezioni diverse di 3 libri si possono realmente fare.

In una classe di 24 studenti di quarta liceo si deve scegliere una delegazione per la convivenza formata da 2 rappresentanti che partecipino alle riunioni d'istituto.

1. a) Prima di applicare qualsiasi formula, fai una stima ragionata senza calcoli minuziosi: pensi che il numero di coppie possibili sia dell'ordine delle decine, delle centinaia o delle migliaia? Argomenta la tua risposta pensando alle possibilità di ciascuno studente.
2. b) Modellizza la situazione mediante il coefficiente binomiale adeguato, esegui il calcolo e verifica se la tua stima iniziale era corretta.
3. c) A partire dalla proprietà di simmetria dei coefficienti binomiali $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$, spiega perché scegliere i 2 rappresentanti della delegazione equivale matematicamente a scegliere i 22 studenti che restano fuori, senza bisogno di calcolare ulteriori fattoriali.

Un'azienda deve formare una squadra di progetto composta da $3$ ingegneri e $2$ economisti. Se tra il personale ci sono $8$ ingegneri e $5$ economisti disponibili, calcola quante squadre diverse si possono formare.

In una pasticceria si vendono $6$ tipi diversi di pasticcini. Determina in quanti modi diversi si possono comprare $4$ pasticcini, tenendo conto che se ne possono scegliere più dello stesso tipo.

Calcola il numero totale di diagonali che si possono tracciare in un poligono regolare di $10$ lati (decagono).

Risolvi la seguente equazione per trovare il valore del numero naturale $n$:

$C_{n, 2} = 45$

Si estraggono $5$ carte contemporaneamente da un mazzo di $40$ carte (diviso in $4$ semi da $10$ carte ciascuno). Determina in quanti dei risultati possibili ci sono esattamente $3$ carte del seme di denari.

Un robot si sposta su una griglia dal punto $A$ al punto $B$. Può eseguire solo movimenti verso destra o verso l'alto, avanzando di un'intersezione a ogni passo. Calcola il numero di percorsi diversi che può seguire.

Hai $8$ biglietti identici per un concerto e vuoi distribuirli tra i tuoi $4$ migliori amici. Calcola in quanti modi puoi distribuirli, sapendo che a un amico possono toccare più biglietti o anche nessuno.

In un questionario di $12$ domande devi rispondere obbligatoriamente a un totale di $8$. Tuttavia, le prime $3$ domande sono obbligatorie. Determina in quanti modi diversi puoi completare la tua selezione di domande.

In un torneo regionale di padel federale in Toscana, la fase preliminare si disputa a gironi indipendenti. In ogni girone, tutte le coppie iscritte giocano esattamente una partita contro ciascuna delle altre coppie dello stesso girone (sistema all'italiana a sola andata). Alla chiusura del verbale della fase preliminare, l'organizzazione conferma che nel Girone A sono state disputate esattamente 45 partite in totale.

1. a) Scrivi un'equazione combinatoria utilizzando la notazione $\binom{n}{k}$ in cui compaia il numero incognito $n$ di coppie iscritte al Girone A.
2. b) Sviluppa algebricamente il coefficiente binomiale per trasformare l'uguaglianza in un'equazione di secondo grado in forma generale.
3. c) Risolvi l'equazione, analizza le due soluzioni ottenute scartando con una motivazione quella priva di senso in questo contesto e indica quante coppie gareggiavano in tale girone.

L'Agenzia nazionale di meteorologia vuole verificare la manutenzione di una rete di stazioni meteorologiche automatiche in Sicilia. Dispone di 9 stazioni situate in zone di montagna e 6 stazioni in zone costiere. Il protocollo tecnico stabilisce che si debba selezionare un campione di 6 stazioni composto obbligatoriamente da 4 stazioni di montagna e 2 stazioni costiere.

1. a) Giustifica matematicamente perché la selezione di ciascuna categoria deve essere modellizzata mediante combinazioni semplici e non mediante disposizioni o permutazioni.
2. b) Applica il principio di moltiplicazione combinatoria per calcolare quanti campioni diversi di 6 stazioni si possono configurare rispettando la quota stabilita.
3. c) Se per ragioni tecniche si decide che la stazione di montagna situata sull'Etna debba far parte obbligatoriamente del campione, calcola quanti campioni diversi di 6 stazioni (4 di montagna e 2 costiere) si possono ora selezionare.

Un ospedale deve formare una squadra di guardia notturna di $5$ persone, scelta da un gruppo di $7$ medici e $6$ infermieri. Calcola quante squadre diverse si possono formare se la normativa richiede che la squadra contenga almeno $3$ medici.

In una griglia formata da $9$ punti distribuiti in $3$ righe e $3$ colonne, determina quanti triangoli distinti si possono formare utilizzando questi punti come vertici. Tieni conto che tre punti allineati non formano un triangolo.

Trova il valore di $x$ che soddisfa la seguente equazione combinatoria:

$\binom{x}{2} + \binom{x-1}{2} = 25$

Il gioco del Superenalotto consiste nello scegliere $6$ numeri su un totale di $49$. Se si conosce già la combinazione vincente di $6$ numeri, calcola quante giocate diverse tra quelle possibili otterrebbero esattamente $4$ numeri indovinati.

Un robot si sposta su una griglia dal nodo $A$ al nodo $B$, muovendosi soltanto verso destra e verso l'alto. Deve passare obbligatoriamente per il nodo $C$ per raccogliere un pacco. Determina quanti percorsi validi esistono.

In una gelateria offrono $5$ gusti diversi. Vuoi comprare $8$ vaschette di gelato per una festa, ma vuoi assicurarti di prenderne almeno una per ciascuno dei $5$ gusti. Calcola in quanti modi diversi puoi fare il tuo ordine.

Un'urna contiene $6$ palline rosse, $5$ palline blu e $4$ palline verdi. Si estraggono $4$ palline contemporaneamente. Calcola quanti risultati diversi contengono esattamente $2$ palline rosse e almeno $1$ pallina blu.

Il gioco del domino tradizionale arriva fino al doppio sei (i punteggi vanno da $0$ a $6$). Un produttore decide di creare un "super domino" che arrivi fino al doppio nove (i punteggi vanno da $0$ a $9$). Calcola quante tessere in totale avrà questo nuovo gioco e quante di esse non saranno doppie.

Una commissione medica per la valutazione delle prove di un concorso del Ministero della Salute deve essere formata da 6 persone, scelte da un gruppo composto da 4 specialisti in Medicina di famiglia e 7 specialisti in Medicina interna. La normativa richiede che nella commissione risultante figuri almeno uno specialista in Medicina di famiglia.

Due membri del comitato propongono metodi diversi per calcolare il numero di commissioni valide:

• Metodo 1 (Diretto): dividere il problema in casi disgiunti secondo il numero di medici di famiglia (1, 2, 3 o 4), calcolare le combinazioni di ciascun caso moltiplicando per gli internisti necessari e sommare tutti i risultati.

• Metodo 2 (Complementare): calcolare tutte le commissioni possibili di 6 persone che si possono formare con gli 11 medici disponibili senza alcuna restrizione e sottrarre le commissioni non valide (quelle in cui non c'è alcuno specialista in Medicina di famiglia).

1. a) Sviluppa completamente entrambi i metodi impostando i rispettivi coefficienti binomiali e verifica numericamente che entrambi portano allo stesso risultato.
2. b) Confronta criticamente i due metodi: quale ritieni più efficiente in termini di tempo e con minor rischio di errori di calcolo in una situazione di verifica? Giustifica la tua scelta analizzando il numero di operazioni di ciascuno.
3. c) Se la normativa cambiasse e richiedesse che nella commissione ci siano «almeno 3 specialisti in Medicina di famiglia», il metodo complementare sarebbe ancora più breve di quello diretto? Giustifica la tua risposta ragionando sul numero di casi favorevoli rispetto a quelli sfavorevoli.

Nel tracciato ortogonale di un quartiere di Milano, un fattorino in bicicletta deve spostarsi dall'incrocio A all'incrocio B. Per ottimizzare il percorso, il fattorino avanza a ogni incrocio solo verso est o verso nord, richiedendo un tragitto esatto di 5 isolati verso est e 3 isolati verso nord (un totale di 8 isolati di spostamento).

1. a) Modellizza il tragitto con il calcolo combinatorio: spiega perché qualsiasi percorso ottimale di 8 isolati equivale a scegliere i turni di avanzamento in una delle due direzioni e calcola quanti percorsi distinti uniscono A con B mediante l'espressione $\binom{m+p}{m}$.
2. b) La Polizia locale ha chiuso per lavori l'incrocio intermedio C, situato esattamente a 2 isolati a est e 1 isolato a nord del punto A. Modellizza quanti dei percorsi possibili passerebbero necessariamente per l'incrocio C e deduci quanti percorsi alternativi liberi da lavori restano disponibili per il fattorino.
3. c) Supponi che il fattorino debba consegnare obbligatoriamente un pacco urgente all'incrocio D (situato a 4 isolati a est e 2 a nord di A) e che l'incrocio C resti chiuso. Imposta e calcola l'espressione combinatoria che determina quanti percorsi distinti permettono di andare da A a B passando obbligatoriamente per D ma evitando in ogni momento l'incrocio chiuso C.

Sfida del tema. Come influiscono l'ordine e la selezione nella formazione di un comitato giovanile? Elabora una proposta matematica basata su dati demografici reali.

1. Raccolta dei dati: Entra nel sito dell'ISTAT e individua i $8$ nomi più frequenti della tua provincia nel tuo anno di nascita.

2. Modellizzazione combinatoria: Con questi $8$ nomi come candidati, calcola e giustifica:

3. Elezione di presidente, segretario e consigliere (cariche differenziate in cui l'ordine conta): disposizioni $V_{8,3}$.

4. Commissione di convivenza di $3$ membri uguali (raggruppamento senza ordine): combinazioni $C_{8,3}$.

5. Posizioni possibili per una fotografia in fila dei $8$ membri: permutazioni $P_8$.

6. Foglio di calcolo e relazione: Progetta una tabella in un foglio di calcolo che calcoli automaticamente $V_{n,3}$, $C_{n,3}$ e $P_n$ per valori di $n$ compresi tra $5$ e $12$. Redigi una breve relazione spiegando perché $C_{n,3}$ è sempre minore di $V_{n,3}$ e consiglia alla tua scuola quale sistema (cariche differenziate o commissione senza cariche) sia più adatto, spiegando perché un numero maggiore di configurazioni possibili non implica di per sé maggiore diversità nel comitato.

Verrà valutato:

• Rigore nella raccolta dei dati dell'ISTAT e correttezza del calcolo combinatorio ($V$, $P$ e $C$).

• Uso efficace del foglio di calcolo nell'automatizzazione delle formule.

• Argomentazione chiara sul ruolo dell'ordine nel prendere decisioni.