Esercizi: Indipendenza

Siano $A$ e $B$ due eventi di un esperimento aleatorio. Si sa che $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ e $P(A \cap B) = 0,2$. Determina analiticamente se gli eventi $A$ e $B$ sono indipendenti.

In un esperimento aleatorio, gli eventi $C$ e $D$ sono indipendenti. Se $P(C) = 0,6$ e $P(D) = 0,3$, calcola la probabilità che si verifichino entrambi gli eventi contemporaneamente, cioè trova $P(C \cap D)$.

Gli eventi $E$ e $F$ sono indipendenti. Sapendo che la probabilità della loro intersezione è $P(E \cap F) = 0,15$ e che $P(E) = 0,3$, trova la probabilità dell'evento $F$.

Si sa che la probabilità che si verifichi l'evento $G$ è $P(G) = 0,7$ e che la probabilità che si verifichi l'evento $H$ sapendo che si è verificato $G$ è $P(H|G) = 0,4$. Se $G$ e $H$ sono indipendenti, qual è il valore di $P(H)$?

Si lancia una moneta equilibrata due volte consecutive. Calcola la probabilità di ottenere "testa" al primo lancio e "croce" al secondo, supponendo che i lanci siano eventi indipendenti.

Da un mazzo di $40$ carte (mazzo spagnolo) si estrae una carta, se ne annota il seme, la si rimette nel mazzo, si mescola e si estrae una seconda carta. Calcola la probabilità che entrambe le carte estratte siano del seme di "denari".

Osserva il seguente diagramma ad albero che modella due esperimenti indipendenti. Calcola la probabilità che si verifichi l'evento $\overline{A}$ nella prima fase e l'evento $B$ nella seconda fase.

Due eventi $M$ e $N$ sono incompatibili (mutuamente esclusivi) e hanno probabilità strettamente maggiori di zero. Possono essere indipendenti? Giustifica la tua risposta utilizzando la definizione matematica di indipendenza.

Marco sta ripassando probabilità per la verifica e si trova davanti due eventi, $A$ e $B$, tali che $P(A) = 0,3$, $P(B) = 0,5$ e $P(A \cap B) = 0$. Sul quaderno scrive: «Poiché la probabilità dell'intersezione è zero, significa che i due eventi non hanno niente a che vedere l'uno con l'altro e, quindi, sono indipendenti». Spiega in dettaglio qual è l'errore concettuale di Marco, dimostra analiticamente se tali eventi sono o non sono indipendenti calcolando $P(A) \cdot P(B)$ ed enuncia la regola generale sulla relazione tra eventi incompatibili con probabilità positive e indipendenza.

Un ciclista percorre ogni giorno un viale in cui deve attraversare due semafori i cui cicli sono regolati in modo del tutto indipendente. La probabilità di trovare il primo semaforo verde è $P(S_1) = 0,7$ e quella di trovare il secondo verde è $P(S_2) = 0,6$.

1. a) Prima di fare qualsiasi calcolo, stima in modo argomentato: la probabilità di trovare almeno uno dei due semafori verde ($P(S_1 \cup S_2)$) sarà maggiore di $0,7$, minore di $0,6$ o compresa tra $0,6$ e $0,7$? Perché?
2. b) Utilizza la formula dell'unione per eventi indipendenti per calcolare il valore esatto di $P(S_1 \cup S_2)$ e verifica se la tua stima iniziale era corretta, interpretando il risultato.

In una gara di tiro con l'arco, l'arciera Alpha ha una probabilità $0,8$ di colpire il centro del bersaglio, mentre l'arciere Beta ha una probabilità $0,7$. Se entrambi scoccano una freccia in modo del tutto indipendente, calcola la probabilità che entrambi colpiscano il centro del bersaglio.

Due macchine, $M_1$ e $M_2$, confezionano prodotti lattiero-caseari in una fabbrica e funzionano in modo indipendente. La probabilità che la macchina $M_1$ si guasti in un giorno di produzione è $0,05$, e quella della macchina $M_2$ è $0,08$. Calcola la probabilità che, in un dato giorno, almeno una delle due macchine si guasti.

In una città costiera, la probabilità che sabato piova è del $40\%$ e la probabilità che domenica piova è del $30\%$. Supponendo che il tempo di domenica sia indipendente da quello di sabato, trova la probabilità che piova durante il fine settimana (cioè che piova sabato, domenica o entrambi i giorni).

In uno studio statistico sulle abitudini di lettura sono state intervistate $200$ persone. I risultati mostrano che $120$ leggono abitualmente e $80$ no. Inoltre, $90$ degli intervistati hanno un'istruzione universitaria, dei quali $54$ leggono abitualmente. Verifica matematicamente se gli eventi "leggere abitualmente" e "avere un'istruzione universitaria" sono indipendenti in questo campione.

Sono date due urne con la composizione mostrata in figura. Si estrae a caso una pallina dall'urna $A$ e, in modo indipendente, un'altra pallina dall'urna $B$. Calcola la probabilità che le due palline estratte siano dello stesso colore.

Siano $A$ e $B$ due eventi indipendenti associati a un esperimento aleatorio. Si sa che la probabilità dell'unione è $P(A \cup B) = 0,88$ e che la probabilità di $A$ è $P(A) = 0,6$. Calcola la probabilità dell'evento $B$.

In un ospedale, un paziente si sottopone a due test diagnostici indipendenti per rilevare un'allergia respiratoria. Il test $X$ dà un falso negativo (non rileva l'allergia quando il paziente ne soffre) con probabilità $0,15$. Il test $Y$ dà un falso negativo con probabilità $0,10$. Se il paziente analizzato è realmente allergico, qual è la probabilità che nessuno dei due test rilevi la sua allergia?

Uno studente deve sostenere un esame a risposta multipla. La probabilità che conosca la risposta corretta a una domanda di Storia è $0,7$, e la probabilità che conosca la risposta a una di Geografia è $0,8$. Se gli vengono poste una domanda per materia e le sue conoscenze su di esse sono indipendenti, qual è la probabilità che sappia rispondere esattamente a una delle due domande?

In un'abitazione viene installato un sistema di sicurezza ridondante con due sensori indipendenti, $A$ e $B$. Il produttore garantisce che il sensore $A$ ha una probabilità di rilevare un intruso pari a $P(A) = 0,8$. La normativa di sicurezza richiede che la probabilità totale che scatti l'allarme (cioè che si attivi almeno uno dei due sensori, $P(A \cup B)$) sia esattamente $0,96$. Sapendo che i due dispositivi operano in modo indipendente, imposta l'equazione corrispondente a partire dalla formula dell'unione e determina quale probabilità di rilevazione $P(B)$ deve avere almeno il sensore $B$ per rispettare tale normativa.

Sulla base dei registri storici di una stazione meteorologica del nord Italia raccolti durante l'autunno, si stima che in un giorno qualsiasi la probabilità di pioggia sia $P(L) = 0,60$ e la probabilità di registrare forti raffiche di vento sia $P(V) = 0,40$. Inoltre, i dati rivelano che piove e c'è forte vento contemporaneamente nel $30\,\%$ delle giornate ($P(L \cap V) = 0,30$).

1. a) Determina in modo rigoroso, mediante la definizione matematica, se gli eventi «piovere» e «esserci forte vento» sono statisticamente indipendenti in tale zona.
2. b) Un vicino sostiene: «Poiché in autunno le perturbazioni portano insieme vento e pioggia, i due fenomeni non possono essere indipendenti». Spiega se il risultato numerico ottenuto nel punto precedente sostiene l'affermazione del vicino, confrontando la sovrapposizione reale con quella attesa se fossero indipendenti.

Un sistema di sicurezza bancaria ad alta tecnologia è composto da tre sensori di movimento che operano in modo del tutto indipendente. Le probabilità che ciascun sensore rilevi un intruso che entra nel caveau sono $0,90$, $0,85$ e $0,95$, rispettivamente. Calcola la probabilità che il sistema rilevi un intruso (cioè che almeno un sensore si attivi).

Si considerino due eventi $A$ e $B$ di uno stesso spazio campionario tali che $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,4$ e $P(A \cup B) = 0,8$. Dimostra analiticamente che gli eventi $A$ e $B$ non sono indipendenti e, successivamente, calcola la probabilità condizionata $P(A|B)$.

Un circuito elettronico per un satellite di comunicazione è formato da tre componenti $A$, $B$ e $C$ disposti come mostra il diagramma. Il circuito funziona correttamente se il componente $A$ funziona E, inoltre, funziona almeno uno dei componenti $B$ o $C$. I tre componenti si guastano in modo indipendente con probabilità $P(F_A) = 0,02$, $P(F_B) = 0,1$ e $P(F_C) = 0,1$. Calcola la probabilità che il circuito nel suo insieme funzioni correttamente.

In una scuola di lingue si offrono corsi di Francese e Tedesco. Il $60\%$ degli studenti studia Francese. Si sa che gli eventi "studiare Francese" e "studiare Tedesco" sono del tutto indipendenti. Se la probabilità che uno studente scelto a caso non studi nessuna delle due lingue è del $12\%$, determina quale percentuale degli studenti della scuola studia Tedesco.

Una scatola contiene $3$ gettoni verdi (V) e $2$ gettoni arancioni (N). Si effettuano due estrazioni consecutive. Analizza i diagrammi ad albero corrispondenti all'esperimento con reinserimento (Pannello A) e senza reinserimento (Pannello B). Calcola la probabilità di estrarre un gettone verde alla seconda estrazione in entrambi i casi e spiega matematicamente in quale dei due scenari il risultato della seconda estrazione è indipendente da quello della prima.

Dimostra analiticamente che, se due eventi $A$ e $B$ sono indipendenti, allora anche i loro eventi contrari $\overline{A}$ e $\overline{B}$ sono indipendenti. Usa a tal fine le proprietà algebriche della probabilità e la definizione fondamentale di indipendenza.

In un incrocio genetico mendeliano, il colore del seme (giallo dominante, verde recessivo) e la sua consistenza (liscio dominante, rugoso recessivo) si ereditano in modo assolutamente indipendente. Se si incrociano due piante eterozigoti per entrambi i caratteri, la probabilità di ereditare l'allele recessivo da ciascun genitore per un singolo gene è $0,5$. Calcola la probabilità che una pianta discendente scelta a caso abbia contemporaneamente semi verdi e rugosi.

Due amiche, Carmen e Daniela, lanciano alternativamente un dado equilibrato a sei facce in un gioco. Vince la partita la prima giocatrice che ottiene un $6$. Se Carmen ha il primo turno e i lanci sono indipendenti, calcola la probabilità esatta che Carmen vinca il gioco al suo primo o al suo secondo lancio.

Il servizio informatico di un assessorato all'istruzione dispone di 4 server di riserva identici e indipendenti per gestire le richieste di iscrizione telematica. Nel giorno di apertura, la probabilità che un determinato server vada in blocco per sovraccarico è $p = 0,15$. Il sistema generale resta accessibile finché «almeno uno dei quattro server rimane operativo».

Per calcolare la probabilità che il sistema resti accessibile, due tecnici propongono metodi diversi:

• Belén suggerisce di calcolare separatamente e sommare le probabilità che funzionino esattamente 1, esattamente 2, esattamente 3 e tutti e 4 i server.

• Carlos propone di calcolare la probabilità che tutti e 4 i server si guastino contemporaneamente e sottrarre tale valore a $1$.

1. a) Confronta in modo motivato i due metodi spiegando quale è più vantaggioso e perché in questo caso.
2. b) Applica la strategia più efficiente per calcolare la probabilità esatta (con quattro cifre decimali) che il sistema informatico non vada in blocco.

In un laboratorio farmaceutico si valutano due analisi indipendenti, $T_1$ e $T_2$, per identificare un composto chimico in un campione. L'analisi $T_1$ ha una probabilità di rilevazione del $70\,\%$ ($P(T_1) = 0,7$), mentre l'analisi $T_2$ ha una probabilità incognita $p = P(T_2)$.

Il ricercatore Diego afferma nel suo rapporto preliminare: «Per ottenere che la probabilità di rilevare il composto con almeno una delle due analisi sia del $95\,\%$, basta che $T_2$ abbia una probabilità di rilevazione di $0,25$, dato che $0,70 + 0,25 = 0,95$».

1. a) Individua e spiega l'errore concettuale commesso da Diego ignorando l'indipendenza delle analisi.
2. b) Imposta l'equazione corretta nell'ipotesi di indipendenza e ricava il valore esatto della probabilità $p = P(T_2)$ che serve realmente per raggiungere il $95\,\%$ di efficacia combinata.
3. c) Se il produttore del test $T_2$ commercializza solo una versione standard con $P(T_2) = 0,80$, calcola qual è la massima probabilità reale di rilevazione combinata ($P(T_1 \cup T_2)$) raggiungibile usando entrambe le analisi insieme.