Esercizi: Funzioni di proporzionalità inversa: k/x

Individua nella seguente tabella se le grandezze $x$ e $y$ sono inversamente proporzionali e, in caso affermativo, trova la costante di proporzionalità $k$ e scrivi la funzione che le mette in relazione.

• $x$: 1, 2, 3, 4, 6

• $y$: 24, 12, 8, 6, 4

Data la funzione di proporzionalità inversa $y = \frac{18}{x}$, calcola il valore di $y$ per $x = 3$, $x = -9$ e $x = 0,5$.

Determina il dominio, il codominio e le equazioni degli asintoti della funzione $y = \frac{-8}{x}$.

Associa ciascuna delle seguenti funzioni alla descrizione dei quadranti in cui si trovano i suoi rami quando la si rappresenta graficamente:

1. a) $y = \frac{5}{x}$
2. b) $y = \frac{-2}{x}$
3. c) $y = \frac{0,1}{x}$

Descrizioni:

1. Rami situati nel primo e nel terzo quadrante.

2. Rami situati nel secondo e nel quarto quadrante.

Un premio della lotteria di $300$ € viene diviso in parti uguali tra un gruppo di $x$ amici. Scrivi l'espressione algebrica della funzione che mette in relazione il denaro ricevuto da ciascuno con il numero di amici e calcola quanto ricevono se sono $6$ persone.

Per percorrere una distanza fissa di $120$ km, il tempo $t$ impiegato (in ore) e la velocità media $v$ (in km/h) sono grandezze inversamente proporzionali. Scrivi la funzione $v(t)$ e calcola a quale velocità costante deve andare un'auto se vuole impiegare esattamente $2,5$ ore per percorrere il tragitto.

Indica quali sono le equazioni degli asintoti verticale e orizzontale dell'iperbole la cui espressione algebrica è $y = \frac{5}{x-4} + 3$.

Determina il dominio di definizione della funzione razionale $y = \frac{7}{x+5}$.

Lucia sta studiando la monotonia della funzione $f(x) = \frac{8}{x}$. Sa che la costante è $k = 8 > 0$ e il suo insegnante ha spiegato in classe che le funzioni con $k > 0$ sono decrescenti. Per verificarlo empiricamente, prende due valori della variabile: $x_1 = -2$ e $x_2 = 4$. Calcolando le loro immagini, ottiene $f(-2) = -4$ e $f(4) = 2$. Sorpresa, osserva che $-2 < 4$ e, tuttavia, $f(-2) < f(4)$, perciò conclude che «la teoria sbaglia, perché procedendo verso destra la funzione è salita». Individua e spiega con precisione l'errore concettuale di Lucia, chiarisci perché il suo esempio non contraddice la teoria e scrivi come deve essere enunciata in modo matematicamente rigoroso la decrescenza di $f(x)$.

Determina l'espressione algebrica di una funzione di proporzionalità inversa traslata, della forma $g(x) = \frac{k}{x-h} + v$, sapendo che soddisfa contemporaneamente queste due condizioni: il suo centro di simmetria è il punto $(-2, 3)$ e il suo grafico passa per il punto $(1, 2)$. A partire dalla funzione ottenuta:

1. a) Determina il valore numerico delle costanti $k$, $h$ e $v$.
2. b) Scrivi le equazioni dei suoi asintoti verticale e orizzontale, e indica il suo dominio e il suo codominio giustificando quale valore è escluso in ciascun caso.
3. c) Ragiona, a partire dal segno della costante $k$, se i rami del grafico sono crescenti o decrescenti in ciascun intervallo del suo dominio.

Osserva il seguente grafico di una funzione di proporzionalità inversa e determina la sua costante $k$ e la sua espressione algebrica $y = \frac{k}{x}$.

Per riempire una piscina, $4$ rubinetti di uguale portata impiegano $9$ ore. Scrivi la funzione che mette in relazione il tempo di riempimento $t$ (in ore) con il numero di rubinetti aperti $n$. Quanto tempo impiegherebbero $6$ rubinetti a riempire la stessa piscina?

Secondo la legge di Boyle-Mariotte, a temperatura costante, la pressione $P$ di un gas e il suo volume $V$ sono grandezze inversamente proporzionali ($P \cdot V = k$). Se un certo gas occupa un volume di $20$ litri a una pressione di $1,5$ atmosfere, scrivi la funzione $V(P)$ e calcola quale volume occuperà a $3$ atmosfere.

Il grafico della funzione $y = \frac{8}{x}$ viene traslato nel piano cartesiano di $4$ unità verso sinistra e di $3$ unità verso il basso. Scrivi l'espressione algebrica della nuova funzione, determina il suo dominio e trova le coordinate del punto in cui si intersecano i suoi asintoti.

Determina analiticamente i punti di intersezione con gli assi coordinati della funzione razionale $y = \frac{10}{x-2} + 5$.

Un gruppo di persone affitta un campo da padel per $24$ €. Scrivi la funzione $C(x)$ che esprime il costo a persona in funzione del numero di giocatori $x$. Se il costo finale è stato di $6$ € a persona, quanti giocatori hanno affittato il campo? Qual è il dominio logico di questa funzione tenendo conto del contesto del problema?

Scrivi l'equazione di un'iperbole della forma $y = \frac{k}{x-a} + b$ sapendo che i suoi asintoti sono le rette $x = -2$ e $y = 4$, e che il suo grafico passa per il punto $(0, 5)$.

La resistenza elettrica $R$ (in ohm, $\Omega$) di un filo conduttore di lunghezza costante è inversamente proporzionale all'area della sua sezione trasversale $S$ (in mm$^2$). Se per una sezione di $2 \text{ mm}^2$ la resistenza è di $0,02\ \Omega$, esprimi $R$ in funzione di $S$. Qual è la sezione minima del filo affinché la resistenza sia minore o uguale a $0,01\ \Omega$?

Un gruppo di 20 studenti di quarta superiore di Bologna organizza un viaggio di fine anno e noleggia un autobus a un prezzo fisso di $1\,200\text{ \euro}$, da dividere in parti uguali tra coloro che viaggiano. Prima di formalizzare la prenotazione, la dirigenza della scuola permette di aprire le iscrizioni a più studenti.

1. a) Prima di eseguire qualsiasi calcolo esatto: se il numero di partecipanti aumenta da 20 a 30 studenti (un aumento del $50\text{ \%}$), il costo individuale si ridurrà alla metà, a più della metà o a meno della metà del prezzo originale? Fai una stima qualitativa e motiva la tua risposta basandoti sulla relazione tra le grandezze.
2. b) Modella la funzione $P(x) = \frac{k}{x}$ che esprime il prezzo per studente in funzione del numero totale di partecipanti $x$. Calcola l'importo individuale per $x = 20$ e per $x = 30$, calcola la percentuale di riduzione reale che ottiene ciascun biglietto e verifica se la tua stima iniziale era corretta.
3. c) Se l'autobus ha una capacità massima di 55 posti, qual è il prezzo minimo possibile a persona? Potrebbe arrivare a essere $0\text{ \euro}$ se viaggiassero infiniti studenti? Interpreta questo limite mediante l'asintoto orizzontale della funzione.

In un tratto di cantiere di $30\text{ km}$ su una superstrada della Toscana, il gestore stradale stabilisce restrizioni temporanee. Il tempo $t$ (in ore) necessario per percorrere tale tratto dipende dalla velocità media $v$ (in $\text{km/h}$) a cui circola un veicolo secondo la relazione $t(v) = \frac{30}{v}$.

1. a) Giustifica perché $t$ e $v$ sono grandezze inversamente proporzionali e indica le unità di misura e il significato fisico della costante $k = 30$.
2. b) Analizza gli asintoti della funzione nel contesto di questo percorso: quale significato fisico avrebbe avvicinarsi all'asintoto verticale $v = 0$? E all'asintoto orizzontale $t = 0$? Spiega se è fisicamente possibile raggiungere uno dei due.
3. c) Un automobilista sostiene: «Se riduco la mia velocità da $120\text{ km/h}$ a $60\text{ km/h}$, il tempo che perdo è esattamente lo stesso che se la riduco da $60\text{ km/h}$ a $30\text{ km/h}$, perché in entrambi i casi ho dimezzato la velocità». Dimostra quantitativamente se la sua affermazione è vera o falsa calcolando i minuti di ritardo in ciascun caso, e spiega quale proprietà dell'iperbole fa sì che le perdite di tempo non siano uguali.

A partire dal grafico di questa iperbole traslata, determina le equazioni dei suoi asintoti, le coordinate del suo centro di simmetria e deduci la sua espressione algebrica nella forma $y = \frac{k}{x-a} + b$.

Esprimi la funzione razionale $y = \frac{2x+7}{x+3}$ nella forma $y = \frac{k}{x-a} + b$ eseguendo la divisione tra polinomi. Poi indica le equazioni dei suoi asintoti e le coordinate del suo centro di simmetria.

Trova analiticamente i punti di intersezione tra l'iperbole $y = \frac{-4}{x-1}$ e la retta $y = -x + 4$.

Una fabbrica di componenti elettronici ha costi fissi giornalieri di $500$ € per accendere i macchinari, e produrre ogni unità costa $2$ €. Scrivi la funzione del costo medio per unità $C_m(x)$ in funzione del numero di unità $x$ fabbricate al giorno. Trova i suoi asintoti e interpreta il significato dell'asintoto orizzontale nel contesto del problema.

Trova il valore della costante $k$ affinché l'iperbole $y = \frac{k}{x}$ sia tangente alla retta $y = -x + 6$ (cioè affinché si intersechino in un unico punto).

Un'iperbole della forma $y = \frac{k}{x-a} + b$ ha il suo centro di simmetria nel punto $(-1, 3)$ e interseca l'asse delle ascisse in $x = 1$. Trova la sua espressione algebrica e calcola il punto di intersezione con l'asse delle ordinate.

La distanza focale di una lente sottile convergente è di $20$ cm. La relazione tra la distanza dell'oggetto dalla lente $s_o$ e la distanza dell'immagine $s_i$ è data dall'equazione $\frac{1}{20} = \frac{1}{s_o} + \frac{1}{s_i}$. Esprimi $s_i$ in funzione di $s_o$. Che cosa succede alla distanza dell'immagine quando l'oggetto si avvicina a $20$ cm dalla lente da destra?

Determina il dominio, il codominio, gli asintoti e i punti di intersezione con gli assi della funzione $y = \frac{-3}{x+2} - 4$. Indica anche i suoi intervalli di crescenza e decrescenza.

Ti hanno chiesto di rappresentare e analizzare in dettaglio la funzione omografica $f(x) = \frac{3x - 1}{x - 2}$ individuando i suoi asintoti, il suo centro di simmetria e la sua monotonia. Due compagni propongono metodi diversi:

• Metodo 1 (Marco): Costruire una tabella con 10 valori di $x$ molto grandi (positivi e negativi) e alcuni molto vicini a $x = 2$, per intuire graficamente dove passano le rette a cui si avvicina la curva.

• Metodo 2 (Sara): Eseguire la divisione tra polinomi tra numeratore e denominatore per esprimere la funzione nella forma canonica $f(x) = \frac{k}{x-h} + v$, e dedurre direttamente le sue proprietà dalle trasformazioni geometriche.

1. a) Sviluppa il Metodo 2: esegui la divisione algebrica di $(3x - 1)$ per $(x - 2)$ e scrivi $f(x)$ nella forma $\frac{k}{x-h} + v$.
2. b) A partire dall'espressione canonica che hai ottenuto, indica con le dovute motivazioni le equazioni dei due asintoti, le coordinate esatte del centro di simmetria e deduci se la funzione è crescente o decrescente in ciascuno dei suoi due rami.
3. c) Valuta criticamente entrambi i metodi: spiega perché il metodo algebrico di Sara è superiore al metodo numerico di Marco per evitare errori di approssimazione e dedurre con certezza analitica il comportamento asintotico.

Si vuole ricostruire analiticamente un'iperbole traslata $g(x) = \frac{k}{x - h} + v$ a partire da una serie di condizioni geometriche e analitiche:

1. Il suo grafico interseca l'asse delle ascisse nel punto $(6, 0)$.

2. Il centro di simmetria della curva è il punto $(4, -2)$.

3. Il suo grafico interseca l'asse delle ordinate nel punto $(0, -3)$.

1. a) Determina con le dovute motivazioni i valori numerici dei parametri $h$, $v$ e della costante $k$.
2. b) Verifica algebricamente la condizione 1: imposta l'equazione $g(x) = 0$ con i valori ottenuti e risolvila per verificare che la sua soluzione è $x = 6$.
3. c) Dato che il centro di simmetria è $(h, v)$, calcola le coordinate del punto della curva simmetrico, rispetto a tale centro, del punto di intersezione con l'asse $Y$, $(0, -3)$, e verifica analiticamente che tale punto simmetrico soddisfa l'equazione di $g(x)$.