Esercizi: MCD (algoritmo euclideo) e mcm

Scomponi in fattori primi i numeri $84$ e $126$ e calcola:

1. a) $\text{MCD}(84, 126)$
2. b) $\text{mcm}(84, 126)$

Applica l'algoritmo euclideo delle divisioni successive per calcolare $\text{MCD}(252, 198)$. Scrivi tutte le divisioni con quoziente e resto.

Calcola $\text{MCD}$ e $\text{mcm}$ dei tre numeri $12$, $18$ e $30$.

Una cartolibreria di Bologna ha $180$ quaderni e $216$ penne. Vuole confezionare dei pacchi tutti uguali, senza avanzi, usando tutti gli articoli.

1. a) Qual è il massimo numero di pacchi che può preparare?
2. b) Quanti quaderni e quante penne contiene ciascun pacco?

Due autobus partono insieme alle $7{:}00$ dalla stazione di Firenze Santa Maria Novella. Il primo torna in stazione ogni $24$ minuti, il secondo ogni $36$ minuti.

1. a) Dopo quanti minuti si ritroveranno in stazione contemporaneamente per la prima volta?
2. b) A che ora accadrà?
3. c) Quante volte, tra le $7{:}00$ e le $13{:}00$ (escluse le $7{:}00$, incluse le $13{:}00$), si troveranno insieme in stazione?

Un pavimento rettangolare di $4,20 \text{ m}$ per $3,00 \text{ m}$ deve essere ricoperto con piastrelle quadrate tutte uguali, senza tagli e senza sovrapposizioni, con il lato più grande possibile (in numero intero di centimetri).

1. a) Quanto misura il lato di ogni piastrella?
2. b) Quante piastrelle servono?

Siano $a$ e $b$ due numeri naturali con $\text{MCD}(a,b)=12$ e $\text{mcm}(a,b)=180$.

1. a) Dimostra che $a \cdot b = 2.160$.
2. b) Trova tutte le coppie $(a,b)$ con $a

Dimostra che, se $a>b$ e $a = bq + r$ con $0 \le r < b$, allora $\text{MCD}(a,b)=\text{MCD}(b,r)$. Usa poi questo risultato per giustificare l'algoritmo euclideo e calcolare $\text{MCD}(1.071, 462)$.

Determina il più piccolo numero naturale maggiore di $5$ che, diviso per $8$, $12$ e $15$, dà sempre resto $5$. Giustifica il procedimento e indica poi quale è il successivo numero con la stessa proprietà.