Ejercicios: Integrales semi inmediatas

Calcula la siguiente integral indefinida de una función potencial compuesta, realizando el ajuste de la constante necesaria para que el integrando coincida con la derivada de la función interna:

Halla la primitiva de la función exponencial cuya derivada requiere un pequeño ajuste numérico en el coeficiente:

Determina la integral indefinida de la siguiente función racional. Observa que el numerador es casi la derivada del denominador, por lo que se trata de una integral de tipo logarítmico:

Calcula la integral de la siguiente función trigonométrica. Recuerda que al integrar $\cos(f(x))$, debes tener presente la derivada del argumento $f'(x)$:

Resuelve la integral de la siguiente función raíz. Para facilitar el cálculo, exprésala primero como una potencia de exponente fraccionario:

En el estudio de una campaña publicitaria en redes sociales, se ha determinado que el ritmo de crecimiento de los seguidores de una cuenta, $x$ días después de empezar la campaña, viene dado por la función $f'(x) = \frac{x}{x^2 + 9}$, con $x \geq 0$.

Calcula la expresión general de la función de seguidores totales $f(x)$, sabiendo que se trata de una integral de tipo logarítmico:

Calcula la integral de la siguiente función potencial multiplicada por una constante. Asegúrate de identificar correctamente la derivada de la base para ajustar el coeficiente:

Una empresa de mensajería ha calculado que su costo marginal (el costo de enviar un paquete adicional) sigue la función $C'(x) = 6 \times e^{3x}$. Encuentre la expresión de la función de costo total $C(x)$ mediante el cálculo de su integral indefinida:

En una prueba escrita, Elena debía calcular la siguiente integral indefinida:

Su desarrollo fue el siguiente:

1. a) Deriva la función $F(x) = 5 \ln|3x + 2|$ obtenida por Elena y comprueba si coincide con el integrando inicial. Explica con tus palabras qué factor numérico olvidó incluir y por qué la regla de la cadena obliga a dividir entre 3 al integrar expresiones con argumento lineal $ax+b$.
2. b) Escribe la resolución correcta paso a paso y determina la primitiva específica $G(x)$ cuya gráfica pasa por el punto $(0, 2)$.

Te piden calcular la integral indefinida:

1. a) Método 1: Desarrolla previamente el cuadrado del binomio e integra el polinomio resultante término a término.
2. b) Método 2: Resuélvela directamente como una integral semi inmediata de tipo potencial $\int [u(x)]^n \times u'(x) \, dx$, ajustando la constante necesaria para que aparezca la derivada del argumento interior.
3. c) Desarrolla algebraicamente la expresión obtenida en el Método 2 y explica por qué ambas soluciones son correctas y equivalentes a pesar de que difieren en el término constante numérico. ¿Cuál de los dos métodos elegirías si el enunciado pidiese calcular $\int (4x - 1)^6 \, dx$? Justifica tu elección.

Un creador de contenido ha analizado que la tasa de crecimiento de sus seguidores en una red social sigue una función marginal dada por $f'(x) = (2x + 5)^3$, donde $x$ representa el tiempo en meses. Calcula la familia de funciones primitivas $F(x)$ que describen el número total de seguidores.

Una empresa de mensajería determina que el costo marginal de enviar un paquete a una distancia $x$ (en cientos de kilómetros) viene dado por la función $C'(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + x + 4}$. Determine la función de costo total $C(x)$, sabiendo que existen unos costos fijos de gestión (cuando $x=0$) de $10$ lempiras.

La velocidad de carga de una batería de grafeno en un laboratorio se comporta según la función $v(t) = t \times e^{t^2}$, donde $t$ es el tiempo en minutos. Calcula la función que representa la energía total acumulada $E(t)$, teniendo en cuenta que en el instante inicial $t = 0$, la energía acumulada es de $5$ unidades.

Calcula la integral indefinida de la siguiente función, aplicando la regla de las funciones de tipo logarítmico:

En la figura tienes la gráfica del integrando $f(x)=\dfrac{\cos(x)}{2+\sin(x)}$.

Halla la primitiva de la función $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}$ cuya gráfica pasa por el punto $P(4, 10)$. Pista: Expresa la raíz como una potencia de exponente negativo para identificar la forma de la función compuesta.

El departamento de mercadeo de una marca de tenis ha detectado que las ventas diarias $V(t)$ varían de forma estacional según la derivada $V'(t) = 100 \times \cos(2t)$, donde $t$ es el tiempo en días desde el inicio de la campaña. Encuentre la función de ventas totales $V(t)$ sabiendo que el primer día ($t=0$) se realizaron $500$ ventas.

Resuelve la siguiente integral indefinida identificando la estructura de la derivada de una función compuesta (tipo potencia):

Dada la función $f(x) = \frac{e^x}{1 + e^x}$, se pide:

1. a) Hallar su primitiva general $F(x)$, escrita en la forma $F(x) = \ldots + C$, donde $C$ es la constante de integración.

1. b) Determinar el valor de la constante $C$ para que la primitiva cumpla que $F(0) = \ln(2) + 3$.

Se considera la familia de funciones racionales continuas dependientes de un parámetro real $k \neq 0$:

1. a) Calcula la familia general de primitivas $F_k(x) = \int f_k(x) \, dx$, indicando qué constante debes multiplicar y dividir para transformarla en una integral de tipo logarítmico $\frac{u'(x)}{u(x)}$.
2. b) Determina los valores exactos de $k$ y de la constante de integración $C$ sabiendo que la primitiva buscada cumple simultáneamente dos condiciones: su gráfica corta al eje de ordenadas en $y = 1$ y además pasa por el punto $(4, 1 + \ln(5))$.
3. c) Con la primitiva particular obtenida en el apartado anterior, razona si $F(x)$ tiene algún punto con tangente horizontal en su dominio sin necesidad de volver a aplicar reglas de derivación desde cero.

En una explotación agrícola intensiva de Almería, el caudal instantáneo de agua demandado por un sistema de fertirriego durante las primeras 4 horas de funcionamiento continuo viene regulado por la función marginal:

donde $t$ representa el tiempo transcurrido en horas ($t \in [0, 4]$) y $c(t)$ se expresa en metros cúbicos por hora ($\text{m}^3/\text{h}$).

1. a) Antes de calcular la primitiva, realiza una estimación razonada del volumen total de agua consumido en esas 4 horas: calcula el caudal al inicio ($t=0$) y al final del intervalo ($t=4$), y utiliza estos dos valores extremos para establecer una cota inferior y una cota superior del consumo total.
2. b) Modela la función de volumen acumulado de agua $V(t) = \int c(t) \, dt$ como una integral semi inmediata de tipo potencial compuesto con argumento lineal, sabiendo que en el instante inicial no se había consumido agua todavía ($V(0) = 0$).
3. c) Calcula mediante $V(4)$ el volumen exacto consumido al cabo de las 4 horas y comprueba si tu estimación del apartado a) era coherente con este valor real.

Calcula la primitiva de la función $f(x) = \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^6}}$ que pasa por el origen de coordenadas. En la figura tienes la gráfica de $f$, que está definida en $(-1,\,1)$ y tiene asíntotas verticales en $x=-1$ y $x=1$. Pista: Intenta relacionar el exponente del numerador con el del denominador para identificar una estructura de tipo arcoseno.

Un nuevo videojuego de mundo abierto consume datos móviles según un ritmo de transferencia dado por la función $D'(t) = \frac{e^t}{1 + e^{2t}}$, donde $t$ es el tiempo en horas y $D'(t)$ se mide en Gigabytes por hora (GB/h). Si al empezar a jugar ($t=0$) el contador de datos estaba en $0.5$ GB, determine la función $D(t)$ que permite calcular el consumo total acumulado en cualquier instante.

Determina la integral indefinida de la siguiente función, realizando los ajustes de constantes necesarios para que el numerador sea la derivada exacta de la función interna:

Un influencer analiza el ritmo de crecimiento de sus seguidores en una red social. La velocidad de crecimiento viene dada por $S'(t) = \frac{300 \times \ln t}{t}$ seguidores por día, donde $t$ es el tiempo en días transcurridos desde el lanzamiento de una campaña publicitaria ($t \ge 1$). Sabiendo que en el momento inicial ($t=1$) contaba con $5,000$ seguidores, halla la expresión de la función $S(t)$.

Halla todas las funciones primitivas de la función $f(x) = \frac{x + 2}{x^2 + 4x + 13}$.

Calcula la primitiva $F(x)$ de la función $f(x) = \text{tg } x \times \sec^2 x$ que cumple la condición $F\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2$. ¿Qué valor tomaría la función en $x = 0$?

En un laboratorio de biología, se estudia la propagación de una bacteria. La tasa de variación de la población $P(t)$ en función del tiempo $t$ (en horas) sigue la ley:

Si inicialmente ($t=0$) hay $1,000$ bacterias, determina la población de bacterias al cabo de $2$ horas.

Halla la función $f(x)$ sabiendo que su derivada segunda es $f''(x) = 12x^2 - 6x$ y que la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa $x = 1$ es la recta $y = 4x - 2$.

Nota: Este ejercicio requiere integrar dos veces de forma consecutiva funciones con estructuras de potencias compuestas.

Según datos estadísticos del Instituto Nacional de Estadística (INE) sobre incidencias en el transporte metropolitano, la tasa a la que se registran reclamaciones de usuarios (en cientos de personas por hora) durante una jornada laboral entre las 6:00 ($t=0$) y las 14:00 ($t=8$) viene descrita por la función marginal:

donde $t$ es el tiempo transcurrido en horas desde las 6:00.

1. a) Identifique la estructura semi inmediata del integrando: exprese el numerador como múltiplo de la derivada del denominador, escriba el ajuste de la constante necesario y obtenga la familia de primitivas $R(t) = \int r(t) \, dt$.
2. b) Determine la función concreta $R(t)$ que expresa el número acumulado de reclamaciones (en cientos) sabiendo que a las 6:00 de la mañana no se registraba ninguna reclamación acumulada ($R(0) = 0$).
3. c) Un portavoz de la empresa de transporte afirma públicamente que antes de las 14:00 ($t=8$) no se superarán en ningún caso las 1500 reclamaciones. Modele y analice analíticamente si dicha afirmación es verdadera o falsa. Si es falsa, calcule a qué hora exacta del día (con horas y minutos) se alcanzó la reclamación número 1500.

En un examen, un estudiante propone la siguiente resolución para la integral indefinida $\int e^{-x^2} \, dx$:

«Como la derivada del exponente es $(-x^2)' = -2x$, multiplico por $-2x$ dentro de la integral y compenso dividiendo entre $-2x$ fuera de ella para tener la derivada multiplicando:

1. a) Deriva la función $F(x) = -\frac{1}{2x} e^{-x^2}$ obtenida por el estudiante aplicando la regla del producto o del cociente y demuestra formalmente que el resultado no coincide con la función del integrando $e^{-x^2}$.
2. b) Explica el error conceptual de fondo: ¿por qué la propiedad de linealidad $\int k \times f(x)\, dx = k \int f(x)\, dx$ solo es aplicable cuando $k$ es una constante real no nula y no permite extraer expresiones que dependan de la variable de integración $x$?
3. c) Apoyándote en tu explicación anterior, analiza las siguientes tres integrales. Justifica con rigor cuáles de ellas sí son semi inmediatas y resuélvelas ajustando la constante correspondiente, e identifica cuál de ellas es estructuralmente imposible de resolver como semi inmediata: