Esercizi: Retta di regressione

Osserva le seguenti nuvole di punti che rappresentano la relazione tra due variabili statistiche. Associa, motivando, ciascuno dei valori del coefficiente di correlazione di Pearson, $r$, al grafico corrispondente:

Valori di $r$: $0,95$; $-0,85$; $0,05$.

Uno studio sulle abitudini di studio in quarta liceo analizza la relazione tra il numero di ore settimanali dedicate alla lettura, $X$, e il voto ottenuto nella verifica di Italiano, $Y$. La retta di regressione di $Y$ su $X$ è:

$y = 0,65x + 3,2$

1. a) Giustifica se la correlazione tra le due variabili è positiva o negativa.
2. b) Se uno studente dedica $8$ ore settimanali alla lettura, quale voto si stima che otterrà nella verifica?

In una distribuzione bidimensionale, si sa che la media della variabile $X$ è $\bar{x} = 12$ e la media della variabile $Y$ è $\bar{y} = 15$.

1. a) Quali sono le coordinate del baricentro di questa distribuzione?
2. b) Se la retta di regressione di $Y$ su $X$ è $y = 0,8x + a$, calcola il valore del termine noto $a$ sapendo che la retta deve passare obbligatoriamente per il baricentro.

Indica, per ciascuna delle seguenti coppie di variabili, se ti aspetti che abbiano una correlazione positiva, negativa o nulla:

1. Il numero di chilometri percorsi da un'auto e il carburante che rimane nel serbatoio.

2. L'altezza di una persona e il suo voto nella verifica di Matematica.

3. Il reddito mensile di una famiglia e la spesa per svago e cultura.

4. Il tempo che uno sportivo si allena al giorno e il suo record personale (tempo impiegato) in una gara.

Un nutrizionista analizza la relazione tra il peso di un gruppo di adolescenti ($X$, in kg) e la loro altezza ($Y$, in cm). I dati raccolti hanno un coefficiente di correlazione di $r = 0,92$ e la retta di regressione è $y = 1,4x + 85$.

Spiega il significato del coefficiente angolare ($1,4$) nel contesto del problema e valuta l'affidabilità delle previsioni fatte con questa retta.

Sono stati misurati il tempo di carica della batteria di un cellulare ($X$, in minuti) e la percentuale di carica raggiunta ($Y$, in %). I risultati sono mostrati nel seguente grafico:

Se l'equazione della retta arancione è $y = 1,5x + 5$:

1. a) Stima la percentuale di carica dopo $60$ minuti.
2. b) La relazione è funzionale o statistica? Motiva la tua risposta osservando la posizione dei punti rispetto alla retta.

Data la seguente tabella di valori di una variabile bidimensionale:

$X$	$2$	$4$	$6$	$8$
$Y$	$10$	$18$	$22$	$30$

1. a) Calcola il baricentro $(\bar{x}, \bar{y})$.
2. b) Rappresenta i punti in una piccola nuvola di punti a mano e deduci il segno della covarianza $\sigma_{xy}$ senza eseguire il calcolo completo.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un'azienda di spedizioni sa che il costo di una spedizione, $Y$ (in euro), dipende dal peso del pacco, $X$ (in kg), secondo la retta di regressione $y = 2,5x + 5$.

Se il coefficiente di correlazione è $r = 0,98$, quale delle seguenti affermazioni è corretta?

1. Per ogni chilogrammo di aumento del peso, il costo aumenta esattamente di $2,5$ euro.

2. Le previsioni fatte per pacchi di peso simile a quelli studiati saranno molto affidabili.

3. Se un pacco pesa $0$ kg, il costo sarà obbligatoriamente di $0$ euro.

4. La relazione tra peso e costo è inversa.

Un gruppo di studenti di quarta liceo ha condotto uno studio sulla relazione tra il tempo giornaliero (in ore) trascorso su un noto social network di video brevi ($X$) e la percentuale di batteria che rimane loro sul cellulare a fine giornata ($Y$). I dati ottenuti da 6 compagni sono i seguenti:

Ore di utilizzo ($X$)	1,5	2	3	3,5	4	5
% Batteria ($Y$)	75	68	50	45	32	20

a) Calcola il baricentro della distribuzione $(\bar{x}, \bar{y})$.

b) Determina la covarianza $\sigma_{xy}$ e il coefficiente di correlazione lineare $r$. Interpreta il risultato ottenuto riguardo al segno e all'intensità della relazione.

c) Determina l'equazione della retta di regressione di $Y$ su $X$.

d) Se uno studente usa il social network per 2,5 ore, quale percentuale di batteria si stima che gli rimanga? Questa previsione è affidabile? Giustifica la tua risposta basandoti sul coefficiente di determinazione $r^2$.

Un'azienda di consegne ha analizzato la relazione tra la distanza percorsa (in km) dai suoi fattorini in bicicletta ($X$) e il numero di calorie bruciate secondo i loro dispositivi intelligenti ($Y$). Dopo aver calcolato i parametri statistici, si sono ottenuti i seguenti valori:

$\bar{x} = 15 \text{ km}$; $\bar{y} = 480 \text{ kcal}$

$\sigma_x = 4,2$; $\sigma_y = 120$

$\sigma_{xy} = 453,6$

a) Calcola il coefficiente di correlazione lineare e indica che tipo di dipendenza esiste tra le variabili.

b) Determina la retta di regressione delle calorie bruciate ($Y$) in funzione della distanza percorsa ($X$).

c) Quante calorie si stima che bruci un fattorino che percorre 22 km?

d) Se un fattorino vuole bruciare circa 600 kcal, quanti chilometri dovrebbe percorrere secondo la retta di regressione di $X$ su $Y$?

È stato condotto un sondaggio su un gruppo di adolescenti riguardo al numero di follower che hanno su una piattaforma ($X$, in centinaia) e al numero medio di "mi piace" che ricevono per post ($Y$). I dati sono riassunti nella seguente tabella:

Follower ($X$)	2	4	6	8	10
Like ($Y$)	45	92	135	180	220

a) Rappresenta la nuvola di punti e traccia approssimativamente a mano libera la retta di regressione.

b) Calcola i coefficienti della retta di regressione $y = mx + n$.

c) Qual è il significato fisico del coefficiente angolare $m$ in questo contesto?

d) Calcola il coefficiente di determinazione $r^2$ e spiega quale percentuale della variazione dei "like" è spiegata dal numero di follower.

In uno studio sulle abitudini di sonno e rendimento scolastico, sono state ottenute le seguenti rette di regressione per le variabili $X$ (ore di sonno giornaliere) e $Y$ (voto medio del trimestre):

Retta di $Y$ su $X$: $y = 0,65x + 3,2$

Retta di $X$ su $Y$: $x = 1,15y - 0,45$

a) Sapendo che le due rette si intersecano nel baricentro della distribuzione, calcola la media delle ore di sonno ($\bar{x}$) e il voto medio degli studenti ($\bar{y}$).

b) Calcola il coefficiente di correlazione lineare $r$ a partire dai coefficienti angolari delle due rette.

c) Indica motivando se la correlazione è diretta o inversa e se è forte o debole.

Un allenatore di atletica analizza la relazione tra l'altezza dei suoi atleti in cm ($X$) e la lunghezza della loro falcata in cm ($Y$). I dati di 5 atleti sono: (160, 110), (170, 120), (175, 125), (180, 132) e (190, 145).

a) Ricava la retta di regressione di $Y$ su $X$.

b) Quale lunghezza di falcata ci si aspetterebbe da un atleta alto 185 cm?

c) Calcola l'errore di previsione (residuo) per l'atleta alto 180 cm. L'errore è definito come la differenza tra il valore reale e quello stimato dalla retta: $e = y_i - \hat{y}_i$.

d) Se il coefficiente di correlazione fosse $r = 0,98$, che cosa potresti affermare sull'affidabilità delle previsioni dell'allenatore?

È stata studiata la relazione tra il prezzo di un abbonamento mensile a una piattaforma musicale ($X$, in euro) e il numero di ore che gli utenti ascoltano musica al mese ($Y$). Si sa che:

• La varianza di $X$ è $\sigma_x^2 = 4$.

• La varianza di $Y$ è $\sigma_y^2 = 25$.

• La retta di regressione di $Y$ su $X$ è $y = -1,2x + 42$.

a) Determina la covarianza $\sigma_{xy}$ tra le due variabili.

b) Calcola il coefficiente di correlazione lineare $r$.

c) Come varierebbe il coefficiente di correlazione se decidessimo di esprimere il tempo di ascolto in minuti anziché in ore? Motiva la tua risposta.

Un centro di adozione di animali vuole prevedere il tempo che un cane impiega per essere adottato ($Y$, in giorni) in funzione della sua età ($X$, in anni). Sono stati raccolti i dati di 10 cani ed è stata ottenuta una correlazione di $r = 0,85$. L'età media è di 4 anni e quella dei giorni prima dell'adozione è di 25 giorni. La deviazione standard dell'età è di 2 anni e quella dei giorni è di 10 giorni.

a) Ricava l'equazione della retta di regressione.

b) Stima quanto tempo impiegherà a essere adottato un cucciolo di 0,5 anni.

c) Stima quanto tempo impiegherà un cane anziano di 12 anni.

d) Tra le due stime precedenti, indica quale è più affidabile e perché, tenendo conto dell'intervallo dei dati originali (età comprese tra 1 e 8 anni).

Osserva la seguente nuvola di punti che mette in relazione l'investimento in R&S ($X$) e l'utile netto annuo ($Y$) di diverse aziende tecnologiche:

Sapendo che la retta di regressione è $y = 2,5x + 10$ e che il coefficiente di correlazione è $r = 0,92$:

a) Indica motivando se esiste una relazione forte tra l'investimento e gli utili.

b) Se un'azienda non investe nulla in R&S ($x = 0$), secondo il modello, quale sarebbe il suo utile stimato? Questo valore ha senso nella realtà?

c) Spiega che cosa accadrebbe al coefficiente angolare della retta se il coefficiente di correlazione fosse negativo.

d) Se moltiplichiamo tutti i valori degli utili per 2, come cambierebbe il valore del coefficiente di correlazione $r$? Giustifica la tua risposta.

In uno studio sul rendimento di una nuova criptovaluta sono state analizzate le variabili $X$ (investimento in pubblicità in migliaia di euro) e $Y$ (volume di transazioni giornaliere in milioni di euro). Dopo aver elaborato i dati, sono state ottenute le equazioni delle due rette di regressione:

• Retta di regressione di $Y$ su $X$: $y = 0,85x + 1,24$

• Retta di regressione di $X$ su $Y$: $x = 0,92y - 0,15$

Determina, motivando la risposta:

1. Il baricentro della distribuzione $(\bar{x}, \bar{y})$.

2. Il coefficiente di correlazione lineare di Pearson ($r$).

3. Se si desidera effettuare un investimento in pubblicità di $15\,000$ €, quale sarebbe il volume di transazioni atteso? Giustifica l'attendibilità di questa previsione basandoti sul coefficiente di determinazione.

Un sociologo analizza la relazione tra il tempo settimanale dedicato a guardare la televisione ($X$, in ore) e la capacità di concentrazione in un test specifico ($Y$, scala da 0 a 100). I dati di 10 adolescenti hanno dato i seguenti risultati parziali:

$\sum x_i = 150$; $\sum y_i = 620$; $\sum x_i^2 = 2\,850$; $\sum y_i^2 = 41\,500$; $\sum x_iy_i = 8\,400$.

Si chiede di:

1. Trovare la covarianza $s_{xy}$ e il coefficiente di correlazione $r$.

2. Ottenere la retta di regressione di $Y$ su $X$.

3. Uno studente dedica 40 ore settimanali alla televisione. Calcola il suo punteggio stimato nel test. Analizza se questa stima è un'interpolazione o un'estrapolazione e discuti la sua reale validità nel contesto del problema.

Data una distribuzione bidimensionale in cui il coefficiente di determinazione è $R^2 = 0,81$, si sa che la retta di regressione di $Y$ su $X$ ha coefficiente angolare positivo e passa per i punti $(2, 5)$ e $(6, 11)$.

1. Calcola il coefficiente di correlazione di Pearson.

2. Determina la varianza della variabile $Y$ sapendo che la deviazione standard di $X$ è $s_x = 2,5$.

3. Trova l'equazione della retta di regressione di $X$ su $Y$ sapendo che il baricentro è $(\bar{x}, \bar{y}) = (4, 8)$.

Un team di marketing studia la relazione tra i «like» ottenuti da un post su Instagram ($X$) e le vendite generate di un prodotto ($Y$). Ha osservato che la retta di regressione di $Y$ su $X$ è $y = 0,04x + 150$. Tuttavia, si accorge che i dati di vendita erano registrati senza IVA (21%).

Se definiamo una nuova variabile $Y' = 1,21Y$ per includere l'imposta:

1. Qual è la nuova equazione della retta di regressione di $Y'$ su $X$?

2. Come sarà influenzato il coefficiente di correlazione di Pearson originale? Giustifica la risposta basandoti sulle proprietà delle trasformazioni lineari in statistica.

In una tabella di contingenza che mette in relazione il livello di istruzione ($X$) e il reddito ($Y$) di un campione sono andati persi alcuni dati. Conosciamo i seguenti parametri:

$\bar{x} = 3$; $\bar{y} = 2\,400$; $s_x^2 = 1,2$; $s_y^2 = 160\,000$ e la retta di regressione di $Y$ su $X$ è $y = 300x + 1\,500$.

1. Calcola il coefficiente di determinazione $R^2$ e interpreta la percentuale della varianza del reddito spiegata dal livello di istruzione.

2. Se un individuo ha un livello di istruzione $X=5$ e il suo reddito reale è di $3\,200$ €, calcola l'errore di previsione (residuo) commesso dalla retta.

Si analizza la relazione tra il numero di ore di luce solare giornaliera ($X$) e il consumo elettrico per il riscaldamento ($Y$) in un grande ufficio durante 12 mesi. I dati sono riassunti in:

$\bar{x} = 9$; $\bar{y} = 450$; $s_x = 3,2$; $s_y = 85$ e $s_{xy} = -210$.

1. Calcola la retta di regressione di $Y$ su $X$.

2. Calcola la retta di regressione di $X$ su $Y$.

3. Spiega il significato del segno della covarianza in questo contesto e determina quale percentuale della variabilità del consumo elettrico non dipende dalle ore di sole.

I voti di 50 studenti in Economia ($X$) e Geografia ($Y$) hanno una media di 6,5 in entrambe le materie. La varianza di Economia è 4 e quella di Geografia è 2,25. Si sa che il coefficiente di correlazione è $r = 0,8$.

1. a) Se uno studente ha preso 4 in Economia, stima il suo voto in Geografia.

1. b) Se un altro studente ha preso 9 in Geografia, stima il suo voto in Economia utilizzando la retta di regressione appropriata.

1. c) Confronta le due stime e spiega perché non si può utilizzare la stessa retta in entrambi i casi se si vuole minimizzare l'errore quadratico medio.

Data la seguente nuvola di punti di 12 auto relativa alle variabili $X$ (età di un'auto in anni) e $Y$ (valore di mercato in migliaia di euro), è stata tracciata la retta di regressione di $Y$ su $X$ calcolata con i 12 punti, la cui equazione è $y = -0,88x + 14,59$. Si osserva che esiste un punto anomalo di coordinate $(1, 2)$.

1. a) Se eliminiamo tale punto dalla serie di dati, che cosa ti aspetteresti che accada al valore assoluto del coefficiente di correlazione? E al coefficiente angolare della retta di regressione? Giustifica la tua risposta.

1. b) Con la retta di regressione data, $y = -0,88x + 14,59$, calcola il valore stimato per un'auto di 10 anni e argomenta sull'opportunità di usare questo modello per auto di più di 15 anni.