Esercizi: Concetti di base

Data la funzione polinomiale $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$, calcola le immagini per i valori $x = -2$, $x = 0$ e $x = 3$.

Un servizio di noleggio di biciclette applica una tariffa fissa di $3$ euro per l'attivazione del servizio, più $1,50$ euro per ogni ora di utilizzo. Scrivi l'espressione algebrica della funzione che mette in relazione il costo totale con il tempo di utilizzo e individua qual è la variabile indipendente e qual è la variabile dipendente.

Calcola il tasso di variazione medio (TVM) della funzione $f(x) = x^2 - 4$ negli intervalli $[-1, 2]$ e $[2, 5]$.

Determina il dominio delle seguenti funzioni:

1. a) $f(x) = \frac{3}{x - 5}$
2. b) $g(x) = \sqrt{x + 2}$

Osserva il seguente grafico di una funzione $f(x)$ e determina i suoi intervalli di crescenza e decrescenza, nonché le coordinate esatte dei suoi massimi e minimi relativi.

Determina algebricamente se le seguenti funzioni sono pari, dispari o prive di simmetria:

1. a) $f(x) = x^4 - 2x^2$
2. b) $g(x) = x^3 - 3x + 1$

A partire dal grafico della funzione $h(x)$, sapendo che l'ordinata del punto aperto in $x = -2$ è $1,25$, indica sotto forma di intervallo il suo dominio e il suo codominio.

Calcola analiticamente i punti di intersezione con l'asse delle ascisse (asse X) e con l'asse delle ordinate (asse Y) della funzione $f(x) = x^2 - 6x + 8$.

Studiando la funzione $f(x) = \dfrac{2x - 6}{x + 1}$, Hugo commette un errore concettuale molto comune nel trovare le intersezioni con gli assi. Sul suo quaderno scrive:\n«Per trovare l'intersezione con l'asse $Y$, risolvo l'equazione $2x - 6 = 0$, da cui ottengo $x = 3$, perciò il grafico interseca l'asse $Y$ nel punto $(3, 0)$. Per trovare l'intersezione con l'asse $X$, sostituisco $x = 0$ e calcolo $f(0) = \dfrac{-6}{1} = -6$, quindi interseca l'asse $X$ nel punto $(0, -6)$».\na) Spiega dettagliatamente quale confusione ha fatto Hugo sul ruolo delle variabili indipendente e dipendente nel cercare le intersezioni con gli assi.\nb) Motiva, a partire dalla definizione di funzione, perché è matematicamente impossibile che il grafico di una funzione intersechi l'asse $Y$ in due o più punti distinti.\nc) Correggi il procedimento di Hugo e determina le coordinate corrette dei punti di intersezione di $f(x)$ con entrambi gli assi cartesiani.

Progetta l'espressione algebrica di una funzione razionale della forma $f(x) = \dfrac{a \cdot x + b}{x + c}$ che soddisfi contemporaneamente le tre condizioni seguenti:\n1) Il suo dominio è $\mathbb{R} \setminus \{2\}$.\n2) Il suo grafico interseca l'asse delle ordinate (asse $Y$) nel punto $(0, -3)$.\n3) Il suo grafico interseca l'asse delle ascisse (asse $X$) nel punto $(3, 0)$.\nSpiega passo dopo passo come deduci il valore numerico di ciascuno dei parametri $a$, $b$ e $c$, e scrivi la formula definitiva della funzione verificando che il numeratore non si annulli nel valore escluso dal dominio.

La distanza $d$ (in metri) percorsa da un oggetto in caduta libera in funzione del tempo $t$ (in secondi) è approssimata dalla funzione $d(t) = 5t^2$. Calcola la velocità media dell'oggetto (che corrisponde al tasso di variazione medio) tra il primo e il terzo secondo ($t \in [1, 3]$), e tra il terzo e il quinto secondo ($t \in [3, 5]$).

Trova il dominio della funzione $f(x) = \frac{\sqrt{x + 4}}{x - 2}$.

Dato il seguente grafico di una funzione definita a tratti, trova i valori di $f(-2)$, $f(1)$ e $f(4)$. Quindi indica in quali punti la funzione è discontinua e di che tipo è ciascuna discontinuità.

Determina analiticamente l'equazione degli asintoti verticali e orizzontali della funzione razionale $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$.

Una compagnia di taxi applica $3$ euro per lo scatto iniziale e $1,20$ euro per ogni chilometro percorso.

1. a) Scrivi la funzione che mette in relazione il prezzo totale della corsa con i chilometri percorsi.
2. b) Qual è il dominio di questa funzione, tenendo conto del contesto del problema?
3. c) Quanto costerà una corsa di $15$ km?
4. d) Se un cliente ha pagato $21$ euro, quanti chilometri ha percorso?

Il grafico allegato rappresenta l'altezza in metri a cui si trova una cabina di una ruota panoramica in funzione del tempo in minuti. Osserva il grafico e rispondi:

1. a) È una funzione periodica? In caso affermativo, indica il suo periodo.
2. b) Qual è l'altezza massima e minima raggiunta dalla cabina?
3. c) A che altezza si trova la cabina esattamente dopo $10$ minuti dall'inizio della rotazione?

Calcola il tasso di variazione medio della funzione $f(x) = \frac{1}{x}$ negli intervalli $[1, 2]$ e $[2, 4]$. Che cosa indica il segno dei risultati sulla monotonia della funzione in tali intervalli?

La temperatura $T$ (in gradi Celsius) all'interno di un forno industriale dall'accensione allo spegnimento è data dalla funzione $T(t) = -t^2 + 8t + 20$, dove $t$ è il tempo trascorso in ore. In quale istante si raggiunge la temperatura massima? Qual è il valore di tale temperatura massima?

La temperatura $T$ (in gradi Celsius) registrata da una stazione meteorologica in una zona di montagna durante un pomeriggio invernale è data dalla funzione $T(t) = -0,5 \cdot t^2 + 2t + 4$, dove $t$ è il tempo trascorso in ore dalle 12:00 di mezzogiorno ($t = 0$), per $t \in [0, 6]$.\na) Senza eseguire calcoli numerici esatti, stima qualitativamente se il tasso di variazione medio nell'intervallo $[1, 5]$ (cioè $\text{TVM}[1, 5]$) sarà positivo o negativo. Giustifica la tua stima basandoti sulla forma della parabola e sul segno del suo coefficiente principale.\nb) Calcola algebricamente il valore esatto di $\text{TVM}[1, 5]$ applicando la sua formula e indica le unità fisiche corrispondenti al risultato.\nc) Verifica se il valore ottenuto coincide con la tua stima precedente e spiega quale significato fisico ha questo risultato in relazione al raffreddamento o al riscaldamento medio dell'ambiente durante quelle ore.

Il servizio comunale di noleggio di biciclette elettriche di una città italiana fattura il costo $C(t)$ (in euro) in funzione del tempo di utilizzo $t$ (in minuti, con $0 \le t \le 90$) mediante una funzione a tratti. I primi 20 minuti combinano una quota di sblocco con una tariffa ridotta e, a partire dal minuto 20, il costo al minuto aumenta per evitare che le bici vengano monopolizzate:\n$C(t) = \begin{cases} 0,60 + 0,05 \cdot t & \text{si } 0 \le t \le 20 \\ k + 0,15 \cdot (t - 20) & \text{si } 20 < t \le 90 \end{cases}$\na) Calcola il valore che deve assumere il parametro $k$ affinché la funzione sia continua in $t = 20$. Motiva quale conseguenza economica o ingiustizia per l'utente si verificherebbe se vi fosse una discontinuità di salto in quell'istante.\nb) Sapendo che la tariffa è continua, se un utente riceve un addebito esatto di $4,60$ € nella sua app, imposta e risolvi l'equazione corrispondente per scoprire quanti minuti è durato il suo tragitto.\nc) Calcola il tasso di variazione medio del costo nell'intervallo $[5, 15]$ e nell'intervallo $[30, 50]$. Spiega che cosa rappresentano questi due valori numerici rispetto al prezzo al minuto di ciascun tratto tariffario.

Trova i valori dei parametri $a$ e $b$ affinché la seguente funzione definita a tratti sia continua in tutto il suo dominio:

$f(x) = \begin{cases} 2x + a & \text{si } x < 1 \\ x^2 - 3x + 5 & \text{si } 1 \le x < 4 \\ bx - 1 & \text{si } x \ge 4 \end{cases}$

Un agricoltore dispone di $100$ metri di recinzione per recintare un orto rettangolare sfruttando il muro rettilineo di un capannone già costruito, in modo da dover recintare solo tre dei quattro lati del rettangolo.

1. a) Trova l'espressione della funzione che dà l'area dell'orto in funzione della lunghezza $x$ di uno dei lati perpendicolari al muro.
2. b) Determina il dominio di definizione valido per $x$ nel contesto di questo problema.
3. c) Quali dimensioni deve avere l'orto affinché la sua area sia massima?

Determina analiticamente il dominio di definizione della funzione $f(x) = \sqrt{\frac{x - 3}{x + 2}}$. Esprimi il risultato come unione di intervalli.

Data la funzione quadratica $f(x) = x^2 + kx$, determina il valore del parametro $k$ sapendo che il tasso di variazione medio della funzione nell'intervallo $[1, 3]$ è uguale a $8$.

Analizza il seguente grafico della funzione $f(x)$ e determina:

1. a) Il suo dominio e codominio.
2. b) Le equazioni dei suoi asintoti.
3. c) Gli intervalli di crescenza e decrescenza.
4. d) Le coordinate dei suoi estremi relativi (massimi e minimi).

Data la funzione razionale $f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 4}$:

1. a) Dimostra analiticamente se è una funzione pari, dispari o se non presenta simmetria.
2. b) Calcola i punti di intersezione con gli assi coordinati.
3. c) Trova le equazioni di tutti i suoi asintoti (verticali e orizzontali).

Un parcheggio pubblico ha la seguente tariffa: fa pagare $2$ euro per la prima ora (o frazione di ora) e $1,50$ euro per ogni ora aggiuntiva (o frazione). Il costo massimo giornaliero è di $12$ euro. Scrivi l'espressione analitica della funzione definita a tratti che mette in relazione il prezzo da pagare con il tempo di sosta $t$ (in ore) per le prime $5$ ore, indicando chiaramente gli intervalli di definizione di ciascun tratto.

Data la funzione razionale $f(x) = \frac{ax^2 + 3}{2x^2 - x}$, determina il valore del parametro $a$ affinché la funzione abbia un asintoto orizzontale nella retta $y = 4$. Con questo valore di $a$ già calcolato, trova anche le equazioni degli asintoti verticali della funzione.

Per determinare se la funzione razionale $f(x) = \dfrac{4x}{x^2 - 9}$ presenta qualche tipo di simmetria (pari, dispari o nessuna), due studenti di terza media sostengono metodi diversi:\n- Strategia di Alberto: Valuta la funzione in un valore concreto del suo dominio, ad esempio $x = 1$, ottenendo $f(1) = -0,5$ e $f(-1) = 0,5$. Osservando che $f(-1) = -f(1)$, afferma che ciò dimostra con certezza che la funzione è dispari in tutto il suo dominio.\n- Strategia di Marta: Sostiene che verificare un caso particolare non dimostra una proprietà generale. Propone di sostituire la variabile $x$ con $-x$ in modo generico, semplificare l'espressione algebrica di $f(-x)$ e confrontarla formalmente con $-f(x)$ e con $f(x)$.\na) Analizza la strategia di Alberto: motiva perché un esempio numerico non costituisce una dimostrazione matematica valida e fornisci la formula di una funzione $g(x)$ che soddisfi $g(-1) = -g(1)$ ma che non sia dispari nel resto del suo dominio.\nb) Applica la strategia di Marta sviluppando algebricamente $f(-x)$ e concludi con rigore quale tipo di simmetria ha $f(x)$.\nc) Giustifica in quale situazione di un compito in classe può essere utile il metodo di Alberto (a titolo di esclusione o congettura) e perché il metodo di Marta è l'unico matematicamente conclusivo.

Un gruppo di ingegneria elettronica progetta la risposta di un filtro di segnale il cui guadagno di tensione $f(x)$ (in volt) dipende dalla frequenza di ingresso $x$ (in kHz). La risposta segue il modello di funzione razionale:\n$f(x) = \dfrac{a \cdot x^2 + b}{c \cdot x^2 - 18}$\nAffinché il circuito funzioni in modo ottimale, deve rispettare rigorosamente quattro specifiche tecniche:\n1) Il grafico è simmetrico rispetto all'asse $Y$ (funzione pari).\n2) Il circuito entra in risonanza critica (presenta asintoti verticali) esattamente alle frequenze $x = 3$ kHz e $x = -3$ kHz.\n3) A frequenze estremamente alte ($x \to \infty$), il guadagno si stabilizza in un asintoto orizzontale di valore $y = 2$ V.\n4) Quando non c'è segnale in ingresso ($x = 0$ kHz), il guadagno iniziale è di $-1$ V.\na) Deduci in modo motivato il valore dei coefficienti $a$, $b$ e $c$. Giustifica ogni deduzione a partire dalle condizioni date.\nb) Dimostra formalmente che la funzione ottenuta con tali coefficienti soddisfa la condizione algebrica di funzione pari per ogni $x \in \mathbb{R} \setminus \{-3, 3\}$.\nc) Determina se il segnale in uscita può annullarsi in qualche momento (cioè se il grafico interseca l'asse $X$). Giustifica la tua risposta risolvendo l'equazione $f(x) = 0$ e spiega perché avere un asintoto orizzontale in $y = 2$ non impedisce, in linea di principio, che una funzione possa intersecare o meno l'asse orizzontale.