Esercizi: Parabola

Trova l'equazione canonica della parabola con vertice nell'origine delle coordinate e fuoco nel punto $F(0, 3)$.

Determina le coordinate del vertice, del fuoco e l'equazione della direttrice della parabola di equazione $y^2 = -10x$.

Scrivi l'equazione della parabola il cui vertice è il punto $V(2, -1)$ e la cui direttrice è la retta $x = 4$.

Determina il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dal punto $A(0, 4)$ e dalla retta orizzontale $y = -4$.

Calcola le coordinate dei punti di intersezione della parabola $x^2 = 4y$ con la retta bisettrice del primo quadrante $y = x$.

Stabilisci se l'equazione generale $y^2 - 4y - 6x + 10 = 0$ corrisponde a una parabola e, in caso affermativo, determina le coordinate del suo vertice.

Il profilo di un faro alogeno di automobile ha forma di parabola. Se la sua equazione rispetto a un sistema di riferimento centrato nel vertice è $y^2 = 12x$ (con le misure espresse in centimetri), a quale distanza dal vertice deve essere collocata la lampadina affinché i raggi di luce siano riflessi paralleli all'asse di simmetria?

Determina l'equazione della parabola con vertice nell'origine, asse di simmetria coincidente con l'asse delle ascisse e passante per il punto $P(-2, 4)$.

Alberto deve calcolare il fuoco e la retta direttrice della parabola la cui equazione ridotta è $y^2 = 12x$. Nel compito scrive:

«Poiché la forma canonica è $y^2 = 2px$, si deduce immediatamente che il parametro è $p = 12$. Pertanto, il fuoco si trova nel punto $F(12, 0)$ e l'equazione della retta direttrice è $x = -12$».

1. a) Individua l'errore concettuale commesso da Alberto nell'identificare il parametro $p$ e le sue conseguenze sugli elementi della parabola.
2. b) Spiega con parole tue che cosa rappresenta geometricamente il parametro $p$ rispetto alla distanza tra il fuoco e la direttrice.
3. c) Correggi la risoluzione deducendo in modo giustificato il valore reale di $p$, le coordinate corrette del fuoco $F$ e l'equazione della direttrice.

Costruisci l'equazione canonica di una parabola con vertice nell'origine $V(0, 0)$ sapendo che il suo asse di simmetria coincide con l'asse delle ascisse, che i suoi rami si aprono verso i valori negativi di $x$ e che la distanza geometrica tra il suo fuoco e la sua retta direttrice è esattamente di $8$ unità di lunghezza.

Una volta ottenuta l'equazione:

1. a) Determina le coordinate del suo fuoco $F$ e l'equazione della sua direttrice $d$.
2. b) Trova le coordinate del punto $P$ della parabola la cui ordinata è $y = 4$.
3. c) Dimostra numericamente, calcolando in modo esplicito le distanze $d(P, F)$ e $d(P, d)$, che tale punto soddisfa esattamente la definizione di luogo geometrico della parabola.

Data l'equazione generale della parabola $x^2 - 6x - 8y + 25 = 0$, completa i quadrati per esprimerla nella sua forma ridotta traslata e determina le coordinate del suo vertice, del suo fuoco e l'equazione della sua direttrice.

Trova l'equazione della retta tangente alla parabola $y^2 = 8x$ nel punto di ordinata $y = 4$.

Un arco parabolico di un ponte di pietra ha una luce (larghezza alla base) di $40\text{ m}$ e un'altezza massima di $10\text{ m}$. Calcola l'altezza a cui si trova l'arco a una distanza orizzontale di $8\text{ m}$ dal centro della base.

Determina il luogo geometrico dei centri delle circonferenze tangenti alla retta $y = -2$ e passanti contemporaneamente per il punto $P(0, 2)$. Identifica la conica ottenuta e descrivi i suoi elementi principali.

Il riflettore di un'antenna parabolica ha un diametro esterno di $2\text{ m}$ e una profondità massima di $0,25\text{ m}$. Determina a quale distanza dal vertice si trova il fuoco in cui deve essere collocato il ricevitore del segnale.

Determina l'equazione della parabola ad asse verticale passante per i punti $A(-1, 0)$, $B(1, -2)$ e $C(3, 4)$.

Studia la posizione reciproca della retta $r: 2x + y - 3 = 0$ e della parabola $y^2 = 4x$. Se si intersecano, determina la lunghezza esatta della corda che la retta individua intersecando la parabola.

Determina il valore del parametro $k$ affinché la retta $y = 2x + k$ sia tangente alla parabola $x^2 = 2y$.

Nella Piattaforma Solare di Almería si utilizzano collettori cilindro-parabolici per concentrare la radiazione solare diretta in un tubo ricevitore in cui scorre un fluido termico. La sezione trasversale dello specchio riflettore ha forma parabolica simmetrica rispetto all'asse verticale, con una larghezza di apertura superiore di $5,6\text{ m}$ e una profondità massima al centro di $1,4\text{ m}$.

1. a) Colloca il vertice nell'origine delle coordinate $V(0, 0)$ e modellizza il profilo del collettore determinandone l'equazione canonica della forma $x^2 = 2py$.
2. b) Applica la proprietà riflettente delle coniche per giustificare matematicamente a quale altezza esatta sopra il vertice del fondo deve essere fissato il tubo ricevitore per assorbire la massima quantità di radiazione solare parallela all'asse.
3. c) Se la direttrice della parabola rappresenta una quota di riferimento per la struttura meccanica inferiore, a quale distanza sotto il vertice si trova tale retta?

Considera la parabola con vertice traslato di equazione $(y - 2)^2 = 4(x + 1)$. Si traccia una corda focale perpendicolare al suo asse di simmetria (cioè il segmento che passa per il fuoco, ha gli estremi sulla parabola ed è perpendicolare a tale asse).

1. a) Stima in modo motivato la lunghezza di questa corda focale prima di calcolare le coordinate dei suoi estremi, basandoti esclusivamente sulla definizione di parabola come luogo geometrico e sulla distanza del fuoco dalla direttrice.
2. b) Determina analiticamente le coordinate del vertice $V$, del fuoco $F$, l'equazione della direttrice e le coordinate degli estremi $A$ e $B$ di tale corda focale.
3. c) Calcola la distanza euclidea esatta tra $A$ e $B$, verifica se coincide con la tua stima precedente e spiega perché, per qualsiasi parabola di parametro $p$, la lunghezza di tale corda focale perpendicolare all'asse (detta «latus rectum») misura sempre $2p$.

Determina le equazioni delle rette tangenti alla parabola $y^2 = 4x$ condotte dal punto esterno $P(-1, 0)$.

Utilizzando la definizione di parabola come luogo geometrico, determina l'equazione generale della parabola il cui fuoco è il punto $F(2, 3)$ e la cui direttrice è la retta obliqua $x + y - 1 = 0$.

Un cannone ad acqua lancia un getto la cui traiettoria descrive una parabola. L'acqua esce dall'origine delle coordinate e il getto raggiunge un'altezza massima di $15\text{ m}$ a una distanza orizzontale di $20\text{ m}$. Determina analiticamente se il getto d'acqua riuscirà a passare sopra un muro alto $10\text{ m}$ situato a $30\text{ m}$ di distanza orizzontale dal punto di uscita.

Data la parabola di equazione $y^2 = 2px$, dimostra analiticamente che il luogo geometrico delle proiezioni ortogonali del fuoco sulle infinite rette tangenti alla parabola è esattamente la retta tangente nel vertice.

Determina l'equazione della circonferenza che passa per il vertice della parabola $y^2 = 8x$ e per i due punti di intersezione di tale parabola con la retta verticale $x = 2$.

Determina le coordinate del punto della parabola $x^2 = 4y$ che si trova alla minima distanza possibile dalla retta $r: x - y - 4 = 0$. Calcola inoltre tale distanza minima.

Si considera uno specchio parabolico la cui sezione ha equazione $y^2 = 4x$. Un raggio di luce, parallelo all'asse delle ascisse, incide sullo specchio nel punto $P(1, 2)$. Dimostra in modo analitico che la retta che contiene il raggio riflesso passa esattamente per il fuoco della parabola.

Una parabola ha il vertice nel punto $V(1, 2)$ e il suo asse di simmetria è parallelo all'asse delle ordinate. Sapendo che la parabola è tangente alla retta $y = x - 1$, determina l'equazione generale di tale parabola e le coordinate esatte del suo fuoco.

Si vuole determinare l'equazione della retta tangente alla parabola $y^2 = 4x$ nel punto $P(1, 2)$ appartenente ad essa. Per risolvere questo problema si propongono due metodi concettualmente diversi:

• Metodo A (Algebrico): Scrivere il fascio di rette passanti per $P$, $y - 2 = m(x - 1)$, sostituire nell'equazione della parabola e richiedere che l'equazione di secondo grado risultante abbia una radice doppia imponendo che il suo discriminante sia nullo ($\Delta = 0$).

• Metodo B (Geometrico): Utilizzare la definizione di parabola. Essendo $F$ il fuoco e $D$ la proiezione ortogonale di $P$ sulla direttrice, la retta tangente è esattamente l'asse del segmento $FD$ (la retta perpendicolare a $FD$ passante per il suo punto medio).

1. a) Sviluppa completamente il Metodo A e ottieni il valore del coefficiente angolare $m$ e la retta tangente.
2. b) Sviluppa completamente il Metodo B: determina le coordinate di $F$ e di $D$, calcola il punto medio e il vettore direzionale dell'asse, e ottieni la retta tangente.
3. c) Confronta in modo critico i due procedimenti: argomenta quale risulta algebricamente più diretto e quale permette di comprendere meglio la proprietà ottica di riflessione sfruttata da fari e radiotelescopi.

Nel Complesso Spaziale di Maspalomas (Gran Canaria), un gruppo di ingegneri progetta un'antenna parabolica di ricezione satellitare orientata verso lo zenit (asse verticale). L'apertura circolare superiore dell'antenna ha un diametro di $12\text{ m}$. Per specifiche di progetto meccanico e di stabilità del braccio ricevitore, si richiede che il fuoco della parabola sia collocato esattamente alla stessa altezza del bordo perimetrale superiore del piatto.

1. a) Ponendo il vertice nell'origine delle coordinate $(0, 0)$, deduci con ragionamento il valore del parametro $p$, la profondità totale dell'antenna al centro e scrivi la sua equazione ridotta $x^2 = 2py$.
2. b) Un raggio di segnale verticale incidente colpisce la superficie riflettente a una distanza di $3\text{ m}$ dall'asse di simmetria (nel punto di ascissa $x = 3$). Determina il coefficiente angolare della retta tangente in tale punto (mediante derivate o imponendo il discriminante nullo) e deduci le componenti di un vettore normale perpendicolare alla superficie nel punto di impatto.
3. c) Dimostra analiticamente, utilizzando il prodotto scalare e la definizione del coseno dell'angolo tra due vettori, che l'angolo di incidenza formato dal raggio verticale con il vettore normale è identico all'angolo di riflessione formato dalla direzione verso il fuoco con tale vettore normale, dimostrando la legge fisica della riflessione per questo caso.