Ejercicios: Primitiva de una función

Dada la función $f(x) = 4x^3 - 6x + 1$, comprueba razonadamente si la función $F(x) = x^4 - 3x^2 + x + 5$ es una de sus primitivas. Para ello, utiliza la definición de primitiva basada en la derivación.

Halla el conjunto de todas las primitivas de la función polinómica $f(x) = 3x^2 + 2x - 5$. Recuerda incluir la constante de integración $C$ y explicar qué representa geométricamente este valor en el gráfico de las funciones resultantes.

Calcula la primitiva de la función $f(x) = e^x + \cos(x)$ que pasa por el origen de coordenadas, es decir, por el punto $(0, 0)$.

En el departamento de mercadeo de una conocida marca de tenis, han determinado que el ingreso marginal (la derivada del ingreso total) viene dado por la función $I'(x) = 100 - 4x$, donde $x$ representa el número de unidades vendidas. Calcule la función de ingreso total $I(x)$ sabiendo que si no se vende ninguna unidad, el ingreso es cero ($I(0) = 0$).

Halla la integral indefinida de la función racional $f(x) = \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}$ para valores de $x > 0$. Utiliza las propiedades de linealidad de la integral para resolver cada sumando por separado.

Determina la función $F(x)$ cuya derivada es $f(x) = \sqrt{x}$ y que cumple la condición de que $F(1) = 2$. Expresa el resultado final con el exponente en forma de fracción.

Un dron se desplaza de forma que su velocidad en metros por segundo sigue la función $v(t) = 2t + 3$. Si en el instante inicial ($t = 0$) el dron se encuentra en la posición $s = 10$ metros, obtén la función de posición $s(t)$ integrando la función de velocidad.

Calcula una función $G(x)$ tal que $G'(x) = 5 \times e^x - 2x$ y que pase por el punto $(0, 7)$. Una vez hallada, verifica tu resultado derivando la función obtenida.

Carlos afirma que las funciones $F(x) = \ln(x^2+1)$ y $G(x) = \ln(3x^2+3)$ no pueden ser primitivas de una misma función porque entre sus expresiones algebraicas no figura ninguna constante numérica sumando de forma explícita, es decir, no observa la forma $G(x) = F(x) + C$.

1. a) Deriva ambas funciones y comprueba si Carlos tiene razón o si, por el contrario, ambas derivan en la misma función $f(x)$.
2. b) Identifica el error conceptual de Carlos aplicando las propiedades de los logaritmos sobre $G(x)$ y determina cuál es el valor exacto de la constante real $C$ que cumple $G(x) = F(x) + C$.

Se desea comprobar si la función $F(x) = \dfrac{2x-1}{x^2+1}$ es una primitiva de $f(x) = \dfrac{-2x^2 + 2x + 2}{(x^2+1)^2}$. Para resolverlo, dos compañeros de clase debaten qué estrategia seguir:

• Mateo propone calcular directamente la integral indefinida $\int \dfrac{-2x^2 + 2x + 2}{(x^2+1)^2} \, dx$ mediante métodos de integración de funciones racionales.

• Sara propone derivar la función $F(x)$ aplicando la regla del cociente y contrastar el resultado obtenido con la expresión de $f(x)$.

1. a) Razona cuál de los dos métodos es más directo y conveniente de acuerdo con la definición matemática de primitiva.
2. b) Aplica el método más adecuado para dictaminar de manera justificada si $F(x)$ es o no una primitiva de $f(x)$.

Dada la función $f(x) = \dfrac{6x}{x^2+3} + 4e^{2x}$, comprueba si la función $F(x) = 3 \ln(x^2+3) + 2e^{2x} + \pi$ es una de sus primitivas. Justifica tu respuesta utilizando la definición de primitiva y explica qué papel juega la constante $\pi$ en este contexto.

Un dron de vigilancia se desplaza de forma lineal y su velocidad en metros por segundo, transcurridos $t$ segundos, viene dada por la función $v(t) = 3t^2 - 6t + 10$. Sabiendo que en el instante inicial ($t=0$) el dron se encuentra a una distancia de 15 metros del punto de control, halla la expresión de la función de posición $s(t)$.

Una empresa emergente de desarrollo de aplicaciones móviles estima que el ingreso marginal (en miles de lempiras) por cada mil descargas adicionales de su nueva app está dado por la función:

$I'(x) = \dfrac{25}{x+1} + 50x$

donde $x$ representa el número de miles de descargas ($x > 0$).

Calcule la función de ingresos totales $I(x)$, sabiendo que si no hay descargas ($x=0$), el ingreso es nulo.

Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $F(x) = a \times e^{x^2} + b \times \ln(x)$ sea una primitiva de la función $f(x) = 4x \times e^{x^2} + \dfrac{5}{x}$. Una vez hallados, escribe la expresión de todas las posibles primitivas de $f(x)$.

La derivada de una función $f(x)$ es $f'(x) = 6x^2 - 10x + 1$. Halla la expresión de $f(x)$ sabiendo que su gráfica corta al eje de ordenadas (eje $Y$) en el punto $y = 7$.

Determina la función $f(x)$ de la que se conoce que su segunda derivada es $f''(x) = 12x - 4$. Además, se sabe que la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 1$ es horizontal, y que la función pasa por el punto $(0, 5)$.

El costo marginal de fabricación de un nuevo modelo de auriculares inalámbricos se define por la función $C'(q) = \sqrt{q+4}$, donde $q$ es el número de unidades producidas. Si los costos fijos de la fábrica (costos cuando la producción es cero) ascienden a $5000$ lempiras, encuentre la función de costo total $C(q)$.

De todas las primitivas de la función $f(x) = \dfrac{2}{x-2} + 3x^2$, encuentra aquella cuya gráfica pasa por el punto $(3, 10)$. Expresa el resultado de forma simplificada utilizando logaritmos neperianos.

Una cooperativa de reparto de última milla en una ciudad hondureña renueva su flota adquiriendo camiones pequeños eléctricos. El equipo económico estima que el ritmo de variación del costo total semanal viene modelizado por la función de costo marginal $C'(x) = 12x + 50$ (en lempiras por semana y vehículo adicional), donde $x \geq 0$ es el número de vehículos en activo. Se sabe que los costos fijos semanales (costos estructurales cuando no hay ningún vehículo en reparto, $x = 0$) son de $1\,800$ lempiras.

1. a) Modele la función de costo total semanal $C(x)$ calculando su primitiva correspondiente y justificando cómo se determina el valor de la constante de integración.
2. b) La función de costo medio por vehículo se define como $\bar{C}(x) = \dfrac{C(x)}{x}$. Calcule el costo medio si la cooperativa opera con una flota de $10$ camiones pequeños y explique razonadamente por qué el sumando del costo medio debido a la constante de integración (costo fijo medio) disminuye conforme aumenta el tamaño de la flota.

Encuentre una función afín $f(x) = ax + b$ sabiendo que una de sus infinitas primitivas, a la que llamaremos $F_1(x)$, satisface simultáneamente las siguientes tres condiciones:

1. Presenta un extremo relativo en el punto de abscisa $x = 2$.

2. Su gráfica corta al eje vertical de ordenadas en el punto $(0, -5)$.

3. Su valor en el extremo relativo mencionado es exactamente $3$, es decir, $F_1(2) = 3$.

1. a) Deduzca la expresión analítica de $f(x)$ y la fórmula de la primitiva $F_1(x)$, explicando con claridad qué información aporta la existencia de un extremo relativo de $F_1$ sobre el valor de $f(2)$.
2. b) Determine si el extremo relativo en $x = 2$ es un máximo o un mínimo local argumentando a partir del signo de la función $f(x)$ a ambos lados de dicho punto.

Se considera la función marginal de las ganancias de una empresa emergente de desarrollo de software, definida por la siguiente función seccionada:

Donde $x$ representa el número de años desde la creación de la empresa y $f(x)$ el ritmo de crecimiento de los beneficios en miles de lempiras por año.

Encuentre la función de beneficios acumulados $F(x)$ sabiendo que es una función continua en todo su dominio y que en el momento de su lanzamiento ($x=0$) la empresa contaba con unos fondos iniciales de $10$ mil lempiras.

Una conocida plataforma de streaming ha analizado que la velocidad de captación de nuevos suscriptores en Honduras sigue la función $v(t) = \frac{\ln(t+1)}{(t+1)^2}$, donde $t$ es el tiempo en meses desde una campaña de marketing viral.

Se pide calcular la función que determina el número total de suscriptores adicionales $S(t)$ generados por la campaña, sabiendo que en el instante inicial ($t=0$) no había ningún suscriptor atribuible a dicha campaña. Exprese el resultado de forma simplificada utilizando la técnica de integración por partes.

Dada la función $f(x) = \frac{ax^2 + b}{x^2}$, determina los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ sabiendo que una de sus funciones primitivas, $F(x)$, cumple simultáneamente las siguientes tres condiciones:

1. Pasa por el punto $P(1, 4)$.

2. Tiene un extremo relativo en el punto de abscisa $x = 2$.

3. La recta tangente a la gráfica de $F(x)$ en $x = -1$ tiene una pendiente igual a $3$.

Un equipo de sociólogos estudia la velocidad de propagación de una noticia falsa en una red social. Determinan que el ritmo de compartidos por hora viene dado por la función:

Halla la expresión de la función $C(t)$ que representa el número total de compartidos acumulados, sabiendo que a la hora de empezar el estudio ($t=0$) ya se habían realizado $100$ compartidos. Utiliza la descomposición en fracciones simples para resolver la integral y deja el resultado en función de un único logaritmo.

La gráfica adjunta es una parábola que representa la función derivada $f'(x)$ de una función $f(x)$ que es continua en todo el intervalo $[-2, 2]$.

Sabiendo que $k = 4$ y que la función original $f(x)$ pasa por el punto $(0, 1)$, obtén la expresión analítica de $f(x)$ y razona, a partir de la geometría de la derivada, cuántos puntos de inflexión tendrá la primitiva en ese intervalo.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Halla la función primitiva $F(x)$ de la función $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})}$ que cumpla la condición $F(1) = 2 \times \ln(2)$.

Sugerencia: Utiliza el cambio de variable $t = \sqrt{x}$.

Se sabe que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función $f(x)$ en cualquier punto $(x, f(x))$ viene dada por la expresión $m(x) = (x^2 - 1) \times \ln(x)$ para $x > 0$.

Determina la expresión de la función $f(x)$ sabiendo que su gráfica corta al eje de abscisas en el punto $x = 1$. Deberás aplicar el método de integración por partes y simplificar el polinomio resultante.

Una empresa de logística ha calculado que el costo marginal de mantener un paquete en su almacén central (en lempiras por día) depende del tiempo $t$ (en días) según la función:

Calcule la función de costo total $C(t)$ si se sabe que los costos fijos de entrada al almacén (costo en $t=0$) ascienden a $1\,250$ lempiras.

Nota: Realice la división polinómica previa para obtener una integral inmediata o casi inmediata.

En un informe sobre la creación de empleo neto mensual en un sector tecnológico durante el primer semestre del año ($0 \leq t \leq 6$, medido en meses), el ritmo de variación se modeliza mediante la función continua $f(t) = 3t^2 - 12t + 9$ (en cientos de puestos de trabajo por mes). La función $E(t)$ representa el empleo neto acumulado desde el inicio del semestre, cumpliéndose $E(0) = 0$.

1. a) Sin calcular previamente la expresión analítica de la primitiva $E(t)$:

• Resuelve la ecuación $f(t) = 0$ y analiza el signo de $f(t)$ en el intervalo $[0, 6]$ para estimar en qué meses se alcanzarán un máximo relativo y un mínimo relativo de empleo acumulado.

• Analiza cualitativamente los periodos donde $f(t) > 0$ frente a aquellos donde $f(t) < 0$ para hacer una estimación razonada de si el balance final en $t = 6$, $E(6)$, será positivo, negativo o nulo.

1. b) Halla analíticamente la primitiva $E(t)$ que satisface la condición inicial $E(0) = 0$. Calcula con exactitud los valores $E(1)$, $E(3)$ y $E(6)$, contrástalos con las previsiones que realizaste en el apartado anterior y justifica si tus estimaciones cualitativas eran correctas.

En una planta fotovoltaica del sur de España, la tasa horaria de generación e inyección de energía a la red durante la mañana viene descrita por la función continua $f(t)$ (en megavatios), donde $t$ representa el tiempo en horas transcurrido desde el amanecer ($0 \leq t \leq 8$):

Para calcular la energía acumulada $E(t)$, un estudiante propone la siguiente función:

Como al amanecer ($t = 0$) la energía acumulada es nula ($E(0) = 0$), el estudiante deduce que $C = 0$ en el primer tramo y mantiene ese mismo valor para el segundo tramo, concluyendo que a las 5 horas la energía acumulada es $E(5) = 6 \times 5 + 0 = 30\text{ MWh}$.

1. a) Explique con rigor matemático el error cometido por el estudiante al asignar una única constante $C$ a ambos intervalos. Justifique por qué toda primitiva debe ser derivable y, en consecuencia, continua en $t = 3$, y demuestre que la función propuesta por el estudiante presenta una discontinuidad de salto en dicho punto.
2. b) Corrija el planteamiento: escriba la familia de primitivas utilizando dos constantes independientes ($C_1$ y $C_2$), imponga la condición de continuidad en $t = 3$ y determine la función acumulada correcta $E(t)$ que verifica $E(0) = 0$. Con ella, calcule la energía real generada tras 5 horas.