Ejercicios: Integración de racionales

En una investigación sobre la propagación de una noticia en redes sociales, se ha determinado que la velocidad de difusión sigue una función racional. Calcula la primitiva de la siguiente función, que representa dicha velocidad, para encontrar la función de impacto total:

Calcula la integral indefinida de la función $f(x) = \frac{2x + 4}{x^2 + 4x + 7}$. Pista: Observa si el numerador es la derivada del denominador.

Una empresa de componentes electrónicos ha calculado que el costo marginal de producir un nuevo modelo de audífonos inalámbricos está dado por la función $C'(x) = \frac{75x^2}{x^3 + 10}$, donde $x$ es el número de unidades producidas. Determine la función de costo total $C(x)$, sabiendo que los costos fijos (cuando $x=0$) son de 12,500 lempiras.

Para resolver integrales racionales por el método de descomposición en fracciones simples, primero debemos descomponer el denominador. Calcula la siguiente integral sabiendo que el denominador ya está factorizado:

Cuando el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, debemos realizar una división polinómica previa. Realiza la división y calcula la integral de la siguiente función:

Halla la familia de primitivas de la función racional $g(x) = \frac{x^2 + 1}{x}$. Pista: Divide cada término del numerador por el denominador.

Calcula el área del recinto sombreado en la siguiente figura, que está delimitado por la función $f(x) = \frac{1}{x}$, el eje $OX$ y las rectas $x = 1$ y $x = e$.

Determina la integral indefinida de la siguiente función racional ajustando las constantes necesarias para obtener un logaritmo neperiano:

En un examen de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, se pedía calcular la siguiente integral indefinida:

Hugo resolvió el ejercicio escribiendo de forma inmediata:

justificando en su hoja que «siempre que en el denominador hay un polinomio, la integral es su logaritmo neperiano».

1. a) Explica detalladamente cuál es el error conceptual de Hugo. Indica qué relación matemática exacta debe existir entre el numerador y el denominador para que aparezca de forma directa un logaritmo neperiano, y qué le falta al numerador de esta integral para cumplirlo.
2. b) Muestra cómo debe resolverse correctamente la integral descomponiendo la fracción en suma de fracciones simples con raíces reales simples, determinando paso a paso los coeficientes y calculando la primitiva final.

Se plantean las dos siguientes integrales racionales:

Una compañera afirma que, para resolver cualquiera de las dos, es obligatorio calcular las raíces del denominador ($x = 2$ y $x = 3$) y plantear la descomposición en fracciones simples $\frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3}$.

1. a) Analiza la estructura de ambos integrandos y razona por qué su afirmación resulta innecesariamente larga para $I_1$. ¿Qué método directo permite resolver $I_1$ en un solo paso ajustando si fuera necesario una constante?
2. b) Justifica por qué para $I_2$ sí es imprescindible recurrir a la descomposición en fracciones simples.
3. c) Resuelve razonadamente ambas integrales aplicando en cada una de ellas el camino más eficiente.

Calcula la integral indefinida de la siguiente función racional descomponiéndola previamente en fracciones simples:

Para resolverlo, identifica primero las raíces del denominador y descompón el integrando en la forma $\frac{A}{x-x_1} + \frac{B}{x-x_2}$.

Halla la primitiva $F(x)$ de la función $f(x) = \frac{x + 4}{x^2 + 4x}$ que cumple la condición de pasar por el punto $(1, \ln(5))$.

Recuerda que para determinar la constante de integración $C$ debes utilizar el valor de la función en el punto dado una vez realizada la integración por descomposición.

En el estudio de una campaña de marketing digital, se ha determinado que la velocidad de captación de nuevos usuarios sigue la función $v(t) = \frac{t^2 + 2t + 3}{t + 1}$, donde $t$ es el tiempo en días.

Calcula la función de usuarios totales $U(t)$, sabiendo que en el instante inicial ($t=0$) había 100 usuarios.

Calcula el valor de la siguiente integral definida aplicando la Regla de Barrow:

Para ello, descompón la fracción en suma de fracciones simples y opera con las propiedades de los logaritmos para simplificar el resultado final.

Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función $f(x) = \frac{x - 3}{x^2 - 6x + 9}$, el eje de abscisas $OX$ y las rectas verticales $x = 4$ y $x = 6$.

Nota que el denominador presenta una raíz real doble. Utiliza la descomposición adecuada para este caso.

El costo marginal de producción de una empresa de componentes electrónicos viene dado por la función $C'(x) = \frac{10\,000}{x + 50}$ (en lempiras por unidad), donde $x$ representa el número de unidades fabricadas.

Determine el incremento total del costo si la producción aumenta de 150 a 250 unidades.

Determina los valores de los parámetros reales $A$ y $B$ para que se verifique la siguiente igualdad de descomposición en fracciones simples:

Una vez hallados, calcula la integral indefinida de la función original.

Halla el área de la región del plano encerrada entre la curva $y = \frac{x^2}{x-1}$ y la recta $y = \frac{1}{2}x + 3$.

Sigue estos pasos:

1. Encuentra los puntos de corte entre la curva y la recta.

2. Plantea la integral definida de la diferencia de ambas funciones entre dichos puntos.

3. Resuelve la integral racional resultante (necesitarás realizar la división de polinomios).

Una consultora de comercio electrónico modeliza la tasa de conversión diaria de una campaña publicitaria durante sus primeros tres días mediante la función racional $f(x) = \frac{x + 5}{x + 2}$, donde $x \in [0, 3]$ representa el tiempo en días. Se desea calcular la conversión acumulada dada por el área bajo la curva $\int_0^3 f(x)\,dx$.

1. a) Antes de integrar, realiza una estimación acotada del resultado: justifica razonadamente si $f(x)$ es creciente o decreciente en $[0, 3]$, calcula sus valores extremos $f(0)$ y $f(3)$, y utiliza estos valores para obtener una cota inferior y una cota superior del valor de la integral (aproximando el área mediante rectángulos inscritos y circunscritos).
2. b) Dado que $\text{grado}(P) \geq \text{grado}(Q)$, efectúa la división de polinomios para expresar $\frac{x + 5}{x + 2}$ en la forma $C(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}$.
3. c) Halla la función primitiva $F(x)$ y calcula el valor exacto de la integral definida mediante la regla de Barrow. Comprueba si el valor obtenido es coherente con tu estimación previa, sabiendo que $\ln(5/2) \approx 0.916$.

El Consorcio Regional de Transportes estudia el flujo neto de entrada de pasajeros a una estación intermodal durante la hora punta matinal. La tasa neta de afluencia (en miles de viajeros por hora) viene dada por la función:

donde $t \in [0, 3]$ mide el tiempo en horas transcurridas desde las 06:30 de la mañana.

1. a) Identifica las raíces del denominador y descompón la tasa $f(t)$ en una suma de fracciones simples, razonando detalladamente la obtención de las constantes.
2. b) Determina la función $N(t)$ que expresa el número acumulado de viajeros (en miles) que han entrado en la estación tras $t$ horas, sabiendo que a las 06:30 ($t = 0$) el contador acumulado parte de cero, es decir, $N(0) = 0$.
3. c) Calcula cuántos miles de viajeros habrán entrado en total a las 08:30 ($t = 2$), simplificando la expresión resultante con las propiedades de los logaritmos y redondeando a dos cifras decimales con los datos $\ln 2 \approx 0.693$ y $\ln 3 \approx 1.099$.

Una empresa de mensajería ha determinado que el costo marginal de procesar $x$ miles de paquetes diarios viene dado por la función $C'(x) = \dfrac{x^3 + 2x^2 + 5}{x^2 + 2x}$ (en cientos de lempiras). Sabiendo que los costos fijos (el costo de procesar 0 paquetes) son de 1200 lempiras, obtenga la función de costo total $C(x)$.

Calcula la integral indefinida de la función $f(x) = \dfrac{2x^2 - 10x + 7}{(x-1)^2(x-3)}$. Ten en cuenta que el denominador presenta una raíz real doble y una simple, lo que requiere una descomposición en tres fracciones simples.

Se estima que la tasa de variación de la población de una ciudad, en relación al tiempo $t$ (en años), sigue el modelo $P'(t) = \dfrac{4t^2}{t^2 - 5t + 6}$. Si en el año $t=4$ la población es de 50,000 habitantes, calcula la expresión de la función de población $P(t)$ para $t>3$ y determina el crecimiento total experimentado entre el año $t=4$ y el año $t=5$.

Halla una función primitiva $F(x)$ de $f(x) = \dfrac{x^4 - 3x^2 + 2x - 1}{x^2 - 4}$ que cumpla la condición de que su gráfica pase por el punto $(3, \ln 5)$. Pista: Realiza primero la división polinómica.

Calcula el valor de la integral definida $\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{e^{2x}}{e^x + 2} \, dx$ utilizando el cambio de variable $e^x = t$. Una vez realizado el cambio, resuelve la integral racional resultante.

Dada la función $f(x) = \dfrac{1}{x^3 - x}$, determina el área del recinto limitado por la curva, el eje de abscisas y las rectas verticales $x = 2$ y $x = 3$. Presenta el resultado final utilizando un único logaritmo.

Determina los valores de los parámetros $A$, $B$ y $C$ para que la función $F(x) = A \times \ln|x+1| + B \times \ln|x-2| + \dfrac{C}{x-2}$ sea una primitiva de $f(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 1}{(x+1)(x-2)^2}$.

El ingreso marginal por la venta de un nuevo modelo de teléfono inteligente (en cientos de lempiras por unidad) está dado por $I'(x) = \dfrac{5\,000x + 10\,000}{x^2 + 4x + 4}$. Si el ingreso total por vender 8 unidades es de 37,500 lempiras, ¿cuál será el ingreso total si se venden 18 unidades? Nota: Observe si el denominador puede simplificarse o expresarse como una potencia de un binomio.

Se investiga una función racional de la forma $f(x) = \frac{a x^2 + b x + 5}{(x - 1)^2}$, definida para todo $x \neq 1$, donde $a$ y $b$ son coeficientes reales. Se sabe que una primitiva suya, $F(x)$, cumple simultáneamente tres condiciones:

1. Su comportamiento asintótico en el infinito satisface $\lim_{x \to +\infty} [F(x) - (2x + 6)] = 0$.

2. La función $f(x)$ admite una descomposición en fracciones simples de la forma $f(x) = a + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{(x - 1)^2}$.

3. La gráfica de $F(x)$ pasa por el punto $(2, 7)$.

1. a) Deduce de forma razonada el valor del coeficiente $a$ y demuestra que necesariamente $B = 0$ analizando la forma general de la integral de $f(x)$ y el comportamiento asintótico de los términos logarítmicos cuando $x \to +\infty$.
2. b) A partir de los valores hallados, determina algebraicamente los valores de los parámetros $b$ y $C$ para que la igualdad entre las expresiones de $f(x)$ sea válida para todo $x \neq 1$.
3. c) Halla la expresión analítica explícita de la primitiva $F(x)$ que satisface todas las condiciones dadas.

Se considera la familia de integrales indefinidas $I(k) = \int \frac{x + k}{x^2 - 4x + 4}\,dx$, para el intervalo $x > 2$, donde $k$ es un parámetro real constante.

1. a) Sin realizar la descomposición completa en fracciones simples, razona para qué valor numérico del parámetro $k$ el integrando se convierte en una función de tipo puramente logarítmico (es decir, donde el numerador es proporcional a la derivada del denominador) y no genera ningún término potencial tras integrar. Calcula la primitiva para ese valor particular de $k$.
2. b) Para cualquier otro valor $k \neq -2$, compara razonadamente dos métodos algebraicos posibles para resolver la integral:

• Método A: Descomposición formal por coeficientes indeterminados: $\frac{x+k}{(x-2)^2} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{(x-2)^2}$.

• Método B: Reescribir el numerador como $(x - 2) + (k + 2)$ y separar directamente en dos fracciones.

Indica cuál de los dos métodos es más ágil y justifica por qué ambos conducen exactamente al mismo resultado.

1. c) Obtén la familia general de primitivas $F(x)$ en función de $k$. A continuación, analiza razonadamente qué signo toma el límite $\lim_{x \to 2^+} F(x)$ según sea $k > -2$, $k = -2$ o $k < -2$, justificando qué término domina el comportamiento en la asíntota vertical.