Ejercicios: Integración por partes

Para iniciarte en el método de integración por partes, es fundamental saber elegir qué función será $u$ (la que derivamos) y cuál será $dv$ (la que integramos). Utilizando la regla mnemotécnica ALPES (Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos/Cosenos), identifica $u$ y $dv$ para resolver la siguiente integral indefinida, aplicando la fórmula $\int u\,dv = u\times v - \int v\,du$:

Calcula la primitiva de la función $f(x) = x \times \cos(x)$. Recuerda que al aplicar el método de las partes, debes buscar que la nueva integral resultante sea más sencilla que la original.

Un clásico de las integrales por partes es la función logaritmo, ya que no tiene una integral inmediata directa. En este caso, debemos considerar que la función está multiplicada por $1$ (es decir, $dv = dx$).

Calcula la siguiente integral indefinida:

Halla el conjunto de todas las primitivas de la siguiente función, simplificando el resultado final sacando factor común si es posible:

Calcula la integral indefinida de la función $g(x) = 2x \times \sin(x)$. Indica paso a paso cuál ha sido tu elección para $u$ y para $dv$, así como sus correspondientes diferencial de $u$ ($du$) e integral de $v$ ($v$).

El ritmo de crecimiento de una población de bacterias en un laboratorio sigue la función marginal $B'(t) = \ln(2t)$, donde $t$ es el tiempo en horas. Encuentra la función general de la población $B(t)$ integrando por partes.

Determina la integral definida en el intervalo $[1, e]$ de la función $f(x) = 5 \ln(x)$.

Calcula el área de la región plana limitada por la curva $y = x \times e^{-x}$, el eje de abscisas $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = 1$.

A la hora de enfrentarte al cálculo de primitivas, reconocer la estructura de la función antes de operar evita aplicar métodos largos innecesariamente. Observa estas dos integrales indefinidas:

1. a) Justifica detalladamente cuál de las dos integrales es inmediata (o resoluble mediante la regla de la cadena) y cuál requiere obligatoriamente el método de integración por partes.
2. b) Para la integral que requiere integración por partes, aplica el criterio de la regla ALPES para justificar tu asignación de $u$ y $dv$, y calcula su familia de primitivas.

Carla ha intentado calcular la integral indefinida $\int x \times \ln(x) \, dx$ en un examen y ha dejado escrito el siguiente desarrollo:

«Paso 1: Elijo $u = x \implies du = dx$ y $dv = \ln(x) \, dx \implies v = \frac{1}{x}$.

Paso 2: Aplico la fórmula: $\int x \times \ln(x) \, dx = x \times \frac{1}{x} - \int \frac{1}{x} \, dx = 1 - \ln|x| + C$».

1. a) Identifica y explica de forma argumentada los dos errores conceptuales cometidos por Carla (uno relativo a la prioridad de elección en la regla ALPES y otro en la obtención de $v$ a partir de $dv$).
2. b) Resuelve la integral correctamente paso a paso aplicando el método de integración por partes y comprueba tu resultado derivando la función obtenida.

Un conocido influencer ha analizado el crecimiento de sus seguidores en una nueva red social. La velocidad de crecimiento instantánea (seguidores por día) viene dada por la función $f(t) = (2t + 10) \times e^{0.1t}$, donde $t$ es el tiempo en días desde el lanzamiento de su canal. Utiliza el método de integración por partes para calcular la función $S(t)$ que representa el número total de seguidores acumulados, sabiendo que en el momento del lanzamiento ($t = 0$) el canal contaba con 500 seguidores.

En un estudio sobre psicología del aprendizaje, se ha determinado que la capacidad de retener nuevos términos de vocabulario en una lengua extranjera sigue un ritmo marcado por la función $v(t) = t^2 \times \ln(t)$, donde $t$ es el tiempo de estudio en horas ($t \geq 1$). Calcula la primitiva de esta función que pasa por el punto $(1, 2)$.

Una empresa de sonido está diseñando un filtro para ecualizar pistas de audio. La energía disipada por un componente en un intervalo de tiempo se calcula mediante la integral definida de la función $E(t) = x \times \cos(x)$. Determina el valor exacto del área encerrada por la función $f(x) = x \times \cos(x)$, el eje de abscisas y las rectas verticales $x = 0$ y $x = \frac{\pi}{2}$.

Calcula la integral indefinida de la función $f(x) = \ln(3x + 2)$ utilizando el método de integración por partes. Pista: puedes considerar que la función está multiplicada por 1 para elegir tus variables $u$ y $dv$.

El beneficio marginal de una tienda de ropa vintage (en cientos de lempiras por mes) viene definido por la función $B'(x) = x^2 \times e^{-x}$, donde $x$ representa el número de meses desde su apertura. Aplicando el método de integración por partes las veces que sea necesario, obtenga la expresión del beneficio total $B(x)$, sabiendo que al finalizar el primer mes ($x = 0$) el beneficio era nulo.

Halla el área del recinto limitado por la gráfica de la función $f(x) = (x - 1) \times e^x$, el eje $OX$ y las rectas $x = 0$ y $x = 1$. Realiza un pequeño esquema del recinto antes de calcular la integral.

El costo marginal de producción de una fábrica de patinetas eléctricas se ajusta a la función $C'(x) = \frac{\ln(x)}{x^2}$ para $x > 1$, donde $x$ es el número de unidades producidas en miles. Determine la función de costo total $C(x)$ si los costos fijos (costo cuando $x = 1$) ascienden a 10 (en miles de lempiras).

Calcula la siguiente integral indefinida que combina funciones trigonométricas y polinómicas:

Asegúrate de simplificar el resultado final lo máximo posible.

Se desea calcular el área de la región del primer cuadrante delimitada por la curva $f(x) = x \times \ln(x)$, el eje de abscisas $y = 0$ y las rectas verticales $x = 1$ y $x = e$.

1. a) Antes de integrar, realiza una estimación geométrica razonada: acota superiormente el área calculando la superficie del rectángulo circunscrito (de base $[1, e]$ y altura $f(e)$) y la del triángulo que une los puntos $(1, 0)$, $(e, 0)$ y $(e, f(e))$. Justifica cuál de las dos cotas es más precisa y calcula su valor numérico aproximado tomando $e \approx 2.72$.
2. b) Determina el valor exacto del área calculando la integral definida $\int_1^e x \times \ln(x) \, dx$ mediante el método de integración por partes y la regla de Barrow.
3. c) Expresa el valor exacto en forma decimal con dos cifras y comprueba si el resultado valida y resulta coherente con tu estimación geométrica previa.

El Instituto Nacional de Estadística (INE) registra la evolución del gasto comercial durante una campaña de dinamización económica. Los analistas modelizan la tasa de variación instantánea del gasto acumulado mediante la función:

donde $t$ es el tiempo transcurrido en meses desde el lanzamiento ($t \in [0, 6]$) y $g(t)$ se mide en miles de lempiras por mes.

1. a) Empleando el método de integración por partes, determine la función $G(t)$ que expresa el gasto total acumulado al cabo de $t$ meses, sabiendo que al inicio de la campaña ($t = 0$) el gasto acumulado imputable a esta era de 0 lempiras.
2. b) Calcule el gasto total acumulado al completarse los 4 primeros meses de campaña ($t = 4$) e interprete hacia qué valor límite tendería el gasto si la campaña se mantuviese de forma indefinida ($t \to \infty$).

Calcula la primitiva de la siguiente función que pasa por el punto $(1, 2)$:

Nota: Recuerda que tras aplicar la fórmula de integración por partes, es posible que necesites realizar una división de polinomios o un ajuste para resolver la integral resultante.

Una empresa de desarrollo de aplicaciones móviles ha detectado que el ritmo de crecimiento de nuevos usuarios de su última red social sigue la función:

donde $t$ representa el tiempo en meses desde su lanzamiento. Determine la función que describe el número total de usuarios acumulados, sabiendo que en el momento del lanzamiento ($t=0$) la aplicación contaba con $1000$ usuarios de la fase beta.

Calcula el valor de la siguiente integral definida aplicando el método de integración por partes:

Halla el área del recinto plano limitado por la gráfica de la función $f(x) = (x-1) \times e^x$, el eje de abscisas $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = 2$. Ilustra la región sombreada en tu cuaderno antes de realizar el cálculo.

Un ingeniero modela la velocidad de vibración de una estructura sometida a oscilaciones forzadas mediante la función (en metros por segundo):

Calcula la integral indefinida de esta función. Ten en cuenta que este tipo de integrales se denominan "cíclicas", ya que al aplicar el método de integración por partes dos veces, reaparecerá la integral original en el lado derecho de la igualdad.

Calcula la primitiva de la función $g(x) = \frac{\ln x}{x^3}$ sabiendo que su gráfica tiene un punto de inflexión cuya coordenada $y$ es igual a $\frac{1}{4}$.

Resuelve la siguiente integral utilizando primero un cambio de variable y, posteriormente, el método de integración por partes:

Sugerencia: Haz el cambio $t = \sqrt{x}$. No olvides calcular el nuevo diferencial $dx$ en función de $dt$.

Determina el valor del parámetro real $k > 0$ sabiendo que el área de la región encerrada por la curva $f(x) = k \times x \times e^x$, el eje $OX$ y las rectas $x = 0$ y $x = 1$ es exactamente igual a $5$ unidades cuadradas.

El departamento financiero de una empresa tecnológica estima que la función de ingreso marginal derivada de comercializar $x$ miles de licencias de software ($x \ge 1$) responde al modelo:

donde $a$ y $b$ son parámetros reales constantes. No se conoce la fórmula completa, pero una auditoría externa aporta dos datos:

1. La derivada del ingreso marginal en $x = 1$ es $I''(1) = 3$.

2. El incremento del ingreso total al pasar de 1 a $e$ miles de licencias, dado por $\int_1^e I'(x) \, dx$, es exactamente igual a $\frac{e^2 + 9}{4}$ decenas de miles de lempiras.

1. a) Deduzca razonadamente el valor de las constantes $a$ y $b$. Para ello, halle la derivada de $I'(x)$ para aplicar el primer dato y resuelva la integral definida en función de los parámetros mediante integración por partes para utilizar el segundo dato.
2. b) Una vez obtenidas $a$ y $b$, calcule la función de ingreso total $I(x)$ sabiendo que para el nivel base de ventas no hay ingreso acumulado adicional ($I(1) = 0$).

En un estudio sobre distribución de rentas en el sector agroalimentario, se modeliza la Curva de Lorenz, $L(x)$, donde $x \in [0, 1]$ representa la proporción acumulada de perceptores y $L(x) \in [0, 1]$ la proporción acumulada de la renta que estos reciben:

1. a) Toda Curva de Lorenz debe verificar por definición que el $100\,\%$ de los perceptores acumula el $100\,\%$ de la renta, es decir, $L(1) = 1$. Deduce a partir de esta condición el valor del parámetro $a$ y comprueba si la curva pasa por el origen $(0, 0)$.
2. b) El Índice de Gini viene dado por $I_G = 2 \int_0^1 (x - L(x)) \, dx$. Aplica el método de integración por partes las veces necesarias para calcular el valor exacto de este índice.
3. c) Sabiendo que $I_G = 0$ indica igualdad distributiva absoluta y que valores superiores a $0.40$ reflejan una alta concentración de la renta, aproxima tu resultado tomando $e \approx 2.718$ e interpreta el nivel de desigualdad obtenido.