Esercizi: Tabelle di contingenza

In un liceo è stato condotto un sondaggio tra i $100$ alunni del primo anno sulla loro attività extrascolastica preferita. I dati sono stati iniziati a organizzare nella seguente tabella di contingenza, ma mancano alcuni valori da completare.

	Sport	Musica	Totale
Ragazze	$35$		$55$
Ragazzi		$20$
Totale			$100$

Copia la tabella sul quaderno e completala trovando le frequenze assolute mancanti.

Un negozio di videogiochi ha registrato le vendite dell'ultima mattina in base al tipo di console e al formato del gioco. Sono stati venduti $12$ giochi per Nintendo Switch in formato fisico e $8$ in digitale. Per la PlayStation 5 ne sono stati venduti $15$ in formato fisico e $10$ in digitale.

Organizza queste informazioni in una tabella a doppia entrata (di contingenza) includendo le frequenze marginali (i totali di ogni riga e colonna).

È stato chiesto a un gruppo di $50$ persone se praticano sport abitualmente e se sono fumatori. I risultati sono mostrati nella seguente tabella:

	Sportivo	Non sportivo	Totale
Fumatore	$5$	$15$	$20$
Non fumatore	$25$	$5$	$30$
Totale	$30$	$20$	$50$

Calcola la tabella delle frequenze relative congiunte. (Esprimi ogni valore come risultato della divisione della frequenza assoluta per il totale del campione $N=50$).

A partire dalla seguente tabella su sportivi e fumatori, rispondi alle seguenti domande:

	Fumatori	Non fumatori
Sportivi	10	30
Non sportivi	25	35

1. a) Qual è la frequenza marginale degli "Sportivi"? Quale percentuale rappresentano sul totale?
2. b) Qual è la frequenza marginale dei "Non fumatori"? Quale percentuale rappresentano sul totale?

In un'azienda di corrieri si analizza il mezzo di trasporto usato dai lavoratori in base al luogo di residenza:

	Vive in città	Vive fuori	Totale
Trasporto pubblico	$40$	$10$	$50$
Veicolo proprio	$20$	$30$	$50$
Totale	$60$	$40$	$100$

Se scegliamo a caso un lavoratore che vive in città, qual è la frequenza relativa che usi il trasporto pubblico? (Calcola la frequenza condizionata).

È stato condotto uno studio sull'uso degli occhiali in una classe di $30$ alunni. Sappiamo che ci sono $16$ ragazze, delle quali $4$ portano gli occhiali. Sappiamo anche che in totale ci sono $10$ alunni (ragazzi e ragazze) che portano gli occhiali.

Completa la tabella di contingenza e determina quanti ragazzi non portano gli occhiali.

Un cinema analizza la preferenza dei popcorn (salati o dolci) in base al tipo di film (animazione o horror).

	Animazione	Horror	Totale
Salati	$24$	$36$	$60$
Dolci	$56$	$16$	$72$
Totale	$80$	$52$	$132$

Osserva la tabella e rispondi:

1. a) Qual è la preferenza prevalente (moda) tra gli spettatori dei film di animazione?
2. b) Quale percentuale degli spettatori che preferiscono i popcorn dolci è andata a vedere un film horror?

Data la seguente tabella di frequenze relative sull'abitudine alla lettura e sull'uso delle biblioteche:

	Legge molto	Legge poco	Totale
Usa la biblioteca	$0,25$	$0,05$	$0,30$
Non usa la biblioteca	$0,15$	$0,55$	$0,70$
Totale	$0,40$	$0,60$	$1,00$

Se il campione totale è di $200$ persone, calcola quante persone appartengono alla categoria di quelli che "Leggono molto" e "Non usano la biblioteca". Scrivi l'operazione completa e il risultato numerico.

In uno studio sul consumo di contenuti digitali tra 200 adolescenti è stata analizzata la piattaforma preferita per guardare serie e film in base al dispositivo principale di accesso. I dati raccolti sono i seguenti: 65 usano principalmente lo smartphone (di cui 40 preferiscono TikTok e gli altri Netflix), 85 usano il computer (50 preferiscono Netflix e gli altri YouTube) e 50 usano la Smart TV (35 preferiscono Netflix e gli altri YouTube).

a) Organizza le informazioni in una tabella di contingenza di frequenze assolute che metta in relazione le variabili "Dispositivo" (righe: smartphone, computer, Smart TV) e "Piattaforma" (colonne: TikTok, Netflix, YouTube).

b) Calcola le frequenze marginali di ciascuna variabile.

c) Quale percentuale del totale degli adolescenti preferisce Netflix?

È stato condotto un sondaggio tra gli studenti di un istituto sulla loro attività extrascolastica preferita (Sport o Musica), distinguendo per anno di corso ($1^\circ$ o $2^\circ$ di liceo). I risultati sono mostrati nella seguente tabella incompleta:

Anno	Sport	Musica	Totale
$1^\circ$ liceo	$42$		$70$
$2^\circ$ liceo		$24$
Totale	$78$		$130$

a) Completa i valori mancanti nella tabella di contingenza.

b) Se scegliamo a caso un alunno di $2^\circ$ di liceo, qual è la probabilità che la sua attività preferita sia lo Sport?

c) Tra gli alunni che preferiscono la Musica, quale percentuale appartiene a $1^\circ$ di liceo?

Per indagare la relazione tra l'uso dell'Intelligenza Artificiale (IA) per fare i compiti e il rendimento scolastico, sono stati intervistati $150$ alunni. I dati mostrano che $60$ alunni usano frequentemente l'IA, dei quali $15$ hanno voti eccellenti. D'altra parte, tra gli alunni che non usano l'IA, $45$ hanno voti eccellenti.

a) Costruisci la tabella delle frequenze relative rispetto al totale.

b) Calcola la distribuzione della variabile "Uso dell'IA" condizionata ad avere "Voti eccellenti".

c) Possiamo affermare che le variabili sono indipendenti? Giustifica la risposta confrontando una frequenza relativa congiunta con il prodotto delle corrispondenti marginali.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un'azienda di videogiochi vuole sapere se il tipo di console posseduta dagli utenti è legato al loro abbonamento a servizi premium. Vengono analizzati $300$ utenti:

Abbonamento	Console A	Console B	Console C
Premium	$45$	$60$	$15$
Base	$75$	$90$	$15$

a) Ottieni la tabella delle frequenze relative condizionate per colonne (tipo di console).

b) Alla luce dei risultati del punto precedente, su quale console è più frequente trovare un utente con abbonamento Premium?

c) Rappresenta con un diagramma a barre sovrapposte la distribuzione dell'abbonamento in base al tipo di console.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

In un club sportivo, il $60\%$ dei soci sono uomini e il $40\%$ sono donne. Si sa che il $30\%$ degli uomini pratica nuoto, mentre il $55\%$ delle donne pratica nuoto. Gli altri soci praticano tennis.

a) Se il club ha in totale $500$ soci, costruisci la tabella di contingenza di frequenze assolute.

b) Calcola la frequenza relativa marginale dei soci che praticano tennis.

c) Qual è il profilo prevalente nel club (combinazione di genere e sport)?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Si analizza l'abitudine alla lettura di un gruppo di persone in base al loro livello di studi. I dati sono presentati in questa tabella di frequenze relative rispetto al totale del campione:

Studi	Legge ogni giorno	Legge occasionalmente	Non legge
Scuola secondaria	$0,12$	$0,18$	$0,10$
Universitari	$0,35$	$0,20$	$0,05$

a) Calcola le frequenze relative marginali della variabile "Studi".

b) Se sappiamo che una persona non legge mai, che cosa è più probabile: che abbia studi secondari o universitari? Ragiona confrontando le corrispondenti frequenze condizionate.

c) Se il campione totale fosse di $400$ persone, quante di esse sarebbero universitarie che leggono occasionalmente?

È stato condotto uno studio sulla preferenza del tipo di alimentazione (Onnivora o Vegetariana) in funzione della zona di residenza (Urbana o Rurale). Sono stati ottenuti i seguenti dati:

Residenza	Onnivora	Vegetariana	Totale
Urbana	$120$	$80$	$200$
Rurale	$90$	$10$	$100$
Totale	$210$	$90$	$300$

a) Calcola la tabella delle frequenze relative per righe.

b) Esiste dipendenza tra la zona di residenza e il tipo di alimentazione? Confronta le distribuzioni condizionate dell'alimentazione per i residenti urbani e rurali.

c) Quale valore dovrebbe avere la frequenza "Rurale-Vegetariana" affinché le variabili fossero indipendenti, mantenendo i totali marginali di residenza?

Un istituto vuole analizzare se l'uso del trasporto pubblico per andare a scuola dipende dalla distanza dalla scuola. Si classificano $120$ alunni in "Vicino" ($< 2$ km) e "Lontano" ($\geq 2$ km).

a) Completa la tabella sapendo che il $25\%$ degli alunni abita vicino e che, tra gli alunni che abitano lontano, il $80\%$ usa il trasporto pubblico. Inoltre, nessun alunno che abita vicino usa il trasporto pubblico.

b) Ottieni la tabella delle frequenze relative rispetto al totale.

c) Calcola la frequenza relativa di "abitare lontano" condizionata a "non usare il trasporto pubblico".

Uno studio sull'impatto dei social network sul benessere emotivo degli adolescenti di quarta liceo ha classificato un campione di 200 studenti in base al tempo giornaliero di utilizzo degli schermi e al loro livello di soddisfazione di vita autodichiarato. I dati incompleti ottenuti sono i seguenti:

• Il 40 % del campione totale dichiara una soddisfazione di vita "Bassa".

• Ci sono 50 studenti che usano i social "Meno di 1 ora", dei quali solo il 10 % ha soddisfazione "Bassa".

• Il numero di studenti con soddisfazione "Alta" che usano i social "Tra 1 e 3 ore" è il doppio di quelli con soddisfazione "Alta" che li usano "Più di 3 ore".

• In totale, 70 studenti usano i social "Tra 1 e 3 ore".

A partire da queste informazioni:

1. a) Ricostruisci la tabella di contingenza completa con le frequenze assolute.
2. b) Calcola la distribuzione della variabile "Soddisfazione di vita" condizionata a ciascuno dei livelli di "Uso degli schermi".
3. c) Possiamo affermare che le variabili sono indipendenti? Giustifica la tua risposta confrontando le frequenze relative condizionate.

Una società di consulenza tecnologica analizza la relazione tra l'uso dell'Intelligenza Artificiale (IA) nello studio e la valutazione media in un campione di studenti. Si sa che:

1. Il $30\%$ degli studenti non usa mai l'IA.

2. Il $25\%$ degli studenti ha una valutazione media di "Ottimo".

3. Il totale del campione è di 400 studenti.

4. Si è osservato che gli eventi "Avere valutazione Ottimo" e "Non usare mai l'IA" sono indipendenti.

Calcola:

1. a) Il numero di studenti che non usano mai l'IA e hanno una valutazione di Ottimo.
2. b) La probabilità che uno studente usi l'IA abitualmente sapendo che la sua valutazione non è Ottimo.
3. c) Completa la tabella di contingenza suddividendo il campione in due categorie di uso (IA / No IA) e due di valutazione (Ottimo / Resto).

In un centro sanitario si indaga la relazione tra la pratica di sport agonistico e il tipo di infortuni subiti dai giovani. Disponiamo della seguente tabella di frequenze relative condizionate per colonne (tipo di sport):

Infortunio / Sport	Pallacanestro ($D_1$)	Calcio ($D_2$)	Atletica ($D_3$)
Muscolare ($L_1$)	$0,30$	$0,55$	$0,40$
Osseo ($L_2$)	$0,70$	$0,45$	$0,60$

Se sappiamo che il $40\%$ dei giovani del campione gioca a calcio, il $35\%$ a pallacanestro e il resto pratica atletica:

1. a) Ricava la tabella delle frequenze relative congiunte.
2. b) Calcola la probabilità che un giovane scelto a caso pratichi pallacanestro, sapendo che ha subito un infortunio osseo.
3. c) In quale sport è più probabile subire un infortunio muscolare? La risposta cambia se analizziamo le frequenze assolute rispetto al totale della popolazione? Giustifica la tua risposta.

Il comune di una città vuole promuovere l'uso del trasporto sostenibile. Dopo aver intervistato 500 cittadini sul loro mezzo di trasporto principale ($X$) e sulla loro fascia di età ($Y$), sono stati ottenuti i seguenti dati di frequenze marginali:

• $n_{Bus} = 180$; $n_{Bici} = 120$; $n_{Coche} = 200$.

• $n_{Joven} = 150$; $n_{Adulto} = 250$; $n_{Senior} = 100$.

Inoltre, si conoscono le seguenti informazioni:

1. Il $60\%$ di quelli che usano la bici è giovane.

2. Gli anziani non usano affatto la bicicletta.

3. Il $50\%$ degli utenti dell'auto sono adulti.

4. L'evento "Essere utente del Bus" e "Essere Giovane" presenta una frequenza assoluta congiunta di 50 persone.

1. a) Determina la tabella completa delle frequenze assolute.
2. b) Studia la dipendenza tra l'età e l'uso dell'auto confrontando la distribuzione marginale e quella condizionata.
3. c) Qual è il mezzo di trasporto più frequente per un cittadino Anziano?

Si analizza il mercato del lavoro dei neodiplomati e neolaureati di una regione. Le variabili sono "Tipo di formazione" ($X$: Universitaria o Professionale) e "Situazione lavorativa" ($Y$: Occupato, Disoccupato o Tirocinio). Sono andati persi parte dei dati di un campione di 1000 individui, ma si conservano le distribuzioni condizionate per righe (Tipo di formazione):

$X \setminus Y$	Occupato	Disoccupato	Tirocinio
Universitaria	$0,65$	$0,10$	$0,25$
Professionale	$0,75$	$0,15$	$0,10$

Sapendo che la frequenza marginale di "Occupato" è di 690 persone:

1. a) Calcola quanti individui del campione hanno formazione universitaria e quanti hanno formazione professionale.
2. b) Determina la distribuzione della variabile "Tipo di formazione" condizionata all'essere "Disoccupato".
3. c) Se un'azienda cerca profili per un tirocinio, in quale gruppo di formazione troverà un numero assoluto maggiore di candidati secondo questo studio?

Uno studio sociologico sulle abitudini di lettura analizza la relazione tra il formato preferito (Carta, E-book, Audio) e il numero di libri letti all'anno (Meno di 5, Tra 5 e 12, Più di 12).

Si sa che nel campione:

1. Il formato "Carta" è preferito dal $50\%$ dei lettori.

2. Il formato "Audio" è il meno frequente, con solo il $10\%$.

3. Tra i lettori di "E-book", le tre categorie di numero di libri hanno la stessa frequenza relativa ($1/3$ ciascuna).

4. L'evento "Leggere più di 12 libri" è indipendente dal formato "Carta", e si sa che il $40\%$ dei lettori totali legge più di 12 libri.

5. Il $10\%$ del totale del campione è costituito da lettori di "Carta" che leggono "Meno di 5" libri.

6. Nessuno degli utenti di "Audio" legge meno di 5 libri all'anno.

Determina:

1. a) La tabella delle frequenze relative congiunte.
2. b) La distribuzione del numero di libri letti condizionata agli utenti di "Audio", sapendo che nessuno di loro legge meno di 5 libri all'anno.
3. c) Quale percentuale dei lettori che leggono "Tra 5 e 12" libri preferisce il formato Carta?

In uno studio sul consumo di musica in streaming tra gli adolescenti, si confrontano due piattaforme ($A$ e $B$) e la modalità di account (Gratuito o Premium).

I dati percentuali indicano:

• Il $60\%$ degli utenti usa la piattaforma $A$.

• Il $70\%$ degli utenti della piattaforma $B$ ha un account Gratuito.

• Nel totale del campione, la percentuale di account Premium è del $40\%$.

1. a) Calcola la percentuale di utenti della piattaforma $A$ che hanno un account Premium.
2. b) Se scegliamo un utente con account Premium, qual è la probabilità che appartenga alla piattaforma $B$?
3. c) Determina se esiste indipendenza tra la piattaforma scelta e la modalità di account. Giustifica numericamente.

Una piattaforma di e-commerce vuole analizzare la fedeltà dei propri clienti. Si registra se il cliente ha effettuato un acquisto nell'ultimo mese ($C$) e se è iscritto alla Newsletter ($S$). I dati di un campione di 1000 clienti sono:

• Il $35\%$ dei clienti ha acquistato nell'ultimo mese.

• Di quelli che non hanno acquistato, il $80\%$ non è iscritto alla Newsletter.

• La probabilità di aver acquistato nell'ultimo mese avendo ricevuto la Newsletter è $0,6$.

1. a) Elabora la tabella di contingenza delle frequenze assolute.
2. b) Se un cliente non è iscritto alla Newsletter, qual è la probabilità che abbia acquistato nell'ultimo mese?
3. c) Un analista afferma: "La Newsletter triplica la probabilità di acquisto". Basandoti sulle frequenze relative condizionate, conferma o smentisci questa affermazione con calcoli precisi.