Esercizi: Scomposizione in fattori e regola di Ruffini

Applica la regola di Ruffini per dividere il polinomio $P(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ per il binomio $(x - 2)$. Indica chiaramente qual è il polinomio quoziente e qual è il resto della divisione.

Senza eseguire la divisione, utilizza il teorema del resto per calcolare il resto che si ottiene dividendo il polinomio $P(x) = 2x^4 - x^3 + 5x - 3$ per $(x + 1)$.

Utilizza il teorema del fattore per verificare se $x = 3$ è una radice del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$. Giustifica la tua risposta mostrando i calcoli.

Raccogli a fattor comune nel seguente polinomio, semplificando al massimo l'espressione:

$P(x) = 15x^5 - 10x^4 + 20x^3$

Scomponi in fattori i seguenti polinomi riconoscendo in essi lo sviluppo di prodotti notevoli (quadrato di un binomio, somma per differenza):

1. a) $A(x) = x^2 - 14x + 49$
2. b) $B(x) = 9x^2 - 16$

Sapendo che $x = 1$ è una delle radici del polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$, utilizza la regola di Ruffini per scomporlo in fattori e trovare le altre due radici.

Dato il polinomio già scomposto $P(x) = 2x(x + 5)(x - 4)^2$, indica direttamente quali sono tutte le sue radici e specifica la molteplicità di ciascuna (se sono semplici, doppie, ecc.).

Costruisci un polinomio di grado 3 che abbia come radici $x_1 = -2$, $x_2 = 0$ e $x_3 = 4$ e il cui coefficiente direttivo sia $1$. Esprimi il risultato finale in forma sviluppata (eseguendo i prodotti dei fattori).

Matteo deve determinare se il binomio $(x + 2)$ è un fattore del polinomio $P(x) = x^3 - 3x + 2$. Per verificarlo, decide di applicare la regola di Ruffini e scrive nella riga superiore della sua tabella soltanto i numeri $1$, $-3$ e $2$. Nella casella laterale a sinistra colloca il valore $-2$. Dopo aver operato, ottiene un resto diverso da zero e afferma: «Poiché il resto non è nullo, $(x + 2)$ non divide il polinomio e, quindi, non è un fattore».

1. a) Individua i due errori commessi da Matteo (uno di procedimento nel preparare la tabella e uno nella sua conclusione).
2. b) Spiega perché è indispensabile inserire uno zero al posto dei termini mancanti quando si applica questo metodo.
3. c) Esegui la divisione in modo corretto utilizzando la regola di Ruffini e determina in modo motivato se $(x + 2)$ è in realtà un fattore di $P(x)$, indicando il quoziente ottenuto.

Per scomporre in fattori il polinomio $Q(x) = 3x^4 - 12x^2$, due compagni di classe propongono due strategie diverse:

• Strategia di Alba: Cercare i divisori interi del termine noto e applicare successivamente la regola di Ruffini.

• Strategia di Bruno: Raccogliere prima il massimo fattore comune possibile e, poi, applicare i prodotti notevoli.

1. a) Spiega quale ostacolo insormontabile incontra Alba se prova ad applicare la sua strategia così come l'ha formulata.
2. b) Giustifica perché la proposta di Bruno è più rapida, sicura e adatta a questo tipo di polinomi.
3. c) Applica il metodo di Bruno per scomporre completamente $Q(x)$, deducendo tutte le sue radici reali e la molteplicità di ciascuna.

Un serbatoio d'acqua ha la forma di un prisma rettangolare. Il suo volume in funzione di una misura $x$ è dato dal polinomio $V(x) = x^3 + 5x^2 + 6x$. Se l'altezza del serbatoio è esattamente $x$, scomponi in fattori il polinomio per trovare le espressioni algebriche che corrispondono alle dimensioni della sua base rettangolare.

Trova il valore del parametro $k$ affinché il polinomio $P(x) = x^3 + kx^2 - 3x + 8$ dia resto $10$ quando viene diviso per $(x - 2)$.

L'altezza di un vagone di una montagna russa, in metri, rispetto al tempo $t$ in secondi dall'inizio di una discesa, è modellizzata dal polinomio $H(t) = -t^3 + 8t^2 - 15t$. Scomponi in fattori il polinomio per determinare in quali istanti esatti di tempo il vagone si trova a livello del suolo ($H(t) = 0$).

Scomponi completamente in fattori il polinomio $P(x) = 2x^4 - 2x^3 - 12x^2$. Per farlo, raccogli prima il fattore comune e poi trova le radici del polinomio risultante.

Calcola il valore di $m$ affinché il polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 + mx + 6$ sia esattamente divisibile per $(x - 3)$. Una volta trovato il valore di $m$, scomponi completamente in fattori il polinomio $P(x)$.

Il numero di visite a un sito web (in migliaia) durante il mese $x$ dal suo lancio è dato dall'espressione $V(x) = x^3 - 14x^2 + 49x$. Scomponi in fattori l'espressione per scoprire in quale mese o in quali mesi le visite sono state esattamente zero.

Esegui la divisione del polinomio $P(x) = 4x^3 - 8x^2 + 5x - 1$ per il binomio $(2x - 3)$. Suggerimento: Puoi usare la regola di Ruffini dividendo per $(x - \frac{3}{2})$ e aggiustando poi il quoziente ottenuto.

Un'azienda di imballaggi progetta una scatola di cartone il cui volume è dato dal polinomio $V(x) = x^3 - 12x^2 + 36x$. Scomponi al massimo il polinomio per esprimere il volume come prodotto di tre dimensioni lineari (lunghezza, larghezza e altezza).

Si vuole scomporre in fattori il polinomio $P(x) = x^3 + 4x^2 - 11x - 30$.

1. a) Elenca tutti i candidati radici intere a partire dai divisori del termine noto.
2. b) Stima prima di calcolare: Osserva i candidati di maggior valore assoluto ($\pm 15$ e $\pm 30$). Senza applicare la regola di Ruffini, confronta mentalmente la grandezza di $x^3$ con la somma degli altri termini e spiega perché è estremamente improbabile che numeri così lontani dall'origine siano radici di questo polinomio. In quale intervallo ti aspetteresti di trovare le radici?
3. c) Utilizza il teorema del resto valutando solo i candidati più vicini a zero ($\pm 1, \pm 2, \pm 3$) per trovare una prima radice senza dover tracciare inutili tabelle di Ruffini.
4. d) Completa la scomposizione di $P(x)$ mediante la regola di Ruffini a partire dalla radice trovata, indica tutte le radici reali e rifletti su come la stima iniziale permetta di risparmiare calcoli infruttuosi.

Un'azienda logistica di Bologna che opera nell'interporto progetta container per il trasporto intermodale su ferrovia. Il volume di carico utile di ciascun container (in metri cubi, $\text{m}^3$) è dato dal polinomio $V(x) = 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6$, dove la variabile $x$ è una quota tecnica di progetto in metri, soggetta alla condizione $x > 3$.

1. a) Applica la regola di Ruffini per scomporre $V(x)$ nel prodotto di tre binomi di primo grado, che rappresenteranno le tre dimensioni spaziali del container (lunghezza, larghezza e altezza).
2. b) Se l'altezza del container è rappresentata dall'espressione $(2x - 1)\text{ m}$, quali sono le espressioni algebriche delle altre due dimensioni che formano la base?
3. c) Se gli ingegneri fissano il parametro a $x = 4\text{ m}$, calcola le dimensioni metriche reali del container, il suo volume totale in $\text{m}^3$ e in litri, e verifica di ottenere lo stesso risultato usando l'espressione polinomiale sviluppata e quella scomposta.

Un gruppo di ingegneri analizza la distribuzione delle tensioni in una trave di metallo, modellizzata dal polinomio $P(x) = x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$. Trova tutte le radici del polinomio per determinare i punti esatti in cui la tensione è nulla.

Determina i valori dei parametri $a$ e $b$ affinché il polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 4x + 4$ sia divisibile contemporaneamente per $(x - 1)$ e per $(x + 2)$.

Un pannello solare ha forma rettangolare e la sua area è data dal polinomio $A(x) = x^4 - 81$. Scomponi completamente il polinomio in polinomi irriducibili a coefficienti reali per trovare le possibili espressioni algebriche della sua base e della sua altezza.

Costruisci un polinomio $P(x)$ di grado 3 che abbia come radici $x_1 = 1$, $x_2 = -2$ e $x_3 = 3$, sapendo inoltre che il suo valore numerico in $x = 0$ è $12$ (cioè $P(0) = 12$). Esprimi il polinomio finale in forma sviluppata.

Scomponi completamente in fattori il polinomio $P(x) = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4$. Tieni presente che può contenere radici multiple. Indica chiaramente quali sono le sue radici e la molteplicità di ciascuna.

Utilizzando la scomposizione di polinomi e i prodotti notevoli, dimostra algebricamente che la differenza tra i quadrati di due numeri dispari consecutivi, $(2n+1)^2 - (2n-1)^2$, è sempre un multiplo di $8$ per qualsiasi numero intero $n$.

Si sa che il polinomio $P(x) = 2x^3 + x^2 - 13x + 6$ ha almeno una radice intera. Verifica mediante il teorema del resto o la regola di Ruffini che $x = 2$ è una delle sue radici. Poi scomponi completamente in fattori il polinomio per trovare le sue altre due radici (una delle quali è una frazione).

In un sistema di crittografia, una chiave di sicurezza viene convalidata se coincide con le radici del polinomio $C(x) = x^5 - 4x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 5x + 2$. Scomponi completamente in fattori il polinomio per scoprire tutte le radici e le rispettive molteplicità, riuscendo così a decifrare il codice.

Trova l'espressione analitica di un polinomio $P(x)$ di grado 4 che soddisfi contemporaneamente le seguenti quattro condizioni:

1. Il suo coefficiente direttivo è uguale a $2$.

2. Ammette $x = -1$ come radice di molteplicità 2.

3. È esattamente divisibile per il binomio $(x - 2)$.

4. Dividendo $P(x)$ per $(x + 2)$, il resto ottenuto è $-48$.

Per risolverlo in modo ragionato:

1. a) Scrivi la struttura fattorizzata generale di $P(x)$ lasciando indicata una quarta radice incognita $r$.
2. b) Applica il teorema del resto con la condizione 4 per impostare un'equazione di primo grado e ricavare il valore esatto della radice $r$.
3. c) Scrivi la scomposizione completa e definitiva di $P(x)$ e, successivamente, esegui le operazioni algebriche necessarie per esprimerlo in forma sviluppata (in potenze decrescenti di $x$).

Considera il polinomio $P(x) = 2x^3 + kx^2 - 13x + 6$, dove $k$ rappresenta un parametro reale incognito. Si sa che $x = 2$ è una delle sue radici. Per trovare il valore di $k$ e completare la scomposizione in fattori, il dipartimento di matematica confronta due alternative didattiche:

• Via 1 (Ruffini con parametro): Inserire il parametro $k$ direttamente nella tabella di Ruffini dividendo per $(x - 2)$, ottenere l'espressione algebrica del resto e porla uguale a zero.

• Via 2 (Teorema del resto): Utilizzare la condizione $P(2) = 0$ mediante sostituzione numerica diretta per ricavare $k$, ed eseguire la regola di Ruffini solo quando tutti i coefficienti sono noti.

1. a) Confronta le due alternative: spiega quali difficoltà algebriche presenta la Via 1 e perché la Via 2 risulta più efficiente e con minor rischio di errore nel primo biennio.
2. b) Applica la Via 2 per calcolare il valore esatto di $k$.
3. c) Una volta fissato $k$, scomponi completamente in fattori il polinomio $P(x)$. Giustifica la ricerca della radice frazionaria a partire dal teorema delle radici razionali ($p/q$) e scrivi la scomposizione finale assicurandoti di non omettere alcun coefficiente.

Sfida del tema. Immagina di pianificare una missione con un drone ambientale per misurare le emissioni urbane utilizzando dati meteorologici reali.

1. Dati e percorso vettoriale: Consulta il servizio meteorologico (ad esempio il sito dell'Aeronautica Militare) per la velocità media del vento ($v$) e la temperatura di oggi nel tuo comune. Definisci il vettore di decollo $\vec{u}=(v, 2)$ e quello di deriva del vento $\vec{w}=(-1, 3)$. Esegui l'operazione combinata $2\vec{u} + \vec{w}$ per calcolare il vettore di spostamento finale del drone.

2. Autonomia: Simula con GeoGebra o con un foglio di calcolo il consumo della batteria mediante la funzione esponenziale $B(t) = 100 \cdot 0,85^t$ (con $t$ in ore di volo). Stima dopo quante ore la carica scende sotto il $15\,\%$.

3. Rendimento: L'attrito aerodinamico dipende dall'altitudine $x$ secondo la frazione algebrica $F(x) = \frac{x^3 - 3x^2 - 4x + 12}{x^2 - 5x + 6}$. Applica la regola di Ruffini per scomporre in fattori numeratore e denominatore, semplifica l'espressione e individua quali altitudini critiche annullano il denominatore.

4. Relazione finale: Scrivi una relazione di una pagina che riporti la traiettoria vettoriale, il grafico della batteria e le altitudini da evitare in base alla frazione semplificata.

Verranno valutati:

• Rigore nella scomposizione con Ruffini e nella semplificazione della frazione algebrica.

• Precisione nelle operazioni con i vettori e uso di dati reali.

• Corretta modellizzazione e interpretazione della funzione esponenziale con supporto digitale.