Esercizi: Simmetria

Osserva i grafici delle funzioni rappresentate nei riquadri A e B. Indica che tipo di simmetria (pari, dispari o nessuna) presenta ciascuna di esse, giustificando la risposta in base alla sua forma visiva.

Data la funzione polinomiale $f(x) = 3x^2 - 5$, calcola il valore di $f(-x)$. In base al risultato, indica se la funzione presenta simmetria pari, dispari o nessuna.

Data la funzione $g(x) = -2x^3$, calcola l'espressione di $g(-x)$. Che tipo di simmetria ha questa funzione?

Considera la funzione lineare affine $f(x) = 2x + 1$. Verifica algebricamente se soddisfa la condizione di simmetria pari ($f(-x) = f(x)$) o quella di simmetria dispari ($f(-x) = -f(x)$).

In una classe del primo biennio, Matteo deve determinare se la funzione $f(x) = x^3 - 5x + 3$ è pari, dispari o priva di simmetria. Matteo scrive sul suo quaderno quanto segue:

«Poiché il grado massimo è 3 e gli esponenti della variabile $x$ sono dispari ($3$ e $1$), la funzione è dispari. Per verificarlo, calcolo $f(-x) = (-x)^3 - 5(-x) + 3 = -x^3 + 5x + 3$, che avendo segni diversi rispetto alla formula originale dimostra che è dispari».

1. a) Individua e spiega i due errori concettuali commessi da Matteo (uno nel giudicare la funzione solo dagli esponenti di $x$ dimenticando il termine noto, e l'altro nell'interpretare che cosa significhi cambiare segno a una funzione).
2. b) Aiutati con il valore della funzione nell'origine, $f(0)$, per giustificare immediatamente perché questa funzione non può essere dispari.
3. c) Correggi l'esercizio eseguendo la verifica algebrica adeguata per determinare la reale simmetria di $f(x)$.

Una funzione $g$, il cui dominio è tutto $\mathbb{R}$, possiede simmetria dispari e di essa conosciamo soltanto tre dati: $g(3) = -12$, $g(-1) = 4$ e che il suo grafico interseca l'asse verticale nel punto $(0, k)$.

1. a) Deduci con ragionamento il valore numerico della costante $k$ e calcola i valori di $g(-3)$ e $g(1)$ applicando la definizione algebrica di funzione dispari.
2. b) Scrivi l'espressione analitica di un polinomio di terzo grado con simmetria dispari, della forma $p(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x$, che soddisfi contemporaneamente $p(1) = -4$ e il cui coefficiente principale sia $a = 2$.
3. c) Verifica algebricamente che la formula ottenuta nel punto b soddisfa rigorosamente la condizione $p(-x) = -p(x)$ per qualsiasi valore di $x$.

Verifica algebricamente che tipo di simmetria presenta la funzione razionale $f(x) = \frac{5x}{x^2 + 2}$.

Il cavo di un ponte sospeso assume la forma di una parabola descritta dall'equazione $y = 0,05x^2 + 10$. Verifica algebricamente se questa funzione presenta simmetria pari, dispari o nessuna, e interpreta geometricamente il risultato.

Il seguente grafico mostra la variazione di temperatura $T$ in un esperimento chimico in funzione del tempo $t$, registrata a partire dall'istante $t = 0$. Se il modello matematico $T(t)$ che regola questo esperimento è una funzione pari in tutto il suo dominio reale, qual è la temperatura all'istante $t = -3$? Giustifica la risposta.

Sapendo che $f(x)$ è una funzione dispari ed è definita nel punto $x = 0$, quale deve essere obbligatoriamente il valore di $f(0)$? Dimostralo utilizzando la definizione di funzione dispari.

Per scoprire se la funzione razionale $f(x) = \frac{3x^2 - 6}{x^4 + 2}$ è pari, dispari o priva di simmetria, due studenti propongono strade diverse:

• Candela propone il metodo numerico: «Calcolo $f(2)$ e $f(-2)$. Se i due risultati coincidono esattamente, resta dimostrato $100\,\%$ che la funzione è pari».

• Ugo propone il metodo analitico: «Calcolo l'espressione generale di $f(-x)$ sostituendo formalmente $(-x)$ nella variabile, svolgo i calcoli e la confronto con $f(x)$ e $-f(x)$».

1. a) Valuta l'affidabilità del metodo di Candela: calcola $f(2)$ e $f(-2)$ e spiega perché verificare un'uguaglianza su una sola coppia di numeri opposti non costituisce una dimostrazione matematica valida per tutto il dominio.
2. b) Applica il metodo di Ugo sviluppando con chiarezza ogni passaggio algebrico e concludi con certezza che tipo di simmetria presenta $f(x)$.
3. c) In quale circostanza concreta un metodo numerico come quello di Candela sarebbe invece conclusivo per risolvere il problema della simmetria? Giustifica la risposta.

Una stazione meteorologica in provincia di Bologna registra la temperatura in una giornata invernale anticiclonica e senza vento. Prendendo come istante di riferimento ($t = 0$) le $14{:}00\text{ h}$ (momento di massima radiazione solare), i meteorologi modellizzano la temperatura $T$ (in gradi Celsius) durante le ore diurne centrali mediante la funzione:

$T(t) = -0,5 \cdot t^2 + 8$, per $t \in [-4, 4]$

(dove $t$ indica le ore trascorse rispetto alle $14{:}00\text{ h}$; per esempio, $t = -3$ corrisponde alle $11{:}00\text{ h}$ e $t = 3$ corrisponde alle $17{:}00\text{ h}$).

1. a) Dimostra algebricamente che simmetria presenta la funzione $T(t)$ nell'intervallo dato calcolando $T(-t)$.
2. b) Interpreta quale significato fisico ha tale simmetria nel contesto meteorologico reale: che relazione c'è tra le temperature alle $11{:}00\text{ h}$ e alle $17{:}00\text{ h}$? E alle $12{:}00\text{ h}$ rispetto alle $16{:}00\text{ h}$?
3. c) Se un rapporto complementare propone di modellizzare la rapidità di variazione della temperatura mediante la funzione $v(t) = -1,0 \cdot t$, analizza la sua simmetria e interpreta che cosa rappresenta fisicamente il segno di $v(t)$ prima delle $14{:}00\text{ h}$ ($t < 0$) rispetto a dopo le $14{:}00\text{ h}$ ($t > 0$).

Trova il valore che deve assumere il parametro $k$ affinché la funzione $f(x) = x^2 + kx + 5$ sia una funzione pari. Giustifica la risposta algebricamente.

La potenza generata da un aerogeneratore è modellizzata dalla funzione $P(v) = \frac{v^3}{v^2 + 10}$, dove $v$ rappresenta la velocità del vento. Studia analiticamente la simmetria di $P(v)$. Se consideriamo velocità del vento negative come vento che soffia in direzione contraria, che significato fisico ha la simmetria ottenuta rispetto alla potenza generata?

Uno studente afferma che la funzione $f(x) = \frac{1}{x-2}$ è dispari perché la $x$ del denominatore è elevata a un esponente dispari (1). Questa affermazione è corretta? Dimostralo o confutalo mediante un'analisi algebrica.

Supponi che esista una funzione $f(x)$ che sia contemporaneamente pari e dispari in tutto il suo dominio. Imposta il sistema di equazioni che deriva dalle definizioni di entrambe le simmetrie e risolvilo per trovare quale sia l'unica funzione che soddisfa questa condizione.

Date due funzioni con dominio in tutto $\mathbb{R}$, $f(x) = x^3 - 4x$ (funzione dispari) e $g(x) = x^2 + 3$ (funzione pari), si definiscono due nuove funzioni a partire da esse: il loro prodotto $P(x) = f(x) \cdot g(x)$ e la loro somma $S(x) = f(x) + g(x)$.

1. a) Stima in modo ragionato, prima di eseguire calcoli algebrici, che tipo di simmetria ti aspetti per il prodotto $P(x)$ (pensando alla regola dei segni dei fattori pari e dispari) e quale simmetria ti aspetti per la somma $S(x)$ quando si combinano termini con comportamento diverso rispetto al segno opposto.
2. b) Verifica le tue stime calcolando algebricamente le espressioni sviluppate di $P(-x)$ e $S(-x)$, e classifica in modo rigoroso ciascuna delle due funzioni come pari, dispari o senza simmetria.
3. c) Ragiona sulla seguente questione teorica: se sommiamo una qualsiasi funzione pari non nulla con una qualsiasi funzione dispari non nulla, il risultato potrebbe mai essere una funzione pari? Giustifica la tua risposta utilizzando l'uguaglianza matematica che definisce le funzioni pari.

Un gruppo di progettazione industriale modellizza il profilo curvo di un pezzo mediante una funzione polinomiale di terzo grado: $f(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d$.

Per essere integrato nel meccanismo, il pezzo deve soddisfare tre condizioni tecniche:

1. Il suo grafico deve essere strettamente simmetrico rispetto all'origine degli assi $(0,0)$.

2. La curva deve intersecare l'asse orizzontale nel punto $(3, 0)$.

3. Nel punto di ascissa $x = 1$, la funzione deve assumere il valore $y = -8$.

1. a) Deduci in modo ragionato i valori obbligati dei coefficienti $b$ e $d$ senza impostare sistemi di equazioni, basandoti esclusivamente sulla definizione analitica e geometrica di simmetria dispari.
2. b) Imposta il sistema di equazioni lineari corrispondente alle condizioni 2 e 3, risolvilo e scrivi la formula analitica definitiva della funzione $f(x)$.
3. c) Dimostra che, per qualsiasi funzione dispari $f$ e per qualsiasi punto $x_0 \neq 0$ del suo dominio, la retta secante che unisce il punto $A(x_0, f(x_0))$ con il suo simmetrico $B(-x_0, f(-x_0))$ passa necessariamente per l'origine degli assi $(0,0)$.