Esercizi: Statistica descrittiva univariata

In uno studio sull'uso dei social network in una scuola superiore sono state individuate le seguenti variabili. Classifica ciascuna come qualitativa, quantitativa discreta o quantitativa continua:

1. a) Social network preferito (TikTok, Instagram, Twitter, ecc.).
2. b) Numero di follower sull'account principale.
3. c) Tempo giornaliero (in minuti) di utilizzo dello smartphone.
4. d) Marca del dispositivo mobile (Apple, Samsung, Xiaomi, ecc.).
5. e) Voto numerico ottenuto nell'ultima verifica di Matematica.

Un comune vuole conoscere l'opinione degli adolescenti sulle nuove piste da skate della città. A tale scopo seleziona a caso $200$ giovani tra i $14$ e i $18$ anni che frequentano i centri giovanili dei diversi quartieri.

Indica qual è la popolazione oggetto di studio e qual è il campione scelto. Pensi che il campione sia rappresentativo se si chiede solo nei centri giovanili?

È stato chiesto a un gruppo di $20$ studenti di quarta liceo quanti libri hanno letto per piacere nell'ultimo anno. I dati ottenuti sono i seguenti:

$2, 1, 0, 3, 2, 1, 1, 4, 2, 0, 1, 2, 3, 1, 2, 0, 1, 2, 1, 5$

Organizza questi dati in una tabella di frequenze che comprenda la frequenza assoluta ($n_i$), la frequenza relativa ($f_i$) e la frequenza assoluta cumulata ($N_i$).

Osserva il seguente grafico che rappresenta lo sport preferito da un gruppo di studenti della tua classe:

A partire dal diagramma a barre:

1. a) Qual è la moda di questa distribuzione?
2. b) Quanti studenti preferiscono in totale la pallacanestro o il nuoto?
3. c) Se in totale sono stati intervistati $30$ studenti, quanti hanno scelto il nuoto (sapendo che la barra arriva a metà tra 4 e 8)?

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

I voti ottenuti da $7$ amici in un lavoro di Economia sono:

$6,5; \quad 8,0; \quad 4,5; \quad 7,0; \quad 9,5; \quad 6,5; \quad 5,0$

Calcola la media aritmetica ($\bar{x}$) e la mediana ($Me$) dei voti.

In una competizione di videogiochi sono stati registrati i tempi (in secondi) impiegati dai partecipanti per completare il primo livello. Essendo una variabile continua, i dati sono stati raggruppati in classi:

Tempo (s)	Frequenza ($n_i$)
$[30, 40)$	$12$
$[40, 50)$	$25$
$[50, 60)$	$18$
$[60, 70)$	$5$

Calcola i valori centrali ($x_i$) di ciascuna classe e determina la dimensione totale del campione ($N$).

È stata svolta un'indagine sul numero di fratelli degli studenti di una classe. La tabella delle frequenze assolute cumulate ($N_i$) è la seguente:

N. fratelli ($x_i$)	$N_i$
$0$	$6$
$1$	$18$
$2$	$26$
$3$	$30$

Rispondi alle seguenti domande motivando la risposta:

1. a) Quanti studenti sono figli unici?
2. b) Quanti studenti hanno esattamente $2$ fratelli?
3. c) Qual è il numero totale di studenti della classe?

Un gruppo musicale vuole sapere in quale formato i suoi fan preferiscono ascoltare le canzoni. Ha elaborato un diagramma a torta con i risultati di $400$ questionari:

Se il $10 \%$ dei fan preferisce il formato fisico, il $30 \%$ il download digitale e il $60 \%$ lo streaming:

1. a) Calcola la frequenza assoluta dei fan che preferiscono ciascun formato (sapendo che $N=400$).

1. b) Qual è la frequenza relativa ($f_i$) del formato streaming?

La figura mostra l'istogramma dei voti di una verifica di matematica valutata su $50$.

1. a) Quanti studenti hanno preso meno di $20$ punti?

1. b) Qual è la classe con più studenti?

1. c) Quanti studenti hanno svolto la verifica in totale?

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

La figura mostra le ore di sonno dichiarate dagli studenti di una classe.

1. a) Costruisci la tabella delle frequenze assolute a partire dal grafico.

1. b) Quale percentuale di studenti dorme $8$ ore o più?

1. c) Qual è la moda della distribuzione?

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un gruppo di ricercatori ha condotto un'indagine su 40 studenti di liceo riguardo al numero di ore settimanali che dedicano a guardare contenuti sulle piattaforme di streaming. I dati raccolti sono i seguenti:

$12, 15, 10, 8, 12, 14, 20, 18, 15, 12, 10, 9, 14, 15, 12, 18, 22, 15, 12, 10,$

$14, 16, 12, 15, 18, 12, 10, 14, 15, 12, 16, 14, 12, 15, 10, 18, 12, 14, 15, 12$

1. a) Classifica la variabile statistica studiata.

1. b) Costruisci una tabella di frequenze che comprenda frequenze assolute, relative, cumulate e relative cumulate.

1. c) Rappresenta i dati mediante un diagramma a barre (ore settimanali sull'asse orizzontale e frequenza assoluta sull'asse verticale).

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un'azienda di telefonia ha misurato la durata (in minuti) di 50 chiamate effettuate durante la mattina. Trattandosi di una variabile continua, i dati sono stati raggruppati nei seguenti intervalli:

Durata (min)	$[0, 5)$	$[5, 10)$	$[10, 15)$	$[15, 20)$	$[20, 25)$
N. di chiamate	$12$	$18$	$10$	$7$	$3$

1. a) Calcola il valore centrale di ciascun intervallo.
2. b) Calcola la media aritmetica e la deviazione standard della durata delle chiamate.
3. c) Quale percentuale di chiamate dura 10 minuti o più?

Si è svolto un esame di ammissione a un corso di formazione e i voti ottenuti dai candidati sono riassunti nella seguente tabella delle frequenze cumulate:

Voto ($x_i$)	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
Freq. cumulata ($N_i$)	$4$	$10$	$25$	$42$	$56$	$64$	$70$

1. a) Quanti studenti hanno svolto la verifica?
2. b) Calcola la mediana, il primo quartile e il terzo quartile. Spiega il significato del terzo quartile in questo contesto.
3. c) Calcola il percentile 40 ($P_{40}$) e interpretalo.

Due giocatori di pallacanestro, Alba e Bruno, hanno segnato i seguenti punti nelle loro ultime 8 partite:

• Alba: $18, 22, 15, 20, 25, 14, 19, 23$

• Bruno: $20, 21, 19, 22, 20, 20, 21, 17$

Il seguente diagramma a punti mostra i dati di entrambi i giocatori (ogni punto è una partita):

1. a) Calcola la media e il campo di variazione dei punti di ciascun giocatore.
2. b) Calcola la deviazione standard di entrambi.
3. c) Usa il coefficiente di variazione per determinare quale dei due giocatori è più regolare nei punti segnati. Giustifica la risposta.

A partire dal seguente diagramma a scatola (box-plot) che rappresenta il tempo di reazione (in millisecondi) di un gruppo di persone a uno stimolo visivo:

1. a) Individua i valori corrispondenti al minimo, al massimo, a $Q_1$, a $Q_2$ (mediana) e a $Q_3$, sapendo che la scala è lineare e che gli estremi della scatola sono in $210$ e $290$.
2. b) Calcola lo scarto interquartile e interpretalo.
3. c) Si può affermare che il $50\%$ della popolazione ha un tempo di reazione superiore alla mediana? Giustifica la risposta.

In una piccola azienda, lo stipendio medio dei 10 dipendenti è di $1450$ € al mese con una deviazione standard di $120$ €. Grazie ai buoni risultati dell'anno, la direzione decide di applicare a tutti i lavoratori un aumento lineare consistente in una parte fissa di $50$ € e una parte variabile del $3\%$ sullo stipendio base attuale ($y_i = 1,03 \cdot x_i + 50$).

1. a) Calcola quale sarà il nuovo stipendio medio del personale.
2. b) Calcola la nuova deviazione standard.
3. c) Il coefficiente di variazione è cambiato? Giustifica matematicamente come queste trasformazioni influiscono sulla dispersione relativa.

È stato condotto uno studio sul numero di figli in un campione di famiglie di un quartiere. Alcuni dati della tabella delle frequenze sono andati persi:

N. di figli ($x_i$)	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
Freq. assoluta ($n_i$)	$8$	$a$	$12$	$b$	$2$
Freq. relativa ($f_i$)	$0,20$	$0,35$	$c$	$d$	$0,05$

1. a) Trova la dimensione del campione ($N$).
2. b) Calcola i valori di $a, b, c$ e $d$ per completare la tabella.
3. c) Determina la moda e la mediana del numero di figli.

Si vuole confrontare l'omogeneità dei prezzi dei menù giornalieri in due zone diverse di una città. I dati ottenuti (in euro) sono:

• Zona A: $12, 13, 12, 15, 14, 12, 16, 11$

• Zona B: $9, 10, 18, 15, 11, 14, 10, 21$

1. a) Calcola la media e la deviazione standard dei prezzi in ciascuna zona.
2. b) In quale zona i prezzi sono più dispersi in termini assoluti (deviazione standard)?
3. c) In quale zona i prezzi sono più eterogenei in termini relativi? Usa il coefficiente di variazione per confrontare le due distribuzioni.

Le età dei soci di un club di escursionismo sono raggruppate nella tabella: $[10, 20)$: $5$; $[20, 30)$: $12$; $[30, 40)$: $18$; $[40, 50)$: $10$; $[50, 60]$: $5$.

1. a) Costruisci la tabella completa con i valori centrali delle classi e le frequenze cumulate.

1. b) Disegna l'istogramma e il poligono delle frequenze.

1. c) Calcola l'età media usando i valori centrali delle classi e indica la classe modale e la classe in cui cade la mediana.

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

La figura mostra il diagramma a scatola e baffi dei tempi di reazione di un gruppo di piloti al simulatore.

1. a) Leggi dal grafico il minimo, il massimo, i quartili e la mediana, e calcola il campo di variazione e lo scarto interquartile.

1. b) Tra quali due valori si concentra il $50 \%$ centrale dei dati? Quale percentuale di dati si trova al di sotto di $Q_1$?

1. c) Osservando la posizione della mediana all'interno della scatola e la lunghezza dei baffi, la distribuzione sembra simmetrica o asimmetrica? In quale direzione?

Il consumo elettrico mensile (in kWh) di $40$ abitazioni è raggruppato così: $[100, 150)$: $4$; $[150, 200)$: $9$; $[200, 250)$: $14$; $[250, 300)$: $8$; $[300, 350]$: $5$.

1. a) Calcola il consumo medio mensile usando i valori centrali delle classi.

1. b) Indica la classe modale e la classe mediana, e stima la mediana supponendo che i dati si distribuiscano uniformemente all'interno della loro classe.

1. c) L'azienda elettrica afferma che «metà delle abitazioni consuma meno di $225$ kWh». È compatibile con i dati? Giustificalo con la tua stima della mediana.

In una prestigiosa accademia di e-sport, il team di analisti studia il tempo di reazione (in millisecondi) di 50 giocatori professionisti. Rivedendo il rapporto finale, si accorgono che una macchia di caffè ha cancellato parte dei dati della tabella delle frequenze. Si conservano solo questi dati: la media aritmetica della distribuzione è $\bar{x} = 182$ ms, la deviazione standard è $\sigma = 12$ ms e si sa che il tempo di reazione segue una distribuzione approssimativamente simmetrica. Se si decide di aggiungere un nuovo giocatore il cui tempo di reazione è $160$ ms, spiega matematicamente come varierà il coefficiente di variazione del campione originale e determina il valore esatto della nuova varianza dopo l'inserimento di questo dato.

Un servizio di noleggio di biciclette urbane rivede i propri costi. Il costo di manutenzione mensile $C$ per bicicletta dipende dal numero di chilometri percorsi $x$ secondo la funzione lineare $C(x) = 0,15x + 40$. Nell'ultimo mese, il chilometraggio medio della sua flotta di 25 biciclette è stato di $1200$ km con una varianza di $14400$ km$^2$.

1. a) Calcola il costo medio mensile di manutenzione e la sua deviazione standard.
2. b) A causa di un aumento del prezzo dei ricambi, l'azienda decide di applicare una maggiorazione fissa di $10$ € a ogni bicicletta e, inoltre, il costo variabile per chilometro aumenta del $20\%$. Quale sarà il nuovo coefficiente di variazione dei costi di manutenzione?

È stata condotta un'indagine sulla spesa settimanale per il tempo libero degli studenti di un liceo. I dati sono presentati raggruppati in intervalli della stessa ampiezza nella tabella seguente, ma mancano le frequenze assolute di due intervalli centrali ($n_2$ e $n_3$):

Spesa (€)	$x_i$ (Valore centrale della classe)	$n_i$
$[0, 20)$	$10$	$8$
$[20, 40)$	$30$	$n_2$
$[40, 60)$	$50$	$n_3$
$[60, 80)$	$70$	$12$

Sapendo che la dimensione del campione è $N = 60$ e che la media aritmetica della spesa è $\bar{x} = 44$ €, calcola i valori di $n_2$ e $n_3$. Una volta completata la tabella, determina il valore esatto della mediana mediante interpolazione lineare.

Un nutrizionista analizza il contenuto di zucchero (in grammi per 100 ml) di due marche di bibite "zero", A e B. I risultati sono riassunti nei seguenti diagrammi a scatola (box-plot). Leggi i valori sulla scala dell'asse orizzontale.

Osservando i grafici:

1. a) Quale delle due marche presenta una distribuzione più dispersa nel $50\%$ centrale dei suoi dati? Giustifica la risposta calcolando lo scarto interquartile di ciascuna marca a partire dalla scala del grafico.

1. b) Se la marca A ha una media di $0,5$ g e la marca B una media di $0,8$ g, ed entrambe hanno deviazioni standard identiche, quale delle due è più "affidabile" o costante nella produzione? Utilizza il parametro statistico adatto per confrontare le due marche.

In una gara di tiro con l'arco vengono registrati i punteggi di due arciere, Elena e Sofia, dopo 40 lanci. Elena ha un punteggio medio di $8,2$ con una deviazione standard di $1,3$. Sofia presenta le seguenti frequenze cumulate dei suoi punteggi: il $25\%$ dei suoi tiri è stato di $7$ punti o meno, il $50\%$ di $8$ punti o meno, e il $75\%$ di $9$ punti o meno.

1. a) Supponendo che i punteggi di Sofia seguano una distribuzione approssimativamente normale (in cui $\sigma \approx \frac{IQR}{1,35}$), determina, motivando, quale delle due arciere è più regolare.
2. b) Se per vincere un torneo è richiesto che almeno il $30\%$ dei lanci abbia punteggio $10$, e sappiamo che Elena ha ottenuto un $10$ in $12$ occasioni, Elena soddisfa il requisito? Con i dati dei suoi quartili si può sapere se Sofia lo soddisfa?

Un comune analizza il consumo di acqua per famiglia mediante un istogramma delle frequenze relative. A causa della natura dei dati, gli intervalli hanno ampiezze diverse: $[0, 10)$, $[10, 20)$ e $[20, 40)$ metri cubi mensili. Le altezze dei rettangoli dell'istogramma (densità di frequenza) sono rispettivamente $0,03$; $0,04$ e $0,015$.

1. a) Calcola la frequenza relativa di ciascun intervallo.
2. b) Qual è il consumo medio per famiglia in questo comune?
3. c) Determina il valore del percentile $80$ e interpreta il suo significato nel contesto del risparmio idrico.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un investitore analizza la redditività giornaliera di due criptovalute nell'arco di un mese ($30$ giorni). L'attività $X$ ha una redditività media del $2\%$ e una varianza del $9\%$. L'attività $Y$ ha una redditività giornaliera che si può riassumere così: per $10$ giorni ha perso il $1\%$, per $15$ giorni ha guadagnato il $3\%$ e per $5$ giorni ha guadagnato il $5\%$.

1. a) Calcola la redditività media e la deviazione standard dell'attività $Y$.
2. b) Utilizzando il coefficiente di variazione, determina quale delle due attività è più volatile (meno prevedibile).
3. c) Se l'investitore decide di creare un portafoglio combinato con il $60\%$ del capitale nell'attività $X$ e il $40\%$ nell'attività $Y$, quale sarebbe la redditività media attesa del portafoglio?

Si dispone di una serie di 10 dati numerici la cui media è $\bar{x} = 15$ e la cui varianza è $s^2 = 20$. Per un errore di trascrizione, uno dei dati che era $12$ è stato annotato come $22$.

1. a) Calcola la media reale dell'insieme di dati dopo aver corretto l'errore.
2. b) Calcola il valore esatto della varianza reale dell'insieme. (Suggerimento: usa la relazione tra la varianza e la somma dei quadrati dei dati, $\sum x_i^2$).

Una catena di negozi vuole vantarsi delle vendite ed elabora due grafici con gli stessi dati trimestrali: nel pannello A l'asse verticale parte da $0$ e nel pannello B è troncato.

1. a) Calcola la variazione percentuale reale delle vendite tra il primo e il terzo trimestre.

1. b) Quale effetto visivo produce l'asse troncato del pannello B? In che cosa differisce dall'impressione data dal pannello A?

1. c) Quale dei due grafici useresti in una relazione onesta per gli azionisti? E quale versione potrebbe usare un concorrente per allarmare il mercato? Giustifica entrambe le risposte.

I tempi di attesa (in minuti) di $15$ pazienti in un centro sanitario sono stati: $5, 7, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 42$.

1. a) Calcola la mediana e il primo e il terzo quartile.

1. b) Disegna il corrispondente diagramma a scatola e baffi, indicando i valori utilizzati.

1. c) Applica la regola di $1,5$ volte lo scarto interquartile per decidere se ci sono dati anomali, e interpreta che cosa può rappresentare quel dato nella realtà del centro sanitario.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Due negozi dello stesso quartiere registrano le loro vendite giornaliere (in euro) per $40$ giorni, raggruppate in intervalli:

• Negozio A: $[500, 700)$: $6$ giorni; $[700, 900)$: $14$ giorni; $[900, 1.100)$: $12$ giorni; $[1.100, 1.300)$: $8$ giorni.

• Negozio B: $[500, 700)$: $14$ giorni; $[700, 900)$: $4$ giorni; $[900, 1.100)$: $4$ giorni; $[1.100, 1.300)$: $18$ giorni.

1. a) Calcola, usando i valori centrali delle classi, la media giornaliera delle vendite di ciascun negozio.

1. b) Calcola la deviazione standard di ciascuna distribuzione (con i valori centrali delle classi) e il suo coefficiente di variazione.

1. c) Un investitore vuole acquistare uno dei due negozi e si preoccupa della stabilità degli incassi. Quale gli consiglieresti? Giustificalo con i parametri calcolati.