Esercizi: Funzioni radicali

Determina il dominio di definizione della funzione $f(x) = \sqrt{x - 8}$.

Data la funzione $f(x) = \sqrt{2x - 1}$, calcola il valore delle sue immagini per $x = 5$ e $x = 13$.

Trova il dominio della funzione $g(x) = \sqrt{-3x + 12}$.

Calcola i punti di intersezione con gli assi coordinati della funzione $h(x) = \sqrt{x + 4} - 2$.

Osserva le tre funzioni rappresentate nel seguente grafico. Individua quale di esse corrisponde all'espressione $f(x) = \sqrt{x - 2}$ e giustifica la tua risposta indicando il suo dominio.

Calcola il valore di $x$ per il quale la funzione $f(x) = \sqrt{5x + 1}$ assume il valore $4$.

Determina il dominio della funzione $f(x) = 3 - \sqrt{x + 5}$.

Il tempo $t$ (in secondi) che un oggetto impiega a cadere da un'altezza $h$ (in metri) si può approssimare mediante la funzione $t(h) = \sqrt{\frac{h}{5}}$. Quanto tempo impiegherà a toccare il suolo una palla lasciata cadere da un ponte alto $45$ metri?

Lucia cerca di calcolare il punto di intersezione con l'asse delle ordinate ($Y$) della funzione $f(x) = \sqrt{x - 4} + 1$. Per farlo, scrive sul quaderno: «Poiché l'intersezione con l'asse $Y$ avviene quando $x = 0$, calcolo $f(0) = \sqrt{0 - 4} + 1 = \sqrt{-4} + 1 = -2 + 1 = -1$, quindi la curva interseca nel punto $(0, -1)$». Individua i due errori concettuali commessi da Lucia, spiega perché il suo procedimento contraddice la definizione di dominio di una funzione radicale nei numeri reali e determina con le dovute motivazioni se il grafico di $f$ interseca o no l'asse $Y$.

Una funzione radicale elementare ha l'espressione $f(x) = \sqrt{x - h} + v$. Si sa che la sua rappresentazione grafica nasce esattamente nel punto $(-3, 2)$ del piano cartesiano e che, inoltre, passa per il punto $(1, 4)$. Determina con le dovute motivazioni i valori numerici dei parametri $h$ e $v$. A partire da essi, deduci il dominio e il codominio della funzione basandoti sul significato delle traslazioni orizzontale e verticale rispetto alla funzione di base $y = \sqrt{x}$.

Il periodo $T$ (in secondi) di un pendolo semplice è dato dalla funzione $T(L) = 2\pi \sqrt{\frac{L}{10}}$, dove $L$ è la lunghezza del filo in metri. Se vogliamo costruire un pendolo che abbia un periodo di esattamente $2$ secondi, quale lunghezza deve avere il filo? (Usa $\pi \approx 3,14$).

Trova il dominio di definizione della funzione $f(x) = \sqrt{x^2 - 16}$.

Data la funzione $f(x) = \sqrt{x}$, scrivi l'espressione analitica della funzione $g(x)$ che si ottiene traslando il grafico di $f(x)$ di tre unità verso destra e di due unità verso l'alto.

La velocità $v$ (in km/h) a cui si propaga uno tsunami nell'oceano dipende dalla profondità $d$ (in metri) dell'acqua, secondo la funzione $v(d) = 11,2 \sqrt{d}$. Se si è rilevato che uno tsunami avanza a una velocità di $336$ km/h, a quale profondità si trova l'oceano in quel punto?

Calcola i punti di intersezione con gli assi coordinati della funzione $f(x) = \sqrt{2x + 3} - 3$.

Il raggio $r$ di un cerchio in funzione della sua area $A$ è dato da $r(A) = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$. Calcola il tasso di variazione medio del raggio quando l'area passa da $100\pi$ a $400\pi$ unità quadrate.

Determina i valori dei parametri $a$ e $b$ affinché la funzione $f(x) = \sqrt{ax + b}$ abbia come dominio l'intervallo $[-2, +\infty)$ e passi per il punto $(2, 4)$.

Osserva i grafici delle funzioni $f(x) = \sqrt{x + 1}$ e $g(x) = \sqrt{-x + 1}$. Determina il dominio di ciascuna di esse e calcola il punto esatto in cui si intersecano.

Dal faro di Capo Vilán (Galizia), la distanza massima teorica $D$ (in chilometri) a cui si scorge la linea dell'orizzonte sul mare dipende dall'altezza $h$ (in metri) a cui si trovano gli occhi dell'osservatore, secondo il modello $D(h) = 3,57 \cdot \sqrt{h}$.

1. a) Prima di calcolare il valore esatto, stima in modo ragionato tra quali due numeri interi consecutivi di chilometri si troverà la distanza di visione per un visitatore situato a $h = 40\text{ m}$ di altezza sul livello del mare, giustificando la tua approssimazione a partire dai quadrati perfetti più vicini a $40$.
2. b) Calcola ora il valore numerico di $D(40)$ arrotondando a due cifre decimali e verifica se la tua stima iniziale era corretta.
3. c) Se un marinaio afferma che per vedere il doppio più lontano ($2 \cdot D$) basta porsi al doppio dell'altezza ($2 \cdot h$), giustifica matematicamente se la sua affermazione è vera o falsa analizzando come si comporta la radice quadrata di fronte al raddoppio della variabile.

Il Servizio Meteorologico dell'Aeronautica Militare registra la velocità del vento $v$ (in $\text{m/s}$) nei pressi di un parco eolico in Puglia in funzione dell'altezza $z$ (in metri) dal suolo mediante l'espressione $v(z) = 3 + 2\sqrt{z - 4}$, applicabile a partire dalla quota minima degli anemometri.

1. a) Interpreta il significato matematico e fisico del radicando e deduci il dominio di definizione della funzione in questo contesto reale. Perché non ha senso valutare $v(2)$?
2. b) Imposta l'equazione corrispondente per trovare a quale altezza la velocità del vento raggiunge $11\text{ m/s}$, risolvila passo per passo e verifica esplicitamente se la soluzione ottenuta appartiene al dominio della funzione.
3. c) Senza risolvere alcuna lunga equazione algebrica, deduci in modo ragionato dal codominio (insieme immagine) della funzione se è possibile che in qualche punto al di sopra della quota minima il vento sia in totale calma ($v = 0\text{ m/s}$).

Determina il dominio di definizione della funzione $f(x) = \sqrt{-x^2 + 6x - 8}$.

Trova i punti di intersezione tra la retta $y = x - 2$ e la funzione radicale $y = \sqrt{x + 4}$. Verifica che la soluzione ottenuta appartenga al dominio di entrambe le funzioni e soddisfi l'equazione originale.

La distanza $d$ (in km) a cui si trova l'orizzonte per un osservatore posto a un'altezza $h$ (in metri) sul livello del mare si può approssimare mediante la funzione $d(h) = 3,57 \sqrt{h}$. Se ti trovi in cima a un faro alto $10$ metri, quanti metri in più dovresti salire affinché la distanza dell'orizzonte visibile raddoppi?

Determina il dominio e il codominio della funzione $f(x) = -2 + \sqrt{3x - 6}$. Giustifica la tua risposta analizzando le caratteristiche della funzione radicale.

Il costo di produzione $C$ (in euro) di una fabbrica di componenti elettronici dipende dal numero di unità prodotte $x$ secondo la funzione $C(x) = 200 + 10\sqrt{x - 100}$. Determina il dominio della funzione in questo contesto. Se il costo di un lotto è stato di $350$ euro, quante unità sono state prodotte?

La relazione tra il volume $V$ di un cubo e il suo spigolo $a$ è $V = a^3$. Considera ora l'area di una delle sue facce $A = a^2$: esprimi lo spigolo $a$ in funzione dell'area $A$. Poi esprimi il volume $V$ in funzione dell'area $A$ usando una funzione radicale e calcola il volume se l'area di una faccia è $25 \text{ cm}^2$.

Data la funzione $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x}$, determina i valori di $x$ per i quali la funzione è definita. Poi calcola i punti esatti in cui la funzione assume il valore $\sqrt{5}$.

Osserva la seguente funzione definita a tratti e la sua rappresentazione grafica:

$f(x) = \begin{cases} \sqrt{-x} & \text{si } x \le 0 \\ \sqrt{x} & \text{si } x > 0 \end{cases}$

Studia il suo dominio, stabilisci se è una funzione continua in $x=0$ e dimostra algebricamente se possiede qualche tipo di simmetria (pari o dispari).

Per trovare i punti di intersezione tra la funzione radicale $f(x) = \sqrt{2x + 10}$ e la retta $g(x) = x - 1$, si deve risolvere l'equazione $\sqrt{2x + 10} = x - 1$. Due studenti propongono strategie diverse prima di procedere con i calcoli:

• Metodo di Marco: isolare la radice, elevare al quadrato entrambi i membri, risolvere l'equazione di secondo grado risultante e, alla fine, sostituire ciascuna soluzione nell'uguaglianza di partenza per scartare eventuali soluzioni false.

• Metodo di Sara: prima di elevare al quadrato, analizzare il dominio del radicando ($2x + 10 \ge 0$) e la condizione di segno del secondo membro ($x - 1 \ge 0$), deducendo che qualsiasi soluzione valida deve appartenere necessariamente all'intervallo $[1, +\infty)$.

1. a) Applica il metodo di Marco risolvendo l'equazione passo per passo. Mostra quale soluzione falsa compare e spiega algebricamente perché compare elevando al quadrato.
2. b) Spiega perché il metodo di Sara permette di scartare subito la soluzione falsa senza doverla sostituire nell'equazione originale.
3. c) Giustifica quale pericolo comporta elevare direttamente al quadrato se l'equazione iniziale si presentasse non isolata come $\sqrt{2x + 10} - x = -1$ e si applicasse il quadrato a ciascun termine separatamente.

Costruisci in modo ragionato l'espressione analitica di una funzione radicale della forma $f(x) = a\sqrt{x - h} + v$ che soddisfi contemporaneamente queste quattro condizioni:

1. Il suo dominio di definizione è l'intervallo $[4, +\infty)$.

2. Il suo grafico interseca l'asse delle ascisse ($X$) nel punto $(13, 0)$.

3. La funzione è strettamente decrescente in tutto il suo dominio.

4. Il valore massimo raggiunto dalla funzione è $6$ (cioè il suo codominio è $(-\infty, 6]$).

Rispondi in modo giustificato alle seguenti domande:

1. a) Deduci passo per passo il valore di ciascuno dei parametri $h$, $v$ e $a$, spiegando quale condizione ti permette di fissare ciascuno.
2. b) Determina analiticamente se il grafico della tua funzione interseca o no l'asse delle ordinate ($Y$).
3. c) Se cambiamo soltanto il segno del coefficiente $a$ ottenuto (lasciando invariati $h$ e $v$), quale sarebbe il nuovo codominio della funzione e che cosa accadrebbe al punto di intersezione con l'asse $X$? Giustifica la tua risposta senza limitarti a dare il solo risultato.