Esercizi: Parallelismo e perpendicolarità tra rette

Scrivi il coefficiente angolare di una retta parallela e il coefficiente angolare di una retta perpendicolare alla retta di equazione $y = 4x - 7$.

Date le rette $r: y = -2x + 5$ e $s: y = \frac{1}{2}x - 3$, indica motivando se sono parallele, perpendicolari o incidenti non perpendicolari.

Trova l'equazione esplicita della retta parallela a $y = -3x + 2$ e passante per il punto $P(0, 5)$.

Un vettore direttore della retta $r$ è $\vec{v} = (3, -1)$. Scrivi un vettore direttore per una retta parallela a $r$ e uno per una retta perpendicolare a $r$.

Determina l'equazione della retta perpendicolare a $y = \frac{2}{5}x - 1$ passante per il punto $A(4, 2)$, scritta nella forma punto-coefficiente angolare.

Verifica analiticamente se le rette date in forma implicita $r: 3x - 6y + 2 = 0$ e $s: x - 2y - 5 = 0$ sono parallele.

Scrivi l'equazione in forma implicita della retta parallela all'asse delle ascisse (asse X) e passante per il punto $Q(-3, 8)$.

Calcola il coefficiente angolare della retta passante per i punti $A(2, -1)$ e $B(5, 8)$, e deduci da esso quale sarebbe il coefficiente angolare di qualsiasi retta perpendicolare a essa.

Marco deve trovare l'equazione esplicita della retta $s$, perpendicolare alla retta $r: y = -\dfrac{3}{4}x + 2$, che passa per il punto $P(0, -5)$. Nella sua verifica scrive quanto segue:

«Poiché è perpendicolare, cambio il segno al coefficiente angolare, quindi $m_s = \dfrac{3}{4}$. Poiché taglia l'asse delle ordinate in $-5$, la retta è $y = \dfrac{3}{4}x - 5$».

1. a) Individua e spiega motivando l'errore concettuale di Marco. Appoggiati al significato geometrico del coefficiente angolare (spostamento orizzontale e verticale) per giustificare perché la sua retta non forma un angolo di $90^\circ$ con $r$.
2. b) Correggi la risoluzione e scrivi l'equazione esplicita corretta della retta $s$.

Costruisci le equazioni in forma implicita ($Ax + By + C = 0$) di due rette distinte, $r$ e $s$, che soddisfino contemporaneamente le seguenti condizioni:

1) Entrambe devono essere perpendicolari alla retta data $t: 2x - 5y + 10 = 0$.

2) La retta $r$ deve passare per l'origine degli assi $(0, 0)$.

3) La retta $s$ deve intersecare l'asse delle ascisse nel punto $(4, 0)$.

Una volta ottenute, dimostra che $r$ e $s$ sono parallele tra loro analizzando i loro coefficienti angolari o i loro coefficienti, e spiega quale significato geometrico ha la differenza tra i loro termini noti $C$.

Nella mappa di una città, via Roma segue la traiettoria della retta $2x + 5y - 10 = 0$. Via Garibaldi è perpendicolare a essa e passa per una piazza situata nelle coordinate $P(-2, 3)$. Trova l'equazione in forma implicita di via Garibaldi.

Calcola il valore del parametro $k$ affinché la retta $kx - 3y + 6 = 0$ sia parallela alla retta che unisce i punti $A(1, 2)$ e $B(4, 11)$.

Un raggio laser viaggia lungo la retta $y = 3x - 2$. Nel punto esatto in cui il laser attraversa l'asse delle ordinate (asse Y) si colloca uno specchio perpendicolare alla traiettoria del raggio. Determina l'equazione esplicita della retta che rappresenta lo specchio.

I lati consecutivi di un terreno rettangolare giacciono sulle rette $r: 2x - 4y + 7 = 0$ e $s: 4x + 2y - 3 = 0$. Verifica analiticamente che i lati formano un angolo retto. Poi trova l'equazione di una retta parallela a $r$ passante per l'origine degli assi.

Due aerei volano alla stessa quota. La rotta del primo aereo è data dalle equazioni parametriche $x = 1 + 5t$, $y = -2 - 3t$. La rotta del secondo aereo è parallela a quella del primo e passa per la torre di controllo $T(0, 0)$. Scrivi le equazioni parametriche della rotta del secondo aereo.

Determina il valore del parametro $m$ affinché le rette $r: mx + 4y - 1 = 0$ e $s: 2x - 5y + 8 = 0$ siano perpendicolari.

Una tubatura principale di irrigazione segue la retta di equazione in forma continua $\frac{x-2}{4} = \frac{y+1}{-3}$. Occorre installare una tubatura secondaria perpendicolare alla principale che si colleghi a uno irrigatore situato in $S(-1, 5)$. Trova l'equazione in forma continua di questa tubatura secondaria.

Trova l'equazione esplicita dell'asse del segmento di estremi $A(-2, 3)$ e $B(4, 1)$. (Ricorda che l'asse del segmento è la retta perpendicolare al segmento che passa per il suo punto medio).

Due ripetitori di telecomunicazioni sono situati nelle coordinate $A(-2, -1)$ e $B(4, 3)$. Per ripartire la copertura in modo equilibrato, i tecnici devono tracciare l'asse del segmento $AB$.

1. a) Prima di eseguire qualsiasi calcolo algebrico:

• Deduci motivando se il coefficiente angolare del segmento $AB$ è positivo o negativo e, a partire da esso, quale segno deve avere il coefficiente angolare dell'asse.

• Determina mentalmente in quale quadrante si troverà il punto medio del segmento $AB$ e stima se l'ordinata all'origine dell'asse sarà positiva o negativa.

1. b) Esegui i calcoli analitici: calcola le coordinate del punto medio di $AB$, il coefficiente angolare dell'asse e scrivi la sua equazione in forma implicita ($Ax + By + C = 0$).
2. c) Verifica se i valori calcolati nel punto b confermano le stime fatte nel punto a e spiega perché il risultato è geometricamente coerente.

Nella rete ferroviaria, un tratto rettilineo di linea ad alta velocità segue la traiettoria della retta $r: 3x + 4y - 24 = 0$ (dove le coordinate $x$ e $y$ sono in chilometri rispetto a un centro di controllo). Una piattaforma logistica situata nel punto $P(7, 7)$ deve collegarsi alla linea principale tramite un raccordo secondario completamente rettilineo.

1. a) Per minimizzare il costo e l'impatto ambientale, il raccordo deve seguire la distanza più breve possibile fino alla linea. Trova l'equazione in forma implicita della retta $s$ lungo cui deve correre tale raccordo e spiega quale proprietà geometrica assicura che sia il tracciato di lunghezza minima.
2. b) Calcola le coordinate esatte del punto di collegamento $Q$ in cui il raccordo si unirà alla linea principale risolvendo il sistema formato dalle due rette.
3. c) La normativa stabilisce che se la distanza tra la piattaforma e la linea principale supera $4\text{ km}$, deve essere costruita una stazione tecnica intermedia. Giustifica se tale stazione sarà necessaria calcolando la distanza esatta tra $P$ e $Q$.

Il progetto del tetto di un palazzetto dello sport prevede due travi d'acciaio che si incrociano. La trave 1 poggia sulla retta $ax + 3y - 5 = 0$ e la trave 2 sulla retta $2x - by + 4 = 0$. Calcola i valori esatti di $a$ e $b$ sapendo che le travi sono perpendicolari e che la trave 1 passa per il punto $P(1, -2)$.

Dimostra analiticamente che il quadrilatero i cui vertici sono $A(1, 1)$, $B(5, 3)$, $C(4, 5)$ e $D(0, 3)$ è un rettangolo. Per farlo, verifica i coefficienti angolari dei suoi lati e conferma che gli angoli consecutivi sono retti.

Una barca naviga in linea retta seguendo la traiettoria $r: 3x + 4y - 24 = 0$. Un faro si trova nel punto $F(7, 7)$. Calcola la distanza minima dal faro alla traiettoria della barca. (Suggerimento: trova la retta perpendicolare a $r$ passante per $F$, trova il punto di intersezione e calcola la distanza tra i due punti).

Date le rette $r: \frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{k}$ e $s: 3x - 5y + 2 = 0$, determina il valore di $k$ affinché siano parallele. Poi calcola il valore di $k$ affinché siano perpendicolari.

Calcola le coordinate esatte dell'ortocentro (punto di intersezione delle tre altezze) del triangolo di vertici $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ e $C(2, -5)$.

Un pannello solare è allineato con la retta passante per i punti $P(1, 4)$ e $Q(5, 2)$. Per massimizzare l'efficienza, i raggi del sole devono incidere perpendicolarmente sul pannello. Scrivi le equazioni parametriche della traiettoria di un raggio di sole che colpisce esattamente il punto medio del pannello.

Trova le coordinate esatte della proiezione ortogonale del punto $P(3, -2)$ sulla retta $r: x - 2y + 5 = 0$. (Nota: la proiezione ortogonale è il punto di intersezione della retta $r$ con la retta perpendicolare a essa passante per $P$).

Due robot aspirapolvere si muovono in una sala sgombra. Il primo segue la traiettoria data dall'equazione $y = \frac{1}{2}x + 2$. Il secondo si muove lungo una retta perpendicolare a quella del primo, in modo che i due si scontrerebbero nel punto esatto in cui la prima traiettoria interseca l'asse delle ordinate (asse Y). Trova l'equazione esplicita della traiettoria del secondo robot e calcola l'area del triangolo formato dalle traiettorie dei due robot e dall'asse delle ascisse (asse X).

Per verificare se le rette $r: 12x - 15y + 8 = 0$ e $s: 10x + 8y - 3 = 0$ sono perpendicolari tra loro, due studenti propongono strade diverse:

• Metodo 1: Ricavare l'equazione esplicita ($y = mx + n$) di ciascuna, individuare i coefficienti angolari e verificare se $m_r \cdot m_s = -1$.

• Metodo 2: Applicare direttamente la condizione sui coefficienti dell'equazione in forma implicita ($A_r \cdot A_s + B_r \cdot B_s = 0$).

1. a) Risolvi il problema applicando entrambi i metodi e verifica che portano alla stessa conclusione.
2. b) Confronta i due percorsi: quale risulta più efficiente e riduce al minimo il rischio di errori con frazioni e segni? Deduci algebricamente perché la condizione $A_r \cdot A_s + B_r \cdot B_s = 0$ equivale esattamente a $m_r \cdot m_s = -1$.
3. c) Sapendo che $r$ e $s$ sono perpendicolari, è possibile trovare nel piano una retta parallela a $r$ che non sia perpendicolare a $s$? Giustifica la risposta in modo logico senza impostare equazioni numeriche.

In una planimetria urbanistica si vogliono collocare tre edifici $A$, $B$ e $C$ in modo che formino un triangolo rettangolo con l'angolo retto nel vertice $B$. Le posizioni dei primi due sono fisse: $A(-1, 2)$ e $B(3, 5)$. Il terzo edificio, $C$, deve essere collocato su un viale la cui traiettoria è la retta orizzontale di equazione $y = 11$.

1. a) Imposta la condizione analitica di perpendicolarità tra le rette che contengono i lati $AB$ e $BC$, e calcola le coordinate esatte $(x_C, y_C)$ in cui deve essere costruito l'edificio $C$.
2. b) Supponi ora che il progetto cambi e che l'edificio $C$ debba essere collocato obbligatoriamente su una strada verticale di equazione $x = k$. Dimostra algebricamente se esiste qualche valore specifico di $k$ per il quale sia del tutto impossibile costruire il triangolo rettangolo con l'angolo retto in $B$, e spiega quale situazione geometrica anomala si verifica in tal caso.