Esercizi: Funzioni potenza

Individua quali delle seguenti espressioni algebriche corrispondono a una funzione potenza:

• $f(x) = 3x^2$

• $g(x) = 2^x$

• $h(x) = \frac{5}{x^3}$

• $i(x) = x^{1/2}$

Data la funzione potenza $f(x) = 2x^4$, calcola il valore delle sue immagini per $x = -2$, $x = 0$ e $x = 3$.

Indica qual è il dominio di definizione e determina il tipo di simmetria (pari, dispari o nessuna) della funzione potenza $f(x) = x^6$.

Trova il valore del coefficiente $k$ della funzione potenza $f(x) = k \cdot x^3$ sapendo che il suo grafico passa per il punto di coordinate $(2, 40)$.

Esprimi mediante una funzione potenza l'area $A$ di un cerchio in funzione del suo raggio $r$. Qual è il grado di questa funzione potenza?

Indica il dominio di definizione e le equazioni degli asintoti verticali e orizzontali della funzione potenza $f(x) = x^{-2}$.

Scrivi l'espressione algebrica della funzione che associa a ogni numero reale positivo la sua radice cubica, esprimendola in forma di potenza con esponente frazionario.

Sapendo che il grafico di una funzione potenza della forma $f(x) = x^n$ passa per il punto $(3, 81)$, trova il valore dell'esponente $n$.

Lucia sta analizzando le proprietà di due funzioni potenza, $f(x) = 3 \cdot x^{-2}$ e $g(x) = 2 \cdot x^{1/4}$, e scrive sul quaderno:\n1. «Poiché $f(0) = 3 \cdot 0^{-2} = 0$, il grafico di $f$ interseca l'asse $Y$ nell'origine $(0, 0)$».\n2. «Per la funzione $g$, poiché la radice quarta di $16$ è $2$, se inseriamo un valore negativo si ottiene $g(-16) = 2 \cdot (-16)^{1/4} = 2 \cdot (-2) = -4$, quindi il suo dominio comprende tutti i numeri reali».\nIndividua in modo ragionato l'errore concettuale commesso in ciascuna delle due affermazioni, spiega perché il suo calcolo è scorretto e indica qual è il dominio reale corretto di ciascuna di queste funzioni.

Scrivi l'espressione algebrica di una funzione potenza della forma $f(x) = a \cdot x^n$ che soddisfi contemporaneamente le seguenti condizioni:\na) Il suo esponente $n$ è un numero intero negativo e il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse $Y$ (funzione pari, dove $f(-x) = f(x)$).\nb) Possiede un asintoto verticale in $x = 0$ e un asintoto orizzontale in $y = 0$.\nc) Il suo grafico passa per il punto $P(2; 0,75)$.\nGiustifica la scelta del valore di $n$ più semplice possibile che verifichi le condizioni e calcola in dettaglio il valore del coefficiente $a$, esprimendolo come frazione ridotta ai minimi termini o come numero decimale.

L'intensità della luce $I$ che riceve un oggetto è inversamente proporzionale al quadrato della distanza $d$ dalla sorgente luminosa, il che si modellizza con la funzione potenza $I(d) = k \cdot d^{-2}$. Se a una distanza di $2$ metri l'intensità è di $100$ lux, trova l'espressione completa della funzione e calcola l'intensità che riceverà l'oggetto a $5$ metri di distanza.

Determina analiticamente i punti di intersezione tra i grafici delle funzioni potenza $f(x) = x^2$ e $g(x) = x^4$.

L'energia cinetica di un corpo in movimento è data dalla formula $E_c(v) = \frac{1}{2} m v^2$. Se la massa di un veicolo è di $1200$ kg, esprimi la sua energia cinetica come funzione potenza dipendente dalla sua velocità $v$ (in m/s) e calcola l'energia che possiede quando viaggia a $20$ m/s.

Osserva il seguente grafico che mostra due funzioni potenza nel primo quadrante.

Sapendo che le espressioni analitiche corrispondono a $y = x^2$ e $y = x^3$, individua quale è $f(x)$ e quale è $g(x)$. A partire dal grafico e dalle espressioni, determina in quale intervallo strettamente positivo la funzione cubica assume valori minori di quella quadratica.

Il raggio $r$ (in cm) di una macchia circolare di olio che si espande sull'acqua cresce con il tempo $t$ (in minuti) secondo la funzione potenza $r(t) = 2 \cdot t^{1/2}$. Calcola il raggio della macchia dopo $0,25$ minuti e trova quanto tempo deve passare perché il raggio della macchia sia esattamente di $4$ cm.

Una funzione potenza è data dall'espressione $f(x) = a \cdot x^n$. Trova i valori esatti del coefficiente $a$ e dell'esponente $n$ sapendo che il grafico passa per i punti $(1, 5)$ e $(2, 40)$.

Data la funzione $f(x) = -3x^{-3}$, determina il suo dominio di definizione, il suo codominio e studia analiticamente se presenta qualche tipo di simmetria (pari o dispari).

Il volume di una sfera in funzione del suo raggio si calcola mediante la formula $V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3$. Ricava il raggio $r$ per esprimerlo come funzione potenza dipendente dal volume $V$. Usa questa nuova funzione per calcolare il raggio approssimato di una sfera che ha un volume di $1000$ cm$^3$ (prendi $\pi \approx 3,14$).

In un parco eolico della Puglia, la potenza elettrica $P$ (in kilowatt, kW) prodotta da un aerogeneratore si modellizza mediante la funzione potenza $P(v) = k \cdot v^3$, dove $v$ rappresenta la velocità del vento (in m/s). I dati di telemetria indicano che con una velocità del vento di $5\text{ m/s}$, la potenza generata è di $50\text{ kW}$.\na) Prima di effettuare qualsiasi calcolo algebrico, fai una stima ragionata: se la velocità del vento raddoppia fino a $10\text{ m/s}$, la potenza raddoppierà ($100\text{ kW}$), quadruplicherà ($200\text{ kW}$) o aumenterà ancora di più? Giustifica la tua congettura a partire dalle proprietà dell'esponente cubico.\nb) Trova il valore esatto della costante $k$ a partire dal dato iniziale.\nc) Calcola analiticamente la potenza $P(10)$ e verifica se la tua stima era corretta calcolando il rapporto esatto tra $P(10)$ e $P(5)$.

Una funzione potenza della forma $f(x) = a \cdot x^n$ passa per i punti $A(2, 6)$ e $B(6, 54)$. Per determinare i valori esatti dei parametri $a$ e $n$, due compagni di classe propongono strade diverse:\n- Metodo di Saverio (quoziente diretto): imposta il sistema $\begin{cases} 6 = a \cdot 2^n \\ 54 = a \cdot 6^n \end{cases}$, divide la seconda equazione per la prima per eliminare il coefficiente $a$ e raggruppa le potenze con la stessa base: $\frac{54}{6} = \left(\frac{6}{2}\right)^n \implies 9 = 3^n$.\n- Metodo di Elena (linearizzazione logaritmica): prende i logaritmi decimali di entrambi i membri di ciascuna equazione per trasformare il sistema in uno lineare di due equazioni in due incognite, $\log(a)$ e $n$, risolvendolo poi per riduzione.\na) Completa i passaggi del metodo di Saverio e calcola i valori di $n$ e di $a$.\nb) Confronta i due procedimenti e giustifica quale dei due è più efficiente in questo caso particolare.\nc) Spiega quali caratteristiche dovrebbero avere le coordinate dei punti perché il metodo di Saverio non si potesse risolvere immediatamente a colpo d'occhio e fosse giustificato ricorrere al metodo di Elena.

Il tasso metabolico basale $T$ (in kcal/giorno) dei mammiferi si modellizza in funzione della loro massa corporea $M$ (in kg) mediante la funzione potenza di Kleiber: $T(M) = 70 \cdot M^{3/4}$. Calcola il tasso metabolico basale di un cane di $16$ kg. Poi trova la massa approssimata di un animale il cui tasso metabolico è di $7000$ kcal/giorno.

Il seguente grafico mostra tre funzioni potenza le cui espressioni sono $y = x^{-1}$, $y = x^{-2}$ e $y = x^{1/2}$.

Associa ciascuna curva (A, B e C) alla sua espressione analitica corrispondente, giustificando la risposta in base al dominio, alla parità e al comportamento asintotico di ciascuna.

Determina analiticamente i punti di intersezione tra la funzione cubica $f(x) = 8x^3$ e la funzione di proporzionalità inversa $g(x) = x^{-1}$.

La terza legge di Keplero stabilisce che il quadrato del periodo orbitale $T$ di un pianeta è direttamente proporzionale al cubo della sua distanza media dal Sole $R$, cioè $T^2 = k \cdot R^3$. Se per la Terra vale $T = 1$ anno e $R = 1$ UA (Unità Astronomica), esprimi il periodo $T$ come funzione potenza dipendente da $R$. Usa questa funzione per calcolare il periodo orbitale di Giove, sapendo che la sua distanza media dal Sole è di $5,2$ UA.

La forza di resistenza aerodinamica che subisce un ciclista è proporzionale al quadrato della sua velocità, il che si esprime come $F(v) = k \cdot v^2$. A una velocità di $10$ m/s, la forza misurata è di $30$ N. Dimostra analiticamente per quale fattore esatto si moltiplica la forza di resistenza se il ciclista raddoppia la sua velocità (passando da una velocità generica $v_0$ a $2v_0$) e calcola la nuova forza quando viaggia a $20$ m/s.

Trova l'espressione analitica della funzione potenza $f(x) = a \cdot x^n$ sapendo che il suo grafico passa per i punti $(2, 2)$ e $(8, 16)$. Esprimi l'esponente $n$ come frazione ridotta ai minimi termini.

Data la funzione potenza con esponente frazionario $f(x) = x^{2/3}$:

• Determina il suo dominio di definizione.

• Calcola i valori esatti di $f(8)$ e $f(-8)$.

• Stabilisci analiticamente se la funzione è pari, dispari o nessuna delle due.

Il costo di produzione di un componente elettronico diminuisce all'aumentare del numero di unità fabbricate secondo la funzione potenza $C(x) = 5000 \cdot x^{-1/2}$, dove $x$ è la quantità di componenti e $C(x)$ è il costo unitario in euro. Calcola il costo unitario di produzione di $100$ componenti e determina quanti componenti si devono fabbricare in totale perché il costo unitario si riduca a $25$ euro.

Secondo studi tecnici del Ministero delle Infrastrutture e dei Trasporti, la distanza di frenata $d$ (in metri) di un'autovettura su asfalto asciutto fino all'arresto completo si modellizza mediante una funzione potenza $d(v) = a \cdot v^n$, dove $v$ è la velocità di marcia (in km/h). Nelle prove di omologazione si osserva che a $40\text{ km/h}$ la distanza di frenata è di $8\text{ metri}$, mentre a $80\text{ km/h}$ sale a $32\text{ metri}$.\na) Determina analiticamente l'espressione della funzione deducendo l'esponente intero $n$ e la costante $a$.\nb) In Spagna, la velocità massima nei centri abitati su strade a una corsia per senso di marcia è stata ridotta da $50\text{ km/h}$ a $30\text{ km/h}$. Calcola la distanza di frenata associata a ciascuna velocità e determina la percentuale esatta di riduzione che comporta questa misura.\nc) Un automobilista afferma: «Se viaggio a $140\text{ km/h}$ su una superstrada invece del limite di $120\text{ km/h}$, siccome vado solo il $16,7\,\%$ più veloce, la mia distanza di frenata aumenterà appena di quella stessa percentuale». Confuta matematicamente la sua argomentazione a partire dal comportamento della funzione potenza e calcola l'aumento percentuale reale della sua distanza di frenata.

Si vuole progettare la formula di una funzione potenza $f(x) = a \cdot x^n$ che modellizzi la concentrazione residua di una sostanza e che soddisfi contemporaneamente quattro condizioni matematiche:

1. Il suo dominio non include valori negativi né lo zero, essendo limitato in modo naturale a $(0, +\infty)$.

2. Presenta come asintoti gli assi cartesiani: un asintoto verticale in $x = 0$ e un asintoto orizzontale in $y = 0$.

3. Se moltiplichiamo il valore della variabile indipendente per $9$, il valore restituito dalla funzione si riduce esattamente a un terzo; cioè $f(9x) = \frac{1}{3} \cdot f(x)$ per ogni $x > 0$.

4. Il grafico passa per il punto $P(4; 2,5)$.

1. a) A partire dalle condizioni 1 e 2, deduci in modo ragionato se l'esponente $n$ deve essere positivo o negativo, e perché deve essere una frazione con denominatore pari.

1. b) Applica la condizione 3 per trovare il valore esatto dell'esponente $n$.

1. c) Determina il valore della costante $a$ usando le coordinate del punto $P$ e scrivi la funzione finale sia in forma di potenza sia in forma di radicale.