Ejercicios: Tipos de funciones

Dada la función polinómica $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$, realiza un estudio básico de su comportamiento siguiendo estos pasos:

1. a) Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas.
2. b) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento utilizando la primera derivada $f'(x)$.
3. c) Determina las coordenadas $(x, y)$ de sus máximos y mínimos relativos.

Considera la función racional $f(x) = \frac{2x + 4}{x - 3}$. Para comprender su estructura antes de representarla, analiza sus elementos principales. La figura muestra parte de su gráfica; las marcas de los ejes están separadas 1 unidad.

1. a) Determina su dominio de definición.

1. b) Calcula las ecuaciones de sus asíntotas verticales y horizontales.

1. c) Estudia la simetría de la función. ¿Es par, impar o no presenta simetría?

Las funciones con valores absolutos suelen presentar puntos donde la gráfica cambia bruscamente de dirección. Sea la función $f(x) = |x - 4|$.

1. a) Expresa la función como una función definida a trozos.

1. b) Indica el punto de la gráfica donde la función es continua pero no es derivable (punto anguloso).

1. c) Esboza su gráfica indicando el vértice.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

El dominio de una función es fundamental para su representación. Halla el dominio de las siguientes funciones trascendentes:

1. a) $f(x) = \ln(x^2 - 1)$
2. b) $g(x) = e^{\frac{1}{x}}$
3. c) $h(x) = \sqrt{x + 5}$

Explica brevemente por qué existen restricciones en cada caso.

Un biólogo estudia la evolución de una población de bacterias en un entorno controlado. La cantidad de bacterias (en miles) viene dada por la función $P(t) = \frac{40t}{t + 2}$, donde $t$ es el tiempo en horas desde el inicio del experimento ($t \geq 0$). La figura muestra la gráfica de $P(t)$.

1. a) ¿Qué población hay al inicio del experimento ($t = 0$)?

1. b) ¿Cuál es el límite de la población cuando el tiempo crece indefinidamente? Interpreta el resultado en términos de asíntotas.

1. c) ¿La población aumenta o disminuye con el tiempo? Justifica tu respuesta usando la derivada $P'(t)$.

Dada la función $f(x) = x^4 - 2x^2$, estudia su curvatura realizando los siguientes pasos:

1. a) Calcula la segunda derivada $f''(x)$.
2. b) Encuentra los intervalos de concavidad ($\cup$) y convexidad ($\cap$).
3. c) Halla los puntos de inflexión de la función.

Determina la paridad de las siguientes funciones justificando matemáticamente si son pares ($f(x) = f(-x)$), impares ($f(-x) = -f(x)$) o ninguna de las anteriores:

1. a) $f(x) = x^2 \times \cos(x)$
2. b) $g(x) = \frac{x^3}{x^2 + 1}$
3. c) $h(x) = e^x - x$

Observa la siguiente gráfica de una función $f(x)$ (las rectas discontinuas son las asíntotas de la función; usa las marcas de los ejes, una por unidad) y extrae la información solicitada:

1. a) Indica los valores de $x$ donde se encuentran las asíntotas verticales.

1. b) Estima los intervalos donde la función es creciente.

1. c) Identifica el valor del $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ observando el comportamiento de la gráfica.

Marcos debe calcular los extremos relativos de la función con valor absoluto $f(x) = |x^2 - 9|$. En su examen escribe lo siguiente:

«Como el valor absoluto no cambia el grado del polinomio, derivo directamente su argumento para obtener la pendiente: $f'(x) = 2x$. Igualo a cero y obtengo $2x = 0 \implies x = 0$. Sustituyendo, $f(0) = |-9| = 9$. Como $f''(0) = 2 > 0$, concluyo que la función tiene un único extremo relativo: un mínimo en el punto $(0, 9)$».

1. a) Identifica los dos errores conceptuales graves cometidos por Marcos al ignorar la definición del valor absoluto y la derivabilidad de la función.
2. b) Escribe $f(x)$ correctamente como una función definida a trozos según el signo de su argumento.
3. c) Halla todos los extremos relativos reales de $f(x)$, clasificándolos razonadamente en máximos o mínimos y distinguiendo cuáles corresponden a puntos suaves ($f'(x) = 0$) y cuáles a puntos angulosos o picos donde la función no es derivable.

Para estudiar las asíntotas y la posición relativa de la curva de la función racional $f(x) = \dfrac{2x^2 + 3x - 1}{x + 2}$, dos estudiantes proponen estrategias distintas:

• Método A (Alba): Realizar la división polinómica entre numerador y denominador para descomponer la función en la forma $f(x) = c(x) + \dfrac{r(x)}{d(x)}$.

• Método B (Bruno): Aplicar los límites clásicos $m = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{f(x)}{x}$ y $n = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - m \times x]$.

1. a) Compara ambos métodos y justifica por qué el de Alba resulta más eficiente en este caso para determinar simultáneamente la ecuación de la asíntota oblicua y la posición de la gráfica respecto a ella en $+\infty$ y $-\infty$ sin necesidad de calcular límites adicionales.
2. b) Aplica el método de Alba para hallar la recta asíntota y razona analíticamente si la curva se sitúa por encima o por debajo de dicha asíntota en cada uno de los dos infinitos.

Dada la función racional $f(x) = \frac{2x^2}{x^2 - 9}$, realiza un estudio completo para su representación gráfica siguiendo estos pasos:

1. a) Halla el dominio de definición y los puntos de corte con los ejes de coordenadas.

1. b) Estudia la existencia de simetrías en la función.

1. c) Determina las asíntotas verticales, horizontales y la posición de la curva respecto a ellas.

1. d) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y determina sus máximos y mínimos relativos.

1. e) Esboza la gráfica de la función basándote en los resultados anteriores.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Considera la función $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1}$. Se pide:

1. Hallar las ecuaciones de sus asíntotas. En caso de existir una asíntota oblicua, determina la posición de la curva respecto a ella cuando $x \to +\infty$ y $x \to -\infty$.

2. Encontrar los intervalos de concavidad y convexidad, y comprobar si existen puntos de inflexión.

3. Utilizar la información del crecimiento y los extremos para dibujar un esquema preciso de la gráfica.

Un estudio biológico sobre una población de insectos en un entorno controlado sigue la función $P(t) = \frac{50t}{t^2 + 4} + 2$, donde $P$ es la población en miles y $t$ es el tiempo en meses desde el inicio del experimento ($t \geq 0$).

1. Determina en qué momento la población alcanza su valor máximo y cuál es dicho valor.

2. ¿A qué valor tiende la población si el experimento se prolongara indefinidamente? Justifica tu respuesta mediante el cálculo de límites.

3. Estudia la curvatura de la función para identificar en qué momento la disminución de la población empieza a desacelerarse (punto de inflexión).

Dada la función con valor absoluto $f(x) = |x^2 - 4x + 3|$:

1. a) Expresa la función como una función definida a trozos.

1. b) Estudia la derivabilidad de la función en los puntos $x = 1$ y $x = 3$. ¿Qué ocurre geométricamente en esos puntos?

1. c) Halla los extremos relativos de la función y represéntala gráficamente.

Sea la función $f(x) = (x - 2)e^x$. Realiza un estudio detallado de la misma para representarla gráficamente, incluyendo:

1. Dominio y puntos de corte con los ejes.

2. Asíntotas horizontales y comportamiento en el infinito.

3. Intervalos de monotonía y extremos relativos.

4. Puntos de inflexión y curvatura.

Estudia y representa la función logarítmica $f(x) = \ln(x^2 + 1)$. En tu análisis debes incluir:

1. Demostración de que la función es par. ¿Cómo afecta esto a su representación?

2. Determinación de los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

3. Estudio de la curvatura y búsqueda de puntos de inflexión.

4. ¿Tiene la función asíntotas de algún tipo? Justifica tu respuesta.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Se considera la función definida a trozos:

$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x-2} & \text{si } x < 0 \\ x^2 - 2x - \frac{1}{2} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$

1. Estudia la continuidad y derivabilidad de la función en $x = 0$.

2. Halla las asíntotas de la función en su dominio de definición.

3. Calcula los mínimos y máximos locales de cada tramo en su intervalo correspondiente.

4. Esboza la gráfica de la función.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x) = ax^3 + bx^2 - x + 4$ tenga un punto de inflexión en $x = 1$ y la pendiente de la recta tangente en ese punto sea $1$. Una vez hallados los parámetros:

1. a) Estudia la monotonía de la función resultante.

1. b) Determina si tiene algún máximo o mínimo relativo.

1. c) Justifica si la función tiene asíntotas.

Dada la función $f(x) = \dfrac{\ln(x)}{x}$, responde a las siguientes cuestiones combinando deducción lógica y cálculo formal:

1. Fase de estimación (sin derivar ni calcular límites formales todavía):

a) A partir del dominio de la función logarítmica y sabiendo que $\ln(x) \to -\infty$ cuando $x \to 0^+$, estima el comportamiento de la curva cerca del eje $Y$. ¿Habrá asíntota vertical? ¿Hacia dónde se disparará la rama?

b) Los apuntes destacan que el logaritmo «crece mucho más lento que cualquier polinomio». Basándote en esto, estima a qué valor se aproximará $f(x)$ cuando $x \to +\infty$ y deduce si existirá asíntota horizontal.

c) Sabiendo que $f(1) = 0$, que $f(x) < 0$ para $x \in (0, 1)$, y que para $x > 1$ la función es positiva pero debe aproximarse a la asíntota horizontal cuando $x \to +\infty$, deduce si obligatoriamente debe existir al menos un máximo relativo y estima en qué intervalo de $x$ debería encontrarse.

1. Fase de comprobación:

d) Confirma analíticamente tus estimaciones calculando $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ y $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

e) Calcula la derivada $f'(x)$, determina las coordenadas exactas $(x, y)$ de su extremo relativo y comprueba si tu deducción previa sobre la existencia y posición del máximo era correcta.

Durante un episodio invernal de inversión térmica en Madrid, la concentración de dióxido de nitrógeno ($NO_2$) en el aire, medida en microgramos por metro cúbico ($\mu\text{g/m}^3$), se monitorea durante una jornada completa ($t \in [0, 24]$ horas). El departamento de calidad del aire modela la evolución mediante una función a trozos que enlaza la fase de acumulación matinal por tráfico con la dispersión vespertina:

$$C(t) = \begin{cases} 40 + 10t - 0.5t^2 & \text{si } 0 \le t \le 12 \\ 124 \times e^{-0.1(t-12)} - 36 & \text{si } 12 < t \le 24 \end{cases}$$

1. a) Compruebe si el modelo garantiza la continuidad en el cambio de tramo ($t = 12$). A continuación, estudie la derivabilidad en ese punto y razone si la gráfica presenta un punto anguloso o una transición suave. Interprete el significado físico de este hecho.
2. b) Localice en qué momento del día se alcanza la máxima concentración de contaminante y calcule su valor exacto.
3. c) Si el modelo de dispersión exponencial continuara indefinidamente ($t \to +\infty$), ¿tendría asíntota horizontal? Justifique analíticamente por qué el término exponencial colapsa hacia cero y cuál sería el nivel residual teórico de contaminación según dicha asíntota.

Se considera la función definida a trozos:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 4}{x+2} & \text{si } x < -2 \\ a \times e^{x+2} + b x & \text{si } -2 \le x < 0 \\ \dfrac{x+1}{x^2+1} & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$

Realiza un estudio completo de la función siguiendo estos pasos:

1. Halla los valores de $a$ y $b$ para que la función sea continua en $x = -2$ y tenga un extremo relativo en $x = -1$.

2. Para los valores hallados, estudia la derivabilidad en $x = -2$ y $x = 0$.

3. Calcula las asíntotas de la función en todo su dominio.

4. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los máximos y mínimos relativos en el intervalo $(-\infty, 0)$.

Sea la función racional definida por:

$$f(x) = \frac{x^3 + ax^2 + b}{x^2 - 1}$$

Determina los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ sabiendo que la recta $y = x + 2$ es una asíntota oblicua de la función y que su gráfica pasa por el punto $(0, 0)$. Una vez calculados los parámetros:

1. Halla el dominio y las asíntotas verticales, estudiando la posición de la curva respecto a ellas.

2. Encuentra los puntos de corte con los ejes.

3. Estudia la existencia de puntos de inflexión. ¿Es posible que esta función no tenga ningún punto de inflexión en su dominio? Razona la respuesta.

Un satélite de comunicaciones describe una trayectoria cuya intensidad de señal recibida en la Tierra viene dada por la función:

$$S(t) = \ln |t^2 - 9| - \frac{t}{2}$$

donde $t$ representa el tiempo en horas desde el inicio del seguimiento ($t \ge 0$).

1. Determina el dominio de la función e identifica los instantes en los que la señal se interrumpe por completo.

2. Halla las asíntotas verticales y explica su significado en este contexto.

3. Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la intensidad de la señal.

4. Determina en qué momento la señal alcanza su valor máximo relativo y esboza la gráfica de la trayectoria de la intensidad.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Dada la función:

$$f(x) = \frac{x \times |x|}{x - 1}$$

1. Expresa la función como una función definida a trozos eliminando el valor absoluto.

2. Estudia la continuidad y derivabilidad de la función en todo su dominio, prestando especial atención al punto $x = 0$.

3. Halla las asíntotas de la gráfica de $f$.

4. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos.

5. Esboza la gráfica de la función indicando claramente los puntos donde la derivada no existe si los hubiera.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Considera la función $f(x) = (x-2)^2 \times e^x$.

1. Calcula los puntos de corte con los ejes y las asíntotas de la función.

2. Determina los intervalos de monotonía y los extremos locales (máximos y mínimos).

3. Halla los intervalos de curvatura y los puntos de inflexión.

4. Sabiendo que $e^{-2} \approx 0.135$ y $e^0 = 1$, esboza la gráfica de la función.

5. Calcula el área del triángulo formado por el origen de coordenadas y los puntos de la gráfica donde la tangente es horizontal.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Estudia y representa gráficamente la función de «tipo mixto»:

$$f(x) = x \times e^{1/x}$$

Para ello, analiza detalladamente:

1. a) El dominio de definición y el comportamiento de la función cerca de $x = 0$, calculando los límites laterales $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ y $\lim_{x \to 0^-} f(x)$.

1. b) Las asíntotas verticales y oblicuas.

1. c) La existencia de extremos relativos utilizando la primera derivada.

1. d) La concavidad y convexidad a través del estudio del signo de $f''(x)$.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Se desea diseñar el perfil de una rampa para un skatepark. El perfil lateral sigue la curva de la función:

$$f(x) = \frac{\ln(x^2+1)}{x}$$

para $x \in [-5, 5], x \neq 0$. Se pide:

1. Demuestra que la función es impar. ¿Qué implica esto para su representación gráfica?

2. Define el valor de $f(0)$ de modo que la función sea continua en $x=0$. Para ello, calcula $\lim_{x \to 0} f(x)$ (puedes usar la regla de L'Hôpital).

3. ¿Es la función derivable en $x=0$ con la definición anterior? Justifica la respuesta.

4. Determina los puntos de la rampa donde la pendiente es nula.

5. Estudia si existen asíntotas horizontales cuando el dominio se extiende a toda la recta real.

Dibuja el esbozo de la gráfica de una función continua $f(x)$ que cumpla simultáneamente las siguientes ocho condiciones:

• Su dominio es $\mathbb{R} - \{1\}$.

• Tiene una asíntota vertical en $x = 1$ tal que $\lim_{x \to 1^-} f(x) = +\infty$ y $\lim_{x \to 1^+} f(x) = -\infty$.

• Tiene una asíntota oblicua $y = x$ cuando $x \to +\infty$.

• Tiene una asíntota horizontal $y = -2$ cuando $x \to -\infty$.

• $f'(x) < 0$ en el intervalo $(-\infty, -2)$ y $f'(x) > 0$ en $(-2, 1) \cup (1, +\infty)$.

• Presenta un mínimo relativo en el punto $(-2, -4)$.

• $f''(x) > 0$ en $(-3, 1)$ y $f''(x) < 0$ en $(-\infty, -3) \cup (1, +\infty)$.

• Corta al eje $OX$ únicamente en los puntos $x = 0$ y $x = 2$.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Se desea diseñar la expresión analítica de una función racional irreducible $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ que satisfaga simultáneamente las siguientes cuatro condiciones geométricas y analíticas:

1. Su dominio es todo $\mathbb{R}$ (no posee ninguna asíntota vertical).

2. Es simétrica respecto al origen de coordenadas (función impar).

3. La recta $y = 0$ es su asíntota horizontal tanto en $+\infty$ como en $-\infty$.

4. Alcanza un extremo relativo en el punto $(2, 4)$.

1. a) Justifica teóricamente por qué una función polinómica jamás podría cumplir a la vez las condiciones 1, 3 y 4. Para ello, recuerda cómo se comporta un polinomio en el infinito: si no es constante, su límite cuando $x\to\pm\infty$ es $+\infty$ o $-\infty$ (lo determina el término de mayor grado); y si es constante, la condición 3 obliga a que sea el polinomio nulo.

1. b) Analiza razonadamente qué grados mínimos deben tener los polinomios $P(x)$ y $Q(x)$, y qué paridad deben tener los exponentes de cada uno, para garantizar que se cumplan las condiciones 1, 2 y 3.

1. c) Deduce la expresión algebraica exacta de la función más simple que verifique todas las condiciones dadas.

1. d) Demuestra mediante la derivada primera si el punto $(2, 4)$ es un máximo o un mínimo relativo y determina, por pura simetría y sin realizar nuevos cálculos de derivadas, las coordenadas y la naturaleza del otro extremo relativo de la función.

Para analizar los extremos relativos y el comportamiento asintótico de la función $f(x) = |x^2 - 4| \times e^{-x}$, dos estudiantes de 2.º de Bachillerato plantean métodos distintos:

• Camino A (Descomposición analítica a trozos): Estudiar el signo del argumento $x^2 - 4$, reescribir $f(x)$ como una función a trozos eliminando las barras de valor absoluto, calcular la derivada de cada tramo por separado y analizar los puntos de empalme mediante límites laterales de las derivadas.

• Camino B (Transformación geométrica sobre función auxiliar): Estudiar por completo la función derivable auxiliar $g(x) = (x^2 - 4) \times e^{-x}$ (cortes con los ejes, extremos igualando una única derivada a cero y asíntotas) y, posteriormente, obtener la gráfica y propiedades de $f(x) = |g(x)|$ mediante una reflexión respecto al eje $X$ de las zonas donde $g(x) < 0$.

1. a) Compara críticamente ambos caminos. Justifica por qué el Camino B resulta conceptualmente más potente para identificar los puntos angulosos (picos) y deducir la nueva posición y clasificación de los extremos sin derivar funciones a trozos.
2. b) Siguiendo el Camino B, calcula la derivada de la función auxiliar $g(x)$ y halla las abscisas exactas de sus extremos relativos.
3. c) A partir del comportamiento de $g(x)$, determina razonadamente para la función original $f(x)$:

• Las coordenadas de todos sus extremos relativos, indicando expresamente cuáles son puntos suaves ($f'(x) = 0$) y cuáles son picos donde no existe la derivada.

• Las asíntotas horizontales en $+\infty$ y en $-\infty$, justificando por qué la función colapsa hacia cero únicamente en uno de los dos sentidos de infinito.

Reto del tema. ¿Cómo respira el consumo energético de nuestro país? Su misión es modelizar y analizar analíticamente la curva de demanda eléctrica diaria de una jornada real.

1. Toma de datos: Ingrese al sitio web oficial de la Empresa Nacional de Energía Eléctrica (ENEE) y recopile la demanda nacional real (en GW) hora a hora de ayer, para $t \in [0, 24]$.

2. Modelización y clasificación: Introduzca los pares ordenados en GeoGebra y proponga una función $f(t)$ que aproxime el comportamiento global (un polinomio de grado 3 o 4, o una función racional). Clasifique el tipo de función elegido y justifique su decisión.

3. Estudio analítico: Extraiga analíticamente toda la información de $f(t)$: determine dominio, asíntotas (si existen), intervalos de monotonía y extremos mediante $f'(t)=0$, así como curvatura y puntos de inflexión con $f''(t)=0$.

4. Informe de conclusiones: Elabore un breve informe (una página) con la gráfica superpuesta a los datos, contrastando sus máximos y mínimos analíticos con los picos reales de consumo (horas pico y valle).

Se valorará:

• Rigor en el estudio analítico de la función (derivadas, monotonía, curvatura y asíntotas).

• Justificación adecuada del tipo de función y ajuste en GeoGebra.

• Coherencia en la interpretación del informe al contrastar el modelo con los datos reales.