Ejercicios: Propiedades de las integrales

Un grupo de estudiantes está diseñando un logotipo para su graduación. La parte superior del logo sigue la curva de una función $f(x)$. Sabemos que:

• $\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12$

• $\int_{5}^{8} f(x) \, dx = 7$

Calcula, aplicando la propiedad de aditividad del intervalo, el valor de la superficie total bajo la curva desde $x=1$ hasta $x=8$.

Razona, sin necesidad de realizar ningún cálculo de primitivas, por qué el valor de la siguiente integral definida es exactamente cero. Para ello, observa la simetría de la función respecto al origen (función impar) y los límites de integración:

En el estudio del impacto ambiental de una fábrica, se ha obtenido una función $f(x)$ que mide la emisión de gases. Se sabe que la integral definida en un intervalo coincide con el área si la función es positiva.

Supón que $f(x)$ es continua y no cambia de signo en el intervalo $[2, 6]$. Si sabemos que $\int_{2}^{6} f(x) \, dx = -15$, ¿qué podemos afirmar sobre la posición de la gráfica de la función $f(x)$ respecto al eje $OX$ en ese intervalo? Justifica tu respuesta basándote en las propiedades del signo de la integral.

Sea $f(x)$ una función continua que representa la velocidad de un dron, en metros por segundo, en función del tiempo $x$, en segundos. Aplicando las propiedades de la integral definida, indica cuál es el valor de:

Justifica tu respuesta mencionando la propiedad correspondiente a los límites de integración iguales.

Para estimar el beneficio marginal acumulado de una empresa de transportes entre varias sedes, Marcos necesita calcular el valor de $\int_{-2}^{3} f(x)\,dx$. En el registro de datos solo dispone de dos integrales ya calculadas de la función continua $f$: $\int_{-2}^{1} f(x)\,dx = 5$ y $\int_{3}^{1} f(x)\,dx = 4$. Marcos afirma en su informe lo siguiente: «Como intervienen los valores $-2$, $1$ y $3$, basta sumar directamente ambos valores: $\int_{-2}^{3} f(x)\,dx = 5 + 4 = 9$».

1. a) Localiza y explica con precisión el error conceptual que ha cometido Marcos al aplicar las propiedades de la integral definida.
2. b) Enuncia la propiedad de inversión de extremos (cambio de límites) y la de aditividad respecto al intervalo de integración que Marcos debió considerar.
3. c) Corrige el razonamiento y calcula el valor verdadero de $\int_{-2}^{3} f(x)\,dx$.

Se pide calcular el valor de la integral definida $I = \int_{-3}^{3} (8x^5 - 6x^3 + 5)\,dx$. Dos compañeros de clase proponen caminos distintos:

• Método de Alba: Obtener una primitiva $F(x) = \frac{4}{3}x^6 - \frac{3}{2}x^4 + 5x$, sustituir los extremos $x = 3$ y $x = -3$, y calcular la diferencia $F(3) - F(-3)$ mediante la regla de Barrow.

• Método de Bruno: Utilizar la propiedad de linealidad para descomponer la integral en sumandos y aplicar las propiedades de simetría de funciones pares e impares en intervalos simétricos de la forma $[-a, a]$.

1. a) Desarrolla el procedimiento que seguiría Bruno, identificando qué sumandos corresponden a funciones impares y cuál es el resultado de integrarlos en $[-3, 3]$ sin necesidad de evaluar potencias.
2. b) Compara la carga de cálculo y el riesgo de cometer errores aritméticos en ambos métodos. ¿Cuál es el valor final exacto de la integral $I$?

En el diseño de un nuevo logotipo para una marca de ropa "skate", se utiliza una función par $f(x)$ para dibujar la parte superior de una simetría. Se sabe que el área encerrada por esta función y el eje $OX$ entre el centro ($x=0$) y el extremo derecho ($x=4$) es de 12 unidades de área.

Sabiendo que $f(x)$ es una función par ($f(x) = f(-x)$), calcula el valor de la siguiente integral definida apoyándote en sus propiedades:

Nota: Recuerda el comportamiento de las funciones impares en intervalos simétricos.

El flujo de agua en un depósito de una granja ecológica varía a lo largo de la mañana siguiendo una función continua $f(t)$. Los sensores de medición han registrado los siguientes datos de flujo acumulado (en m³):

1. $\int_{2}^{8} f(t) dt = 24$

2. $\int_{5}^{8} f(t) dt = 9$

Calcula, utilizando las propiedades de los límites de integración, el valor de:

Considera la función $f(x)$ cuya gráfica es continua en todo el intervalo $[0, 10]$. Si sabemos que el valor de la integral definida en todo el intervalo es $\int_{0}^{10} f(x) dx = 25$, calcula el valor del parámetro $k$ para que se cumpla la siguiente igualdad basada en las propiedades de linealidad:

Un estudio de mercado para una nueva aplicación para celular estima que el ritmo de beneficio neto mensual (en miles de lempiras) viene dado por una función continua $B(t)$. Tras analizar los datos del primer año, se observa que:

• El beneficio acumulado del primer semestre es $\int_{0}^{6} B(t) dt = 1\,000$.

• El beneficio acumulado del segundo semestre es $\int_{6}^{12} B(t) dt = 1\,375$.

Si el director ejecutivo de la empresa decide aplicar un impuesto del 10% sobre el ritmo de beneficio (lo que equivale a multiplicar la función por $0.9$) y además hay unos costos de mantenimiento constantes de $25$ mil lempiras al mes, plantee y calcule la integral que representa el beneficio final real de la empresa al terminar el año:

En un estudio sobre el consumo eléctrico en una comarca agrícola durante una ola de calor, los técnicos de la distribuidora modelizan la demanda instantánea suplementaria mediante la función continua $f(x) = \frac{12}{x+3}$ (en megavatios, MW), donde $x \in [0, 9]$ representa los días transcurridos desde el inicio del episodio.

1. a) Estima: Sin calcular primitivas, justifica que la función $f(x)$ es estrictamente decreciente en el intervalo $[0, 9]$, determina su cota inferior $m$ y su cota superior $M$, y aplica la propiedad del valor acotado de las integrales definidas ($m(b-a) \le \int_a^b f(x)\,dx \le M(b-a)$) para acotar entre dos valores numéricos el consumo acumulado total $I = \int_{0}^{9} f(x)\,dx$.
2. b) Comprueba: Obtén la primitiva de $f(x)$ y calcula el valor exacto de $I$ aplicando la regla de Barrow (expresa el resultado en términos de $\ln(2)$, teniendo en cuenta que $\ln(4) = 2\ln(2)$). Tomando la aproximación $\ln(2) \approx 0.693$, halla el consumo aproximado con dos decimales y comprueba si el resultado es coherente con el intervalo estimado en el apartado anterior.

Una planta fotovoltaica con almacenamiento en baterías de Extremadura vierte o absorbe potencia de la red eléctrica según la hora del día. La potencia neta intercambiada a lo largo de un período de 8 horas se modeliza mediante la función continua $p(t) = 6 - 1.5t$ (en MW), donde $t \in [0, 8]$ mide las horas transcurridas desde las 10:00 ($t=0$). Cuando $p(t) > 0$, la planta inyecta energía a la red; cuando $p(t) < 0$, absorbe energía de la red. La energía neta total acumulada transferida desde el instante inicial se define como $E(x) = \int_{0}^{x} p(t)\,dt$ (en MWh).

1. a) Aplica el Teorema Fundamental del Cálculo para hallar la derivada $E'(x)$. Sin calcular previamente la integral, determina en qué hora exacta ($x$) se alcanza la máxima energía neta vertida a la red, justificando tu respuesta mediante el signo de $p(t)$.
2. b) Descompón la integral total $\int_{0}^{8} p(t)\,dt$ en dos intervalos contiguos según el signo de $p(t)$ y calcula el valor de cada una de las dos integrales parciales. Interpreta por qué el resultado global en $[0, 8]$ no representa la energía total bruta movilizada, sino un balance neto, recurriendo al concepto de la integral como «área con signo».

Sea la función $F(x)$ definida mediante una integral de la siguiente forma:

Sin necesidad de calcular la integral, utiliza el Teorema Fundamental del Cálculo y la regla de la cadena para determinar:

1. a) La expresión de la derivada $F'(x)$.
2. b) El valor de $F'(1)$ y explica su significado físico si $F(x)$ representara el beneficio acumulado de una inversión tras $x$ años.

Calcula el valor de la integral definida en el intervalo $[-2, 2]$ de la función $f(x) = |x^2 - 1| + x \times e^{x^2}$. Para ello, utiliza la propiedad de la aditividad del intervalo para gestionar el valor absoluto y la propiedad de las funciones impares para simplificar el cálculo de la segunda parte del sumando. Justifica detalladamente cada paso basado en las propiedades de la integral.

Dada la gráfica de la función continua $f(x)$ que se muestra a continuación, define la función integral $G(x) = \int_{-2}^{x} f(t) \, dt$ en el intervalo $[-2, 4]$.

Basándote en las propiedades de la función integral y la observación de la gráfica:

1. a) Indica los intervalos donde $G(x)$ es creciente y decreciente.
2. b) Determina en qué valor de $x$ alcanza $G(x)$ su máximo absoluto en el intervalo $[-2, 4]$.
3. c) ¿Cuál es el valor de la derivada $G'(0)$?

Demuestra, utilizando las propiedades de comparación y monotonía de la integral definida, que el valor de la integral $I = \int_0^1 e^{x^2} \, dx$ se encuentra acotado entre los valores $1$ y $e$.

Es decir, justifica sin calcular la primitiva (que no es elemental) por qué se cumple que:

¿Cómo cambiarían estas cotas si el intervalo de integración fuera $[0, 0.5]$? Justifica tu respuesta.

Una empresa de paquetería urgente analiza la desviación de sus costos operativos por reparto respecto al horario óptimo del mediodía mediante una función de costo marginal $f(x) = a x^2 + b x + c$, donde $x \in [-2, 2]$ representa las horas de adelanto o retraso respecto a las 14:00 ($x=0$). A partir de los registros contables se conocen tres datos:

1. La función presenta simetría par en el intervalo $[-2, 2]$, es decir, el costo por desvío horario depende únicamente de la magnitud de la desviación temporal, no de su signo ($f(-x) = f(x)$).

2. En el momento óptimo ($x=0$), el costo marginal es de $2$ lempiras/hora ($f(0) = 2$).

3. El costo total acumulado en las 4 horas de la franja, calculado como $\int_{-2}^{2} f(x)\,dx$, es exactamente de $24$ lempiras.

1. a) Deduzca razonadamente el valor del coeficiente $b$ a partir de la condición de paridad y exprese $\int_{-2}^{2} f(x)\,dx$ como múltiplo de la integral en el semieje positivo $[0, 2]$.
2. b) Determine los valores de los parámetros $a$ y $c$, y escriba la expresión definitiva de la función $f(x)$.
3. c) Se define la función de acumulación de costos $G(x) = \int_{0}^{x} f(t)\,dt$ para $x \in [-2, 2]$. Sin necesidad de calcular la fórmula explícita de $G(x)$, aplique el Teorema Fundamental del Cálculo para justificar si $G(x)$ es creciente o decreciente en todo el intervalo y analice si su gráfica presenta algún punto de inflexión.