Esercizi: Frazioni algebriche

Semplifica la seguente frazione algebrica raccogliendo a fattor comune al numeratore e al denominatore: $\frac{4x^3 - 2x^2}{6x^2 - 2x}$

Verifica, eseguendo i prodotti incrociati, se le frazioni algebriche $\frac{x-3}{x+1}$ e $\frac{x^2-9}{x^2+4x+3}$ sono equivalenti.

Esegui la seguente somma di frazioni algebriche e semplifica il risultato: $\frac{3x+2}{x-2} + \frac{-x-6}{x-2}$

Moltiplica le seguenti frazioni algebriche e scrivi il risultato nella forma più semplificata possibile: $\frac{x}{x+2} \cdot \frac{x^2-4}{x^2}$

Esegui la divisione di frazioni algebriche e semplifica: $\frac{2x+2}{x-1} : \frac{4x+4}{x^2-1}$

Calcola il valore numerico della frazione algebrica $\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 + 1}$ per $x = -2$.

Semplifica la seguente frazione algebrica applicando i prodotti notevoli: $\frac{x^2 - 25}{x^2 - 10x + 25}$

Esegui la seguente operazione e semplifica il risultato: $\frac{x^2+5x}{x+3} - \frac{x^2-9}{x+3}$

Lucia deve semplificare la frazione algebrica $\dfrac{x^2+4x}{x^2+6x+8}$ in una verifica e scrive sul suo foglio quanto segue:

1. a) Individua l'errore concettuale commesso da Lucia nel primo passaggio e spiega in dettaglio perché non è matematicamente valido cancellare il termine $x^2$. Fornisci un semplice controesempio numerico (usando una frazione con numeri concreti e somme) che dimostri che cancellare gli addendi porta a un risultato errato.
2. b) Risolvi la semplificazione in modo corretto scomponendo in fattori numeratore e denominatore, e indica quali valori di $x$ non appartengono al dominio della frazione originale.

Trova una frazione algebrica $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ che soddisfi contemporaneamente le tre condizioni seguenti:

1) La sua forma semplificata ridotta ai minimi termini è $\dfrac{2}{x-5}$.

2) Gli unici valori che non appartengono al suo dominio (valori esclusi) sono $x = 5$ e $x = -3$.

3) I polinomi $P(x)$ e $Q(x)$ devono essere completamente sviluppati nella risposta finale (senza prodotti indicati né fattori tra parentesi).

Spiega passo passo come hai dedotto il numeratore e il denominatore a partire dalle restrizioni di dominio date.

Semplifica la seguente frazione algebrica scomponendo prima in fattori il numeratore e il denominatore: $\frac{x^3 - 4x^2 + 4x}{x^3 - 2x^2 - 4x + 8}$

Esegui le seguenti operazioni riducendo allo stesso denominatore e semplifica il risultato: $\frac{2}{x-1} + \frac{x}{x+1} - \frac{2x}{x^2-1}$

La base di un pannello solare rettangolare misura $x+5$ metri e la sua altezza misura $x-5$ metri. Il lato di un pannello solare quadrato misura $x$ metri. Scrivi la frazione algebrica che rappresenta il rapporto tra l'area del pannello rettangolare e l'area del pannello quadrato. Calcola il valore numerico di questa frazione se $x = 10$ metri.

Un rubinetto dell'acqua calda impiega $x$ ore a riempire una vasca da bagno, mentre il rubinetto dell'acqua fredda ne impiega $x+3$. Scrivi una frazione algebrica semplificata che rappresenti la parte di vasca che si riempie in un'ora se si aprono entrambi i rubinetti contemporaneamente.

Esegui la seguente operazione combinata con frazioni algebriche e semplifica il risultato: $\left( \frac{1}{x} - \frac{2}{x+2} \right) : \frac{x-2}{x^2+2x}$

Il costo totale in euro per produrre $x$ biciclette è dato dal polinomio $C(x) = 3x^2 + 150x$. I ricavi totali in euro dalla vendita di quelle $x$ biciclette sono espressi dal polinomio $I(x) = 5x^2 + 200x$. Scrivi la frazione algebrica ridotta ai minimi termini che rappresenta il rapporto tra i ricavi e i costi.

Esegui la seguente sottrazione di frazioni algebriche e semplifica al massimo: $\frac{x^2+x}{x^2-1} - \frac{x}{x-1}$

Un treno percorre una distanza di $120$ km a una velocità costante di $v$ km/h. Nel viaggio di ritorno, a causa della pioggia, la sua velocità diminuisce di $10$ km/h. Scrivi la frazione algebrica che rappresenta il tempo totale del viaggio di andata e ritorno in funzione di $v$, riducendo a un'unica frazione.

Per calcolare e semplificare la sottrazione $\dfrac{x}{x^2-9} - \dfrac{1}{2x+6}$, due studenti di primo biennio propongono strategie diverse:

• Marco propone di moltiplicare direttamente i due denominatori tra loro per trovare un denominatore comune: $(x^2-9) \cdot (2x+6) = 2x^3+6x^2-18x-54$.

• Giulia propone di scomporre prima in fattori ciascun denominatore, ottenendo $x^2-9 = (x-3)(x+3)$ e $2x+6 = 2(x+3)$, per calcolare da lì il minimo comune multiplo ($\text{mcm}$).

1. a) Confronta i due procedimenti e giustifica quale dei due è preferibile per ridurre al minimo la difficoltà dei calcoli ed evitare polinomi di grado inutilmente alto.
2. b) Esegui l'operazione seguendo il metodo più conveniente, semplifica il risultato fino a ottenere una frazione ridotta ai minimi termini e indica quali valori di $x$ devono essere esclusi dall'espressione.

Considera l'espressione algebrica $F(x) = \dfrac{3x^2 - 5x}{x^2 - 1} - 3$.

1. a) Stima: prima di metterti a operare con carta e penna, analizza mentalmente che cosa succede quando la variabile $x$ assume un valore positivo enorme (per esempio $x = 100\,000$). Verso quale valore pensi che tenda il quoziente $\dfrac{3x^2-5x}{x^2-1}$ trascurando i termini di grado inferiore? Sulla base di questa deduzione, stima in modo motivato a quale valore tenderà $F(x)$ per numeri molto grandi e se ti aspetti che il risultato sia leggermente positivo o leggermente negativo.
2. b) Verifica: riduci la sottrazione allo stesso denominatore, esegui le operazioni al numeratore e semplifica $F(x)$ in un'unica frazione algebrica ridotta ai minimi termini.
3. c) Sostituisci $x = 100$ nella frazione semplificata ottenuta al punto b), calcola il suo valore decimale e ragiona se conferma la stima che hai formulato al punto a).

Esegui e semplifica il più possibile la seguente espressione: $\frac{x^2-1}{x^2+2x+1} \cdot \left( \frac{2x}{x-1} - \frac{x+1}{x} \right)$

Determina il valore del parametro $k$ affinché la frazione algebrica $\frac{x^2 - kx + 10}{x-5}$ si possa semplificare (cioè affinché il numeratore sia divisibile per il denominatore). Una volta trovato $k$, scrivi l'espressione semplificata.

Trova il polinomio $P(x)$ che rende vera la seguente uguaglianza tra frazioni algebriche: $\frac{x^2-9}{P(x)} = \frac{x-3}{x^2+2x}$

Si vuole costruire una scatola senza coperchio a partire da un foglio rettangolare di cartone di dimensioni $x+6$ e $x+4$ centimetri, ritagliando quadrati di $2$ cm di lato nei quattro angoli e piegando le alette. Scrivi la frazione algebrica ridotta ai minimi termini che rappresenta il rapporto tra il volume della scatola e l'area della sua base.

Dimostra, operando e semplificando le frazioni algebriche, che la seguente espressione è uguale a $2ab$: $\frac{a^3-b^3}{a-b} - \frac{a^3+b^3}{a+b}$

In un laboratorio di chimica si mescolano $x$ litri di una soluzione A, il cui costo è di $\frac{20}{x}$ euro al litro, con $x+4$ litri di una soluzione B, il cui costo è di $\frac{30}{x+4}$ euro al litro. Scrivi la frazione algebrica che rappresenta il prezzo al litro della soluzione risultante, semplificando al massimo l'espressione.

Semplifica la seguente espressione algebrica a "castello di frazioni": $1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x-1}}$

Un atleta corre su una pista circolare. Durante la prima metà del percorso corre a una velocità di $v$ m/s e durante la seconda metà corre a una velocità di $v-2$ m/s. Sapendo che la velocità media dell'intero percorso si calcola come lo spazio totale diviso il tempo totale, dimostra mediante frazioni algebriche che la velocità media è $\frac{2v(v-2)}{2v-2}$ m/s.

Un treno regionale percorre un tragitto di andata e ritorno tra due città collegate da una linea ferroviaria lunga $120\text{ km}$. Nel viaggio di andata circola a una velocità costante $v$ (in $\text{km/h}$), mentre nel viaggio di ritorno circola a una velocità maggiore, pari a $(v + 20)\text{ km/h}$.

1. a) Sapendo che il tempo si calcola come quoziente tra distanza e velocità, scrivi la frazione algebrica che rappresenta il tempo totale del viaggio di andata e ritorno, $T(v)$, sommando i tempi dei due tragitti mediante il minimo comune multiplo dei loro denominatori.
2. b) La velocità media complessiva dell'intero tragitto si definisce come la distanza totale percorsa divisa per il tempo totale impiegato: $V_m(v) = \dfrac{240}{T(v)}$. Semplifica questa frazione complessa e dimostra che la velocità media complessiva si può esprimere come $V_m(v) = \dfrac{v(v+20)}{v+10}$.
3. c) Un viaggiatore afferma: «Poiché all'andata siamo andati a $v$ e al ritorno a $v+20$, la velocità media del viaggio completo è esattamente la media aritmetica ordinaria: $\dfrac{v + (v+20)}{2} = v + 10$». Dimostra algebricamente, calcolando la differenza $V_m(v) - (v+10)$ in un'unica frazione ridotta ai minimi termini, che tale affermazione è falsa e deduci se la vera velocità media complessiva è sempre strettamente maggiore o minore di tale media aritmetica per qualsiasi velocità $v > 0$.

Elena risolve alla lavagna la seguente operazione combinata:

Sul suo quaderno annota i seguenti passaggi:

• Passo 1: Sottrae dentro la parentesi: $\dfrac{x(x+1)-2(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{x^2-x+2}{x^2-1}$.

• Passo 2: Trasforma la divisione in prodotto invertendo la seconda frazione: $\dfrac{x^2-x+2}{x^2-1} \cdot \dfrac{x^2-1}{x^2+x-2}$.

• Passo 3: Cancella il blocco $(x^2-1)$ presente al numeratore e al denominatore: $\dfrac{x^2-x+2}{x^2+x-2}$.

• Passo 4: Cancella $x^2$ con $x^2$, divide $\dfrac{-x}{x} = -1$ e $\dfrac{2}{-2} = -1$, deducendo che il risultato finale è $1$.

• Passo 5: Afferma che l'espressione si può valutare in qualsiasi numero reale tranne $x = 1$ e $x = -1$.

1. a) Elena ha commesso due errori concettuali gravi: uno algebrico nel Passo 4 e uno di analisi del dominio nel Passo 5 (relativo alla divisione di frazioni). Spiega in che cosa consiste ciascun errore e perché invalida il suo ragionamento.
2. b) Risolvi correttamente l'esercizio a partire dal Passo 3 scomponendo in fattori i polinomi dove possibile e determina l'elenco completo di tutti i valori di $x$ per i quali l'espressione originale non ha senso matematico.