Ejercicios: Integrales inmediatas

Calcula la siguiente integral indefinida de una función polinómica básica utilizando las propiedades de linealidad (separación de sumas y extracción de constantes):

Halla la familia de funciones primitivas de la siguiente función que contiene una raíz cuadrada. Recuerda expresar la raíz como una potencia de exponente fraccionario antes de integrar:

Para poder integrar la siguiente función racional, primero debes simplificar la expresión dividiendo cada término del numerador por el denominador:

Calcula la integral indefinida de esta función que combina una exponencial de base $e$ y una potencia negativa. Ten cuidado con el signo al aplicar la regla de la potencia:

Halla la primitiva de la función $f(x) = \frac{1}{x} + \cos(x)$. Recuerda cuál es la función cuya derivada es $\frac{1}{x}$ y presta atención al valor absoluto:

Un estudio de mercado indica que el ritmo de crecimiento de seguidores de una nueva "influencer" viene dado por la función $f(x) = 6x + 10$ (donde $x$ es el tiempo en días).

Halla la función $F(x)$ que nos da el número total de seguidores, sabiendo que en el momento del lanzamiento (día $x=0$) ya contaba con $500$ seguidores.

Determina el valor de las siguientes integrales inmediatas casi directas (tipo logarítmico y tipo exponencial con constante):

1. a) $\int \frac{3}{x+2} \, dx$

1. b) $\int e^{5x} \, dx$

En una empresa de fabricación de fundas para celulares, el costo marginal (el costo de producir una unidad adicional) se estima mediante la función $C'(x) = 15x + 100$.

Obtenga la expresión del costo total $C(x)$ si se sabe que los costos fijos de la empresa (alquiler, luz, etc.), que corresponden a producir 0 unidades, ascienden a $30\,000$ lempiras.

En un examen de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, Carlos debe resolver la siguiente integral indefinida:

Para calcularla, escribe en su desarrollo lo siguiente:

1. a) Identifica y explica detalladamente el error conceptual que ha cometido Carlos. Justifica por qué la integral de un cociente no es el cociente de las integrales apoyándote en la relación que existe entre la derivación y la integración.
2. b) Explica cómo se debe reescribir algebraicamente el integrando, dividiendo cada término entre el monomio del denominador, para poder aplicar la tabla de integrales inmediatas.
3. c) Corrige el ejercicio y calcula la familia de primitivas correcta.

Para hallar la familia de primitivas de la función $f(x) = (2x - 3)(x + 5)$, dos compañeros de clase debaten sobre qué camino seguir:

• Elena afirma que, al tratarse de un producto de dos factores dependientes de $x$, es obligatorio utilizar el método de integración por partes tomando $u = 2x - 3$ y $dv = (x + 5) \, dx$.

• Sergio propone desarrollar primero el producto aplicando la propiedad distributiva para obtener un polinomio y, a continuación, integrar término a término usando la regla de la potencia de las integrales inmediatas.

1. a) Compara razonadamente ambas propuestas: explica cuál de los dos métodos es el más directo y adecuado para este problema, y si la propuesta de Elena es errónea o simplemente innecesariamente compleja.
2. b) Resuelve la integral siguiendo la estrategia más eficiente y comprueba tu resultado derivando la función obtenida.

Calcula la integral indefinida de la siguiente función polinómica que incluye términos con potencias fraccionarias y negativas. Recuerda que debes expresar el resultado de la forma más simplificada posible:

Halla la función primitiva $F(x)$ de la función $f(x) = \frac{3x^2 + 2}{x^3 + 2x - 5}$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto $P(1, 4)$. Analiza primero si el numerador es la derivada del denominador.

Una empresa de mensajería ha determinado que el ritmo de variación de sus costos de mantenimiento mensuales (en lempiras) viene dado por la función de costo marginal $C'(x) = 2.25x^2 - 20x + 500$, donde $x$ representa el número de furgonetas de la flota. Si los costos fijos (el costo cuando no hay furgonetas) ascienden a $37\,500$ lempiras, obtenga la función de costo total $C(x)$.

Calcula la integral de la siguiente función exponencial ajustando la constante necesaria para que el integrando coincida con la derivada de la función compuesta:

Determina la integral indefinida de la función trigonométrica dada a continuación. Ten en cuenta que es necesario realizar un pequeño ajuste numérico para obtener una integral inmediata:

Halla una función $f(x)$ cuya derivada sea $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{3x + 1}}$ y que cumpla la condición de que $f(1) = 0$.

Resuelve la siguiente integral indefinida de una función racional que resulta en una función de tipo arco tangente. Recuerda que debes manipular el denominador para que tenga la forma $1 + [g(x)]^2$:

Calcula la integral indefinida de la siguiente función utilizando las propiedades de las potencias y la linealidad de la integral:

Una cooperativa agrícola de Olancho dedicada al envasado de aceite de palma africana calcula que el costo marginal de envasado (en cientos de lempiras por cada millar de litros) sigue la función:

donde $x$ es el volumen envasado en millares de litros ($x \ge 1$). Se sabe que el costo inicial fijo de puesta a punto de la maquinaria antes de procesar el primer millar de litros ($x = 1$) es de $12$ cientos de lempiras, es decir, $C(1) = 12$.

1. a) Modele la función de costo total $C(x)$ determinando la constante de integración correspondiente mediante integrales inmediatas.
2. b) Justifique por qué en la primitiva del término $-\frac{1}{x}$ no es imprescindible escribir el valor absoluto en este caso concreto, atendiendo al contexto y al dominio de la variable $x$.
3. c) Calcule el costo total previsto para un lote de $x = 4$ millares de litros (utilice la aproximación $\ln 4 \approx 1.39$).

La Dirección General de Tráfico (DGT) monitoriza el ritmo de entrada de vehículos a los accesos de Madrid por la autovía A-6 durante un tramo de la operación retorno. Entre los minutos $t = 1$ y $t = 9$, el ritmo de afluencia (en decenas de vehículos por minuto) viene dado por la función:

Se desea calcular el total acumulado de vehículos $N(t)$ que entran en la vía a partir del minuto $t = 1$, de modo que $N(1) = 0$.

1. a) Antes de integrar, realice una estimación previa del total de vehículos que entrarán durante esos $8$ minutos: evalúe el ritmo en los extremos $r(1)$ y $r(9)$, calcule la media aritmética de ambos ritmos y multiplíquela por la duración del intervalo ($\Delta t = 8$ minutos).
2. b) Halle la función $N(t)$ descomponiendo el cociente en suma de potencias e integrando de forma inmediata con la condición $N(1) = 0$.
3. c) Calcule el valor exacto de $N(9)$ y valore si su estimación previa era razonable, explicando por qué la media lineal sobrestima o subestima ligeramente el valor real debido a la concavidad o convexidad del ritmo.

Una conocida empresa de desarrollo de aplicaciones para celulares ha determinado que el ritmo de crecimiento de sus ingresos diarios (en cientos de lempiras) está dado por la función de ingreso marginal $f'(x) = 3x^2 \times e^{x^3} + \frac{2x}{x^2+1}$, donde $x$ representa el tiempo en semanas desde el lanzamiento de su última actualización. Sabiendo que en el momento del lanzamiento ($x=0$) los ingresos acumulados eran de 500 lempiras ($5$ unidades en la función), determine la expresión de la función de ingresos totales $f(x)$.

Calcula la primitiva de la función $g(x) = \frac{x^3 - 2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 4}$ que cumple la condición de que su gráfica pase por el punto $P(0, 1)$. Pista: Realiza primero la división de polinomios para descomponer la fracción.

Un "influencer" está analizando la velocidad de pérdida de seguidores en una red social tras una polémica. La función que describe esta variación es $s'(t) = \frac{-6t}{(t^2+3)^2} - \cos(2t)$, donde $t$ es el tiempo en días. Si inicialmente el influencer tenía $100,000$ seguidores, halla la función $s(t)$ que permite calcular el número de seguidores en cualquier instante $t$.

Determina la familia de funciones $F(x)$ cuya derivada es $f(x) = \frac{5}{1+9x^2} + \sqrt[3]{x^2}$. De todas ellas, identifica aquella cuya recta tangente en el punto de abscisa $x=0$ tiene como ecuación $y = 5x - 2$.

Halla la integral indefinida de la función $h(x) = \frac{(e^x + 2)^2}{e^x} + \sin(x) \times \cos^4(x)$. Para resolverla, intenta simplificar el primer término expandiendo el cuadrado y separando la fracción, y observa el patrón de la regla de la cadena en el segundo término.

El costo marginal de producción de una fábrica de scooters eléctricos se define por la función $C'(q) = \frac{2\,500}{2q+10} + 375$, donde $q$ es el número de scooters fabricados. Si los costos fijos de la fábrica (el costo cuando $q=0$) ascienden a $62\,500$ lempiras, obtenga la función de costo total $C(q)$. ¿A cuánto ascendería el costo total si se fabrican $50$ scooters?

Calcula la función $f(x)$ sabiendo que su derivada segunda es $f''(x) = 12x^2 - 6x + 2$ y que su gráfica pasa por el punto $A(1, 10)$, en el que la pendiente de la recta tangente vale $5$.

Calcula la siguiente integral indefinida utilizando las propiedades de las potencias y las reglas de integración inmediata:

A continuación, halla la primitiva que toma el valor $4$ cuando $x=1$.

Un departamento de análisis financiero determina que la función que modeliza el beneficio acumulado $B(x)$ de un fondo de inversión (en miles de lempiras, con $x > 0$) tiene una familia de primitivas dada por la expresión:

1. a) Realice el problema inverso: determine la función marginal original $b(x) = B'(x)$ y exprésela como una única fracción algebraica de la forma $\frac{P(x)}{x^2}$, donde $P(x)$ sea un polinomio en su forma canónica. Indique el grado y los coeficientes de $P(x)$.
2. b) Demuestre de manera teórica que ninguna función de la forma $\frac{Q(x)}{x^2}$, donde $Q(x)$ es un polinomio, puede dar lugar al integrarse a un término que contenga la función $\arctan(x)$. Base su justificación en la tabla de derivadas e integrales inmediatas y en las potencias enteras resultantes al dividir por un monomio.
3. c) Sabiendo que al cabo de $x = 1$ año el beneficio acumulado es $B(1) = 20$ miles de lempiras, halle la constante $C$ y razone si la función marginal $b(x)$ tiene algún punto de inflexión en el intervalo $(0, +\infty)$ analizando el signo de su segunda derivada.

La Empresa Nacional de Energía Eléctrica (ENEE) registra la tasa de variación instantánea del consumo eléctrico en un parque industrial durante la madrugada mediante la función $D'(t)$ (en megavatios por hora, MW/h), donde $t \in [1, 6]$ representa las horas transcurridas desde la medianoche:

1. a) Descomponga algebraicamente el cociente en potencias de $t$ y calcule la función general de consumo acumulado $D(t)$ mediante integrales inmediatas.
2. b) En la descomposición surge el término $-\frac{5}{t} = -5t^{-1}$. Justifique formalmente por qué no es posible aplicar la regla de la potencia $\int t^n \, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}$ en este término: explique qué problema matemático aparece si se sustituye $n = -1$ y qué función trascendente resuelve dicha indeterminación y por qué.
3. c) Si a la una de la madrugada ($t = 1$) el contador registraba un consumo acumulado de $D(1) = 4e + \frac{5\pi}{2}$ megavatios-hora (MWh), calcule el valor exacto de la constante de integración $C$ simplificando las expresiones simbólicas que involucran $e$ y $\pi$ (recuerde que $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ rad), y escriba la expresión final de $D(t)$.