Esercizi: Progressioni geometriche

Analizza le seguenti sequenze numeriche. Il tuo compito è individuare quali di esse sono progressioni geometriche. Per quelle che lo sono, indica qual è la loro ragione ($r$).

1. a) $2, 6, 18, 54, \dots$
2. b) $5, 10, 15, 20, \dots$
3. c) $80, 40, 20, 10, \dots$
4. d) $3, -3, 3, -3, \dots$

Osserva la figura seguente. Partiamo da un quadrato grande di lato $8 \text{ cm}$. Il quadrato successivo ha un lato lungo la metà del precedente, e così via.

Calcola la lunghezza del lato dei primi 4 quadrati e scrivi il termine generale $a_n$ della successione formata da queste lunghezze.

Immagina che un video virale su un social network venga condiviso molto rapidamente. Una persona carica il video (minuto 0). Al minuto 1 lo vedono 5 persone nuove. Al minuto 2, ognuna di queste 5 persone lo condivide con altre 5 persone nuove, e così via.

1. Scrivi i primi quattro termini della successione dei nuovi spettatori per minuto.

2. Qual è la ragione $r$ della crescita?

3. Scrivi la formula del termine generale $a_n$.

Abbiamo un foglio di carta con uno spessore iniziale di $0,1 \text{ mm}$.

Se pieghiamo il foglio a metà, lo spessore raddoppia. Se lo pieghiamo di nuovo, raddoppia ancora.

Considera $a_1$ come lo spessore dopo la prima piegatura.

1. Calcola lo spessore del foglio dopo 1, 2, 3 e 4 piegature.

2. Quale spessore avrà la pila di carta dopo 10 piegature? Esprimi il risultato in millimetri.

Una palla di gomma viene lasciata cadere da una certa altezza. A ogni rimbalzo, la palla raggiunge un'altezza che è la metà dell'altezza precedente.

Se al primo rimbalzo ($a_1$) raggiunge un'altezza di $160 \text{ cm}$:

1. a) Scrivi la successione delle altezze nei primi 5 rimbalzi.
2. b) Qual è la ragione $r$ di questa progressione?
3. c) Quale altezza raggiungerà all'ottavo rimbalzo?

Data una progressione geometrica in cui il primo termine è $a_1 = 3$ e la ragione è $r = 2$:

1. a) Calcola il valore del termine che occupa la posizione 7 ($a_7$).
2. b) Calcola il valore del termine che occupa la posizione 10 ($a_{10}$).

Utilizza la formula del termine generale: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$.

Un nonno decide di risparmiare per il nipote seguendo una curiosa regola matematica. Il primo mese mette 2 euro in un salvadanaio. Il secondo mese ne mette 6. Il terzo mese ne mette 18.

Se continua con questa logica:

1. Verifica che si tratta di una progressione geometrica e trova la ragione $r$.

2. Calcola quanti soldi dovrà mettere nel salvadanaio il quinto mese.

Abbiamo una progressione geometrica formata da frazioni. Sappiamo che i primi termini sono:

1. a) Individua il primo termine $a_1$ e la ragione $r$.
2. b) Calcola il termine $a_6$ senza dover moltiplicare uno a uno, usando la formula generale.

Davide sta svolgendo un esercizio in classe: «Trova il sesto termine di una progressione geometrica il cui primo termine è $a_1 = 6$ e la cui ragione è $r = 3$». Sul quaderno ha scritto quanto segue:

1. a) Individua e spiega con chiarezza l'errore concettuale e di priorità delle operazioni commesso da Davide.
2. b) Scrivi correttamente la formula del termine generale e calcola il valore reale di $a_6$.
3. c) Se Davide avesse applicato il suo procedimento errato per calcolare soltanto il secondo termine ($a_2$), quale risultato avrebbe ottenuto rispetto al valore reale? Spiega perché l'errore di Davide fa aumentare in modo smisurato lo scarto al crescere dell'indice $n$.

Costruisci una progressione geometrica che soddisfi contemporaneamente queste tre condizioni:

1. I suoi termini hanno segni alterni: il primo è positivo, il secondo negativo, il terzo positivo, ecc.

2. Il terzo termine vale esattamente $a_3 = 12$.

3. Il quinto termine vale esattamente $a_5 = 48$.

1. a) Imposta la relazione matematica tra $a_3$ e $a_5$ mediante la ragione $r$, deduci i due possibili valori numerici di $r$ e giustifica quale devi scegliere affinché sia soddisfatta la condizione dei segni alterni.
2. b) A partire dal valore della ragione, determina con ragionamento il primo termine $a_1$.
3. c) Scrivi i primi quattro termini della tua progressione geometrica e spiega perché, in una progressione con ragione negativa e primo termine positivo, è impossibile che un termine con indice dispari sia negativo.

Il video di una famosa streamer è diventato virale. La prima ora ha avuto 5 visualizzazioni. A causa dell'algoritmo della piattaforma, a ogni ora che passa il numero di nuove visualizzazioni si moltiplica per 3 rispetto all'ora precedente.

1. a) Scrivi i primi cinque termini della successione che rappresenta le nuove visualizzazioni per ora.
2. b) Qual è la ragione $r$ di questa progressione geometrica?
3. c) Scrivi il termine generale $a_n$ che permette di calcolare le visualizzazioni nell'ora $n$.
4. d) Quante nuove visualizzazioni avrà esattamente il video nell'ora 8?

In un videogioco di ruolo, l'esperienza necessaria per salire di livello segue una progressione geometrica. Sappiamo che per raggiungere il livello 2 servono 150 punti di esperienza, e per raggiungere il livello 5 servono 1200 punti.

Calcola:

1. a) La ragione $r$ della progressione.
2. b) L'esperienza necessaria per il primo livello ($a_1$).
3. c) L'esperienza necessaria per raggiungere il livello 10.

Osserva la seguente figura frattale. Iniziamo con un triangolo equilatero di area $64\text{ cm}^2$ (Fase 1). A ogni passo successivo, in ciascuno dei triangoli rimasti non colorati, coloriamo il triangolo centrale formato dai punti medi dei suoi lati (triangolo rovesciato), la cui area è uguale a $1/4$ del triangolo in cui si trova.

Considerando la successione formata dall'area totale dei nuovi triangoli colorati in ogni fase (a partire dalla Fase 2):

1. a) Scrivi i primi tre termini della successione.
2. b) Qual è la ragione di questa progressione?
3. c) Calcola la somma delle aree di tutti i triangoli colorati se ripetessimo il processo infinite volte.

Michele vuole comprarsi un monopattino elettrico che costa 400 €. Decide di risparmiare seguendo un piano rigoroso: la prima settimana risparmia 2 €, la seconda settimana 4 €, la terza 8 €, e così via, raddoppiando la somma ogni settimana.

1. a) Quanti soldi dovrà risparmiare la settimana numero 8?
2. b) Quanti soldi avrà accumulato in totale alla fine della settimana 8?
3. c) Avrà raccolto abbastanza soldi per comprare il monopattino al termine della settimana 8? Se no, di quante settimane ha bisogno in tutto?

Una palla di gomma viene lasciata cadere da un'altezza iniziale di 20 metri. A ogni rimbalzo la palla perde energia e raggiunge solo l'80% dell'altezza precedente ($r = 0,8$).

1. a) Calcola l'altezza raggiunta dalla palla dopo il terzo rimbalzo.
2. b) Calcola la distanza totale percorsa dalla palla (in discesa e in salita) nel momento in cui tocca il suolo per la quarta volta.

Nota: Tieni presente che la prima caduta è di 20 m, ma poi la palla sale e scende.

Abbiamo un quadrato di lato 10 cm. Uniamo i punti medi dei suoi lati per formare un secondo quadrato inscritto. Ripetiamo il processo con il secondo quadrato per formarne un terzo, e così via.

1. a) Sapendo che l'area di ogni nuovo quadrato è la metà del precedente, scrivi la successione delle aree dei primi 5 quadrati.
2. b) È una progressione aritmetica o geometrica? Individua il primo termine e la differenza o la ragione.
3. c) Calcola la somma delle aree dei primi 10 quadrati generati.

Un biologo sta studiando una colonia di batteri in una piastra di Petri. Inizialmente conta 500 batteri. Osserva che la popolazione aumenta del 20% ogni ora.

1. a) Spiega perché questa crescita corrisponde a una progressione geometrica e determina la ragione $r$.
2. b) Scrivi il termine generale $a_n$ che descrive il numero di batteri dopo $n$ ore. (Considera $a_0 = 500$ come l'inizio, oppure adatta la formula considerando $a_1$ come la quantità dopo 1 ora).
3. c) Quanti batteri ci saranno, approssimativamente, dopo 12 ore?

Calcola il prodotto dei primi 6 termini di una progressione geometrica sapendo che il primo termine è $a_1 = 3$ e che il quarto termine è $a_4 = 24$.

Nel laboratorio di scienze di una scuola di Genova si realizza una prova lasciando cadere una palla da un'altezza di $3\text{ m}$. Dopo ogni rimbalzo sul suolo, la palla raggiunge un'altezza massima pari a $60\,\%$ dell'altezza raggiunta nel rimbalzo precedente.

1. a) Stima prima di calcolare: Se la palla compisse infiniti rimbalzi ideali, pensi che la somma di tutte le altezze raggiunte nei rimbalzi ($a_1 + a_2 + a_3 + \ldots$) supererà $10\text{ metri}$ o sarà inferiore a $6\text{ metri}$? Giustifica brevemente la tua intuizione iniziale senza usare formule.
2. b) Modellizza la situazione: trova l'altezza raggiunta nel primo rimbalzo ($a_1$) e scrivi l'espressione del termine generale $a_n$ dell'altezza corrispondente al rimbalzo numero $n$.
3. c) Applica la formula della somma degli infiniti termini ($S_\infty$) per ottenere la somma teorica totale delle altezze di tutti i rimbalzi.
4. d) Confronta il valore esatto ottenuto con la tua stima iniziale. Come spiegheresti a un compagno, con parole tue, che la somma di infinite quantità positive può dare un numero esatto e finito?

Secondo i dati sulla sfida demografica dell'Istituto Nazionale di Statistica (ISTAT), un comune della provincia di Cuneo contava $1.250$ abitanti residenti al 1° gennaio 2018. A causa dell'invecchiamento della popolazione e dell'emigrazione, si osserva che la sua popolazione diminuisce a un ritmo costante del $5\,\%$ annuo.

1. a) Modellizza l'evoluzione della popolazione mediante una progressione geometrica: calcola la ragione $r$, indica il valore del termine iniziale $a_1$ (popolazione nel 2018) e formula il termine generale $a_n$, dove $n=1$ corrisponde all'anno 2018, $n=2$ al 2019, e così via.
2. b) Calcola la popolazione prevista per l'anno 2023 ($n = 6$), arrotondando al numero intero di persone più vicino.
3. c) L'amministrazione regionale stabilisce che, se la popolazione residente scende sotto i $900$ abitanti, l'ambulatorio medico locale perde l'assistenza quotidiana in presenza. Verifica numericamente se nell'anno 2025 ($n = 8$) il comune avrà già superato questa soglia critica o se riuscirà a mantenere il servizio.

Un biologo sta studiando un ceppo di batteri molto aggressivo in una piastra di Petri. Inizialmente conta 500 batteri. Osserva che la popolazione aumenta del 15% ogni ora.

Perché l'esperimento sia controllabile, la popolazione non deve superare i 2.000.000 di batteri. Utilizzando la calcolatrice e le tue conoscenze sul termine generale di una progressione geometrica:

1. Scrivi l'espressione del termine generale $a_n$ che descrive il numero di batteri in funzione delle ore trascorse $n$.

2. Calcola quanti batteri ci saranno esattamente dopo 24 ore.

3. Determina quante ore complete possono passare al massimo prima che la coltura superi il limite di sicurezza di 2 milioni.

Una speciale palla di gomma viene lasciata cadere da un'altezza di 2 metri. A causa della perdita di energia, ogni volta che rimbalza sul suolo risale solo all'80% dell'altezza da cui era caduta in precedenza.

Questo comportamento genera una successione di altezze massime raggiunte dopo ogni rimbalzo.

1. Calcola l'altezza raggiunta dalla palla dopo il quinto rimbalzo.

2. Immagina di lasciare che la palla rimbalzi indefinitamente fino a fermarsi. Calcola la distanza totale (in discesa e in salita) che la palla avrà percorso da quando è stata lasciata cadere fino a quando si ferma del tutto. Attenzione: la prima caduta è unica, ma i rimbalzi comportano salire e scendere della stessa distanza.

Un famoso youtuber lancia una campagna benefica. Il primo giorno dona 10 euro. Si impegna a donare ogni giorno successivo una somma tale che la somma di quanto donato quel giorno e il giorno precedente sia il triplo di quanto ha donato il giorno precedente.

Nota: Leggi bene il testo, è un indovinello matematico sulla ragione $r$.

1. Calcola quanto dona il secondo e il terzo giorno.

2. Dimostra che le somme donate giorno per giorno formano una progressione geometrica e trova la sua ragione $r$.

3. Quanti soldi avrà donato in totale al termine di una settimana (7 giorni)?

Stiamo progettando un logo artistico basato su una successione di quadrati inscritti.

Partiamo da un quadrato esterno di lato $L_1 = 20 \text{ cm}$.

Il secondo quadrato si forma unendo i punti medi dei lati del primo. Il terzo quadrato unisce i punti medi del secondo, e così via.

1. Utilizza il teorema di Pitagora per trovare il lato del secondo quadrato ($L_2$) e del terzo ($L_3$).

2. Determina la ragione della progressione geometrica formata dalle aree di questi quadrati.

3. Se potessimo disegnare infiniti quadrati verso l'interno seguendo questo schema, quanto varrebbe la somma delle aree di tutti i quadrati (l'area totale colorata)?

Un'azienda tecnologica offre due tipi di contratto salariale per un posto da programmatore della durata di 5 anni:

• Contratto A: Stipendio iniziale di 24.000 € annui, con un aumento fisso di 2.000 € ogni anno (progressione aritmetica).

• Contratto B: Stipendio iniziale di 22.000 € annui, con un aumento dell'8% ogni anno rispetto all'anno precedente (progressione geometrica).

• Scrivi il termine generale $a_n$ per il Contratto A e $b_n$ per il Contratto B.

• Calcola lo stipendio annuo nel quinto anno per entrambi i contratti. Quale paga di più in quell'anno specifico?

• Calcola la somma totale di denaro guadagnato nei 5 anni con ciascun contratto ($S_5$). Quale contratto è più vantaggioso a lungo termine (nel totale accumulato)?

Abbiamo una progressione geometrica di cui non conosciamo la ragione $r$ e il primo termine $a_1$. Sappiamo però che il terzo termine vale 12 ($a_3 = 12$) e il sesto termine vale 96 ($a_6 = 96$).

1. Imposta un sistema di equazioni oppure utilizza la formula del termine generale per trovare la ragione $r$.

2. Una volta trovata la ragione, calcola il primo termine $a_1$.

3. Calcola il prodotto dei primi 6 termini della successione ($P_6$).

Il triangolo di Sierpinski è un famoso frattale che si costruisce a partire da un triangolo equilatero.

Il processo è il seguente (nella figura i triangoli «neri» sono disegnati in verde):

• Passo 0: Abbiamo un triangolo equilatero nero di area $80 \text{ cm}^2$.

• Passo 1: Ritagliamo (togliamo) il triangolo centrale rovesciato, la cui area è $1/4$ del triangolo precedente. Restano 3 triangoli neri più piccoli.

• Passo 2: Da ciascuno dei 3 triangoli neri rimasti, ritagliamo di nuovo il triangolo centrale (che è $1/4$ dell'area del triangolo che lo contiene).

1. Scrivi la successione che rappresenta l'area nera totale che rimane nella figura a ogni passo ($A_0, A_1, A_2, ...$).

2. Qual è la ragione $r$ di questa progressione geometrica decrescente?

3. Calcola quale area nera rimarrà dopo aver applicato il processo 5 volte (Passo 5).

Vogliamo interpolare (inserire) 4 numeri tra il 3 e il 96 per formare una progressione geometrica di 6 termini in tutto. Cioè, vogliamo costruire la sequenza:

1. Individua quale posizione occupano il 3 e il 96 nella progressione ($a_1$ e $a_n$).

2. Utilizza la formula del termine generale per ricavare e calcolare la ragione $r$.

3. Scrivi i quattro numeri che abbiamo interpolato.

4. Se volessimo sommare tutti questi 6 numeri, quale sarebbe il risultato?

Il dipartimento di matematica propone la seguente sfida: «In una progressione geometrica si sa che il quarto termine è $a_4 = 24$ e il settimo termine è $a_7 = 192$. Calcola la somma dei primi 7 termini ($S_7$)».

Due studenti della classe propongono strategie diverse:

• Marta propone di usare la relazione diretta $a_7 = a_4 \cdot r^{7-4}$ per trovare la ragione $r$, tornare indietro da $a_4$ dividendo per $r^3$ per trovare $a_1$, e infine calcolare la somma con la formula chiusa $S_7 = \frac{a_1(r^7 - 1)}{r - 1}$.

• Ugo propone di impostare un sistema di due equazioni in due incognite: $\begin{cases} 24 = a_1 \cdot r^3 \\ 192 = a_1 \cdot r^6 \end{cases}$, risolverlo ricavando $a_1$ dalla prima e sostituendo nella seconda, e poi calcolare a mano uno a uno i 7 termini ($a_1, a_2, \ldots, a_7$) per sommarli direttamente, evitando di usare la formula della somma.

1. a) Risolvi il problema applicando scrupolosamente i due metodi e verifica se entrambi portano allo stesso risultato numerico.
2. b) Confronta i due percorsi: quali sono i punti deboli del procedimento di Ugo rispetto alla strategia di Marta in termini di efficacia e rischio di errore?
3. c) Immagina che i dati fossero $a_{10} = 50$, $a_{30} = 51.200$ e che si richiedesse la somma dei primi 40 termini ($S_{40}$). Giustifica con un ragionamento perché il metodo di Ugo diventa impraticabile e quale dei due approcci dimostra una matura comprensione algebrica.

Un'imprenditrice di Napoli cerca finanziamenti per avviare il suo progetto nei primi 6 mesi. Due incubatori di imprese le offrono due proposte di contributo mensile a fondo perduto:

• Piano A (Programma Acelera): Riceve $600\text{ €}$ il primo mese, e in ogni mese successivo l'importo aumenta di una quantità fissa di $100\text{ €}$ rispetto al precedente ($600\text{ €}, 700\text{ €}, 800\text{ €}, \dots$).

• Piano B (Fondo Impulso): Riceve $300\text{ €}$ il primo mese, e in ogni mese successivo l'importo aumenta del $30\,\%$ rispetto a quello del mese precedente ($r = 1,30$).

1. a) Identifica che tipo di progressione (aritmetica o geometrica) descrive ciascuna delle modalità e scrivi l'espressione matematica del termine generale della mensilità ricevuta nel mese $n$ per entrambi i piani.
2. b) Calcola l'importo che riceverebbe mese per mese in ciascun piano durante i 6 mesi di durata del programma. In quale mese preciso la mensilità del Piano B supera per la prima volta quella del Piano A?
3. c) Utilizza le formule della somma corrispondenti per calcolare la somma totale accumulata dopo i 6 mesi completi con ciascuno dei due piani. Alla luce del risultato, quale dei due piani le fornisce più denaro in totale e perché la crescita geometrica non è sempre l'opzione più vantaggiosa su tempi brevi, anche se a lungo termine è esponenzialmente superiore?

Sfida del tema. Risparmio costante o moltiplicatore? Progetta un piano di risparmio di un anno per finanziare un progetto personale.

1. Fase 1: Dati reali. Entra nel sito dell'ISTAT (o della Banca d'Italia) e consulta l'ultimo dato pubblicato dell'inflazione annua (IPC, es. $2,8\,\%$). Fissa una somma iniziale di risparmio per il primo mese ($a_1 = 20$ €).

2. Fase 2: Modellizzazione. Proponi due opzioni per $12$ mesi:

3. Piano A (Progressione aritmetica): aumenti il tuo versamento mensile di una differenza fissa di $d = 3$ €. Trova il termine generale $a_n$ e il capitale accumulato mediante la somma $S_{12}$.

4. Piano B (Progressione geometrica): aumenti il tuo versamento del $10\,\%$ mensile rispetto al mese precedente ($r = 1,10$). Ricava la formula di $b_n$ e calcola la somma totale $S_{12}$.

5. Fase 3: Simulazione e decisione. Crea in un foglio di calcolo (Excel, Calc o Google Sheets) una tabella comparativa mese per mese e un grafico che rappresenti entrambe le evoluzioni. Scrivi una breve relazione che giustifichi quale opzione ti sembra più praticabile e se il denaro accumulato compensa l'aumento dei prezzi secondo l'IPC annotato.

Verrà valutato:

• Ricavo e calcolo algebrico rigoroso dei termini generali e delle somme ($S_{12}$).

• Corretta realizzazione del foglio di calcolo, formule automatiche e grafico comparativo.

• Argomentazione critica e realistica della decisione finale legata all'IPC reale.