Esercizi: Sistemi di equazioni non lineari

Risolvi il seguente sistema di equazioni non lineari:

$y = x^2 - 4x$

$y = x - 6$

Trova la soluzione del sistema:

$x + y = 7$

$x \cdot y = 12$

Risolvi il sistema formato da un'equazione lineare e una quadratica:

$x - y = 2$

$x^2 + y^2 = 34$

Il prodotto di due numeri interi positivi è $156$ e uno di essi è il consecutivo dell'altro. Imposta un sistema di equazioni e trova tali numeri.

L'area di un tappeto rettangolare è $6 \text{ m}^2$ e il suo perimetro misura $10 \text{ m}$. Imposta un sistema di equazioni non lineari e calcola le dimensioni del tappeto.

Risolvi il seguente sistema:

$x^2 - y^2 = 16$

$x + y = 8$

La somma dei quadrati di due numeri è $25$ e uno di essi è minore dell'altro di $1$ unità. Imposta un sistema di equazioni e trova i numeri.

Trova la soluzione del sistema:

$\frac{x}{y} = 3$

$x^2 - y^2 = 32$

Sara cerca di risolvere il seguente sistema di equazioni non lineari, che descrive due numeri la cui differenza è $3$ e la somma dei cui quadrati è $29$:

Per farlo, ricava $x = y + 3$ dalla prima equazione e sostituisce nella seconda, scrivendo sul quaderno:

E conclude che l'unica soluzione è $y = \sqrt{10}$, $x = 3 + \sqrt{10}$.

1. a) Individua i due gravi errori concettuali commessi da Sara nel suo svolgimento e spiega in dettaglio perché sono scorretti.
2. b) Risolvi il sistema in modo corretto, mostrando tutti i passaggi algebrici, e indica tutte le coppie di soluzioni $(x, y)$ valide.

Vogliamo costruire un sistema di equazioni non lineari formato da una parabola con asse verticale della forma $y = x^2 + b$ e da una retta della forma $y = m\cdot x + n$.

1. a) Trova i valori dei parametri $b$, $m$ e $n$ affinché le uniche soluzioni del sistema siano esattamente i punti $(0, 2)$ e $(3, 11)$. Giustifica come deduci ciascun valore a partire dalle coordinate date.
2. b) Scrivi il sistema completo risultante e verifica algebricamente, risolvendolo con il metodo del confronto, che non esiste nessun altro punto di intersezione tra le due figure.

L'ipotenusa di un triangolo rettangolo misura $13 \text{ cm}$. Si sa che uno dei cateti misura $7 \text{ cm}$ in più dell'altro. Imposta un sistema di equazioni non lineari per calcolare la lunghezza dei due cateti.

La somma di due numeri è $15$ e la somma dei loro inversi è $\frac{5}{18}$. Imposta un sistema di equazioni e trova i numeri.

Risolvi il seguente sistema di equazioni:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4$

$x \cdot y = 18$

Un gruppo di studenti compra un regalo per un compagno per $120$ euro, da pagare in parti uguali. All'ultimo momento si aggiungono altri $2$ studenti, per cui ciascuno di quelli iniziali paga $3$ euro in meno. Quanti studenti c'erano all'inizio e quanto pagava ciascuno?

Un terreno rettangolare ha un'area di $600 \text{ m}^2$. Se si riduce la lunghezza di $5 \text{ m}$ e si aumenta la larghezza di $5 \text{ m}$, l'area rimane la stessa. Calcola le dimensioni originali del terreno.

Risolvi il seguente sistema che contiene un'equazione irrazionale:

$x + y = 10$

$\sqrt{x} - y = -4$

Il prodotto delle età di due fratelli è $96$. Tra $4$ anni, il prodotto delle loro età sarà $192$. Quali sono le loro età attuali?

L'area di un rombo è $24 \text{ cm}^2$ e la somma delle lunghezze delle sue diagonali è $14 \text{ cm}$. Determina la lunghezza di entrambe le diagonali impostando un sistema di equazioni.

In una scuola secondaria della Puglia si vuole recintare un orto scolastico rettangolare sfruttando un muro già esistente di $20\text{ m}$ di lunghezza, in modo che il muro faccia da uno dei lati e non necessiti di recinzione. Con uno stanziamento di bilancio sono stati acquistati esattamente $28\text{ m}$ di rete metallica per recintare gli altri tre lati (due lati perpendicolari al muro, di lunghezza $x$, e un lato parallelo al muro, di lunghezza $y$). Il dipartimento di Scienze richiede che la superficie totale coltivabile sia di $96\text{ m}^2$.

1. a) Prima di impostare il sistema, fai una stima ragionata: sapendo che il lato $y$ non può misurare più dei $20\text{ m}$ del muro disponibile, è possibile che il lato $x$ misuri meno di $4\text{ m}$ o più di $11\text{ m}$? Argomenta la tua risposta analizzando congiuntamente la recinzione disponibile e l'area richiesta.
2. b) Imposta il sistema di equazioni non lineari (perimetro e area) e risolvilo per sostituzione.
3. c) Verifica se le soluzioni matematiche ottenute sono coerenti con la tua stima iniziale e determina le dimensioni reali che può avere l'orto tenendo conto del limite fisico del muro.

Per risolvere il seguente sistema simmetrico di equazioni non lineari:

due studenti del secondo anno di liceo propongono strade diverse:

• Metodo di Laura (Sostituzione): ricavare $y = 15 - x$ dalla prima equazione, sostituire nella seconda, sviluppare il quadrato del binomio e risolvere l'equazione di secondo grado in $x$.

• Metodo di Marco (Prodotti notevoli): elevare al quadrato entrambi i membri della prima equazione per ottenere $(x + y)^2 = 225$, applicare lo sviluppo $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2\cdot x\cdot y$, sostituire $x^2 + y^2 = 117$ per calcolare direttamente il prodotto $x\cdot y$, e impostare a partire dalla somma $S$ e dal prodotto $P$ l'equazione $t^2 - S\cdot t + P = 0$.

1. a) Risolvi il sistema seguendo in dettaglio il metodo di Laura.
2. b) Risolvi il sistema seguendo in dettaglio il metodo di Marco.
3. c) Confronta i due procedimenti: quale dei due richiede calcoli aritmetici più semplici e presenta minor rischio di errori di segno? Giustifica quale sceglieresti se i numeri del testo fossero molto più grandi.

Un filo di $40 \text{ cm}$ di lunghezza viene tagliato in due pezzi. Con uno dei pezzi si forma un quadrato e con l'altro si forma un rettangolo la cui base è il doppio dell'altezza. Se la somma delle aree delle due figure è $48 \text{ cm}^2$, quanto misura ciascun pezzo di filo?

Un numero è formato da due cifre. Il prodotto di tali cifre è $18$. Se a quel numero si sottraggono $27$ unità, si ottiene un altro numero con le stesse cifre ma in ordine inverso. Qual è il numero originale? (Ricorda che un numero di due cifre $xy$ si esprime algebricamente come $10x + y$).

Risolvi il seguente sistema di equazioni simmetrico:

$x^2 + y^2 = 25$

$x \cdot y = 12$

Un'agenzia di viaggi organizza un'escursione per un costo totale di $600$ euro. Poco prima della partenza, $5$ persone annullano il viaggio, il che obbliga gli altri a pagare $4$ euro in più ciascuno per coprire il costo totale. Quante persone sono andate alla fine all'escursione e quanto ha pagato ciascuna?

In un parco si deve costruire un'area giochi rettangolare circondata da un camminamento di erba sintetica largo $1 \text{ m}$ lungo tutto il perimetro. L'area della zona giochi deve essere $48 \text{ m}^2$ e l'area totale (zona giochi più camminamento) deve essere $96 \text{ m}^2$. Imposta un sistema di equazioni per trovare le dimensioni della zona giochi.

Risolvi il seguente sistema di equazioni non lineari:

$x^2 - x \cdot y + y^2 = 7$

$x + y = 5$

Un ciclista percorre una distanza di $120 \text{ km}$ a velocità costante. Se avesse viaggiato $5 \text{ km/h}$ più veloce, avrebbe impiegato $2$ ore in meno per completare lo stesso percorso. Imposta un sistema di equazioni per calcolare la velocità del ciclista e il tempo impiegato.

Un contenitore cilindrico chiuso ha un'area totale (area laterale più le due basi) di $150\pi \text{ cm}^2$. Si sa inoltre che la somma del raggio di base e dell'altezza del cilindro è $15 \text{ cm}$. Calcola il raggio e l'altezza del contenitore. (Ricorda che l'area totale di un cilindro è $A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$).

Una cooperativa agricola della Puglia progetta l'installazione di una struttura rettangolare per pannelli solari destinati all'autoconsumo delle pompe dei suoi pozzi. La relazione tecnica impone tre condizioni di progetto:

1. Per motivi di resistenza strutturale e di ancoraggio dei cavi diagonali, la diagonale del rettangolo deve misurare esattamente $17\text{ m}$.

2. Per garantire la potenza di picco richiesta dai motori, la superficie di captazione solare deve essere esattamente di $120\text{ m}^2$.

3. Per evitare ombre proiettate tra file contigue di pannelli, secondo le tabelle di radiazione solare della zona, la lunghezza (lato maggiore, $x$) deve superare la larghezza (lato minore, $y$) di almeno $6\text{ m}$.

1. a) Imposta un sistema di equazioni non lineari che metta in relazione le dimensioni $x$ e $y$ a partire dalla diagonale e dall'area.
2. b) Risolvi il sistema applicando i prodotti notevoli per calcolare $(x+y)^2$ e $(x-y)^2$, deducendo tutte le possibili soluzioni matematiche delle dimensioni.
3. c) Interpreta i risultati ottenuti nel contesto del progetto e stabilisci se le dimensioni della struttura sono accettabili rispetto al vincolo tecnico della distanza minima per evitare le ombre. Giustifica la tua conclusione.

In un sistema di posizionamento e guida di droni, un drone di sorveglianza descrive una traiettoria parabolica data dall'equazione $y = x^2 - 4\cdot x + 7$, mentre un fascio di luce di segnalazione viene emesso in linea retta secondo l'equazione $y = 2\cdot x + k$, dove $k$ è un parametro reale che si può regolare variando l'inclinazione dell'emettitore.

1. a) Imposta il sistema di equazioni formato dalle due traiettorie e uguaglia le espressioni per ottenere un'equazione di secondo grado della forma $a\cdot x^2 + b\cdot x + c = 0$ dipendente da $k$.
2. b) Senza assegnare valori a caso a $k$, usa il discriminante ($\Delta = b^2 - 4\cdot a\cdot c$) per determinare analiticamente quale condizione deve soddisfare $k$ affinché:

• Il fascio di luce intersechi la traiettoria del drone in due punti distinti.

• Il fascio di luce non raggiunga mai la traiettoria del drone.

• Il fascio di luce sia tangente alla traiettoria del drone (un unico punto di contatto).

1. c) Per il valore di $k$ che produce la tangenza, calcola le coordinate esatte del punto di contatto $(x, y)$ e spiega quale significato geometrico ha il fatto che l'equazione quadratica associata abbia una radice doppia.