Ejercicios: Área limitada por dos curvas

Un diseñador gráfico está creando un nuevo logotipo para una marca de ropa urbana. El diseño central consiste en el área encerrada entre la parábola $f(x) = -x^2 + 4$ y la recta $g(x) = x + 2$, que puedes ver en la figura.

Para saber cuánta pintura plateada se necesitará para el estampado, resuelve:

1. a) Halla los puntos de corte entre ambas funciones.

1. b) Calcula el área de la región encerrada entre las dos gráficas (en unidades cuadradas).

En un parque de deportes extremos, se quiere instalar una rampa de skate. El perfil lateral de la rampa está definido por la curva $f(x) = x^2$ y se quiere cubrir con una lona de seguridad que llega hasta la plataforma horizontal definida por la recta $g(x) = 4$.

Calcula el área de la sección lateral comprendida entre la rampa y la plataforma horizontal (unidades en metros).

Dos empresas tecnológicas comparan el crecimiento de sus usuarios en el primer año. El número de usuarios (en miles) de la empresa A sigue la función $f(x) = x^2$, mientras que la empresa B sigue la función $g(x) = x$.

Calcula el área de la región comprendida entre ambas gráficas en el intervalo $[0, 1]$ para visualizar la diferencia total de usuarios acumulada durante ese primer año.

Se está diseñando un panel solar con una forma geométrica especial. Los bordes del panel están definidos por la parábola $f(x) = 2x - x^2$ y la parábola invertida $g(x) = x^2 - 2x$. En la figura se ven las dos curves y la región que forma el panel.

Calcula los puntos de intersección de ambas curvas y el área total de la superficie del panel solar.

Un arquitecto quiere diseñar una ventana para un edificio moderno. La parte superior está delimitada por la curva $f(x) = 6x - x^2$ y la parte inferior por la recta $g(x) = x$.

Determina el recinto encerrado por estas dos funciones y calcula su área para prever la cantidad de cristal necesaria.

En un proyecto de ingeniería ambiental, se estudia la sección transversal de un canal de riego. El perfil del canal viene dado por la curva $f(x) = x^2 - 1$ y el nivel máximo del agua está limitado por la recta $g(x) = 3$.

Calcula el área de la sección transversal del canal que queda por debajo del nivel del agua.

Calcula el área de la región plana limitada por las funciones $f(x) = \sqrt{x}$ y $g(x) = x^2$ en el primer cuadrante.

Ayuda: Recuerda que $\sqrt{x}$ se puede expresar como una potencia de exponente fraccionario para facilitar la integración.

Determina el área del recinto limitado por la recta $y = 2x$ y la curva $y = x^2 - 3$.

Para ello, obtén primero los puntos de corte igualando ambas funciones y aplica la regla de Barrow al integrando de la función diferencia.

Lucía tiene que calcular el área del recinto acotado encerrado entre las gráficas de $f(x) = 4 - x^2$ y $g(x) = 2 - x$. En su examen escribe lo siguiente:

1. «Puntos de corte: hago $f(x) = 0 \implies 4 - x^2 = 0 \implies x = -2$ y $x = 2$, luego integro entre $-2$ y $2$».

2. «Posición relativa: tomo $x = 0$; como $f(0) = 4$ y $g(0) = 2$, la parábola está por encima de la recta».

3. «Cálculo: $\text{Área} = \int_{-2}^{2} [(4 - x^2) - (2 - x)]\,dx = \left[ 2x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} = \frac{8}{3} \approx 2.67$ unidades cuadradas».

1. a) Localiza y explica de forma razonada los dos errores conceptuales que ha cometido Lucía en su planteamiento.
2. b) Corrige el ejercicio resolviéndolo paso a paso: halla los límites de integración correctos, comprueba la posición relativa en el intervalo adecuado y calcula el valor exacto del área.

Se desea calcular el área de la región encerrada entre la parábola $f(x) = -x^2 + 4x$ y la recta $g(x) = x$.

1. a) Halla los puntos de intersección entre ambas curvas y determina las coordenadas del vértice de la parábola.
2. b) Estima antes de integrar: Considera el rectángulo que tiene por base el segmento entre las abscisas de corte y por altura el valor máximo de $f(x)$, y considera también el triángulo que une los dos puntos de corte con el vértice de la parábola. Justifica, mediante un razonamiento geométrico, por qué el área buscada debe ser estrictamente menor que la del rectángulo y mayor que la del triángulo, indicando el intervalo numérico en el que debe encontrarse el resultado.
3. c) Comprueba: Calcula el valor exacto del área mediante la integral definida y verifica si el valor obtenido es coherente con tu estimación previa.

Calcula el área de la región del plano encerrada entre las gráficas de las funciones $f(x) = -x^2 + 6x$ y $g(x) = x$. Comienza identificando los puntos de intersección de ambas curvas y realiza un esbozo del recinto antes de aplicar la regla de Barrow.

Halla el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones $f(x) = x^2 - 2x + 1$ y $g(x) = -x^2 + 4x + 1$. Determina cuál de las dos funciones queda por encima de la otra en el intervalo de integración analizando el signo de la función diferencia $h(x) = f(x) - g(x)$.

Una empresa de diseño quiere crear un nuevo logotipo utilizando la región encerrada por las curvas $f(x) = \sqrt{x}$ y $g(x) = x^2$. Calcule el área de dicha región (expresada en unidades cuadradas) para poder presupuestar el costo de la impresión sobre metacrilato.

Dada la función $f(x) = x^2 - 4$, halla la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa $x = 3$. Una vez obtenida, calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $f(x)$, la recta tangente hallada y el eje de ordenadas ($OY$).

Determina el área de la región encerrada por la función cúbica $f(x) = x^3 - 4x$ y la recta $g(x) = 0$ (el eje de abscisas). Ten en cuenta que el recinto está compuesto por dos regiones separadas y que deberás calcular el área de cada una de ellas por separado utilizando valores absolutos si fuera necesario.

El perfil de una rampa para bicicletas en un parque urbano sigue la curva $f(x) = \frac{x^2}{10} + 2$. Se decide cubrir el hueco inferior entre la rampa y una estructura de refuerzo recta que une los puntos $A(0, 2)$ y $B(10, 12)$. Calcula el área de la sección lateral comprendida entre la rampa curva y la estructura recta.

Halla el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones $f(x) = e^x$ y $g(x) = e^{-x}$ y la recta vertical $x = 1$. Realiza un esquema gráfico de las funciones indicando el punto donde se cruzan.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Calcula el valor del parámetro real positivo $k$ para que el área del recinto limitado por la parábola $y = x^2$ y la recta $y = kx$ sea igual a $36$ unidades cuadradas. Pista: Expresa el área en función de $k$ e iguala el resultado al valor dado para despejar la incógnita.

Una junta de regantes del departamento de Choluteca dispone de una instalación solar fotovoltaica para abastecer sus bombas de agua. En un día soleado de primavera, la potencia eléctrica generada (en kilovatios, $\text{kW}$) entre las 8:00 ($t = 0$) y las 18:00 ($t = 10$) se modeliza mediante la función $P(t) = -t^2 + 10t$. Por su parte, el consumo continuo exigido por el sistema de bombeo sigue el modelo $C(t) = 2t + 7$ (en $\text{kW}$).

1. a) Determine las horas del día (valores de $t$) entre las cuales la producción de los paneles supera a la demanda de las bombas, generando un excedente de energía.
2. b) Plantee y resuelva la integral definida que proporciona la energía total excedentaria (en kilovatios-hora, $\text{kWh}$) producida a lo largo de esa jornada.
3. c) Si la junta vende dicho excedente a la red eléctrica y se le compensa a un precio de $0.08$ lempiras por cada $\text{kWh}$, ¿cuál es el ingreso económico obtenido ese día gracias al excedente?

Considera la parábola $f(x) = x^2$ y su recta tangente en el punto de abscisa $x = 2$, a la que llamaremos $r$. Se quiere determinar el área de la región acotada comprendida entre la curva $f(x)$, la recta tangente $r$ y el eje de abscisas ($y = 0$).

1. a) Obtén la ecuación de la recta tangente $r$ y calcula su punto de corte con el eje de abscisas.
2. b) Para calcular el área de este recinto se pueden seguir dos caminos:

• Método 1 (descomposición horizontal): Dividir el recinto mediante una recta vertical en dos subintervalos y sumar dos integrales definidas.

• Método 2 (sustracción geométrica): Calcular el área total bajo la parábola en el intervalo $[0, 2]$ y restarle el área del triángulo formado por la recta tangente, el eje de abscisas y la vertical $x = 2$.

Explica con claridad por qué el Método 1 obliga a usar dos integrales distintas y por qué el Método 2 resulta notablemente más directo y con menor riesgo de error en el cálculo.

1. c) Aplica el Método 2 para hallar el área exacta del recinto y comprueba que coincide con el planteamiento del Método 1.

Una empresa de diseño gráfico está creando un nuevo logo que incluye una forma aerodinámica. La parte superior del logo sigue la trayectoria de la función $f(x) = -x^2 + 6x - 5$. Se ha decidido añadir una línea estética que sea la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 4$. Calcula el área de la región del primer cuadrante limitada por la curva $f(x)$, la recta tangente mencionada y el eje de ordenadas ($eje \: OY$).

Considera dos funciones que representan el flujo de aire en un túnel de viento durante un experimento de 10 segundos: $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ y $g(x) = x^2 - 3x$. Los ingenieros necesitan conocer el "volumen de interferencia" total, que equivale al área encerrada entre ambas gráficas en todo su dominio. Halla los puntos de corte entre las dos funciones y calcula el área total de los recintos que delimitan, teniendo en cuenta que las funciones pueden intercambiar su posición (cuál está por encima de la otra) en los diferentes intervalos.

Se está diseñando la sección transversal de un canal de riego. El fondo del canal está definido por la parábola $f(x) = \frac{1}{2}x^2$, mientras que la superficie del agua en un día de máximo caudal está limitada por la curva $g(x) = \sqrt{2x}$. Determina el valor de una constante $k$ tal que la recta vertical $x = k$ divida el área de la sección transversal del agua en dos partes exactamente iguales.

Un arquitecto proyecta una ventana decorativa cuya silueta está delimitada por la función con valor absoluto $f(x) = |x^2 - 4|$ y la recta horizontal $g(x) = 2$. Debido a la complejidad de la forma, el cristal debe cortarse en varias piezas. Calcula el área total de la ventana identificando correctamente los límites de integración y las funciones que actúan como frontera superior e inferior en cada tramo.

En un estudio de microeconomía, la función de oferta de un producto es $S(x) = x^2 + 2x + 1$ y la función de demanda es $D(x) = 11 - x^2$, donde $x$ es el número de unidades en miles. El "Excedente del Consumidor" se define como el área limitada por la curva de demanda, la recta horizontal que pasa por el punto de equilibrio (donde oferta es igual a demanda) y el eje de ordenadas. Calcula dicho excedente realizando primero el hallazgo del punto de equilibrio en el primer cuadrante.

Halla el área del recinto limitado por la curva $f(x) = e^{x-1}$, la recta tangente a dicha curva en el punto donde su pendiente es igual a $1$, y la recta vertical $x = 0$.

Nota: Recuerda que para hallar el punto de tangencia debes resolver primero $f'(x) = 1$.

Se considera la función $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$. Calcula el área de la región finita limitada por la gráfica de esta función y la recta que pasa por sus dos puntos singulares (el máximo relativo y el mínimo relativo). Deberás hallar primero las coordenadas de dichos puntos y la ecuación de la recta que los une.

En la figura ves la gráfica de $f$, la recta $r$ y las regiones que ambas limitan.

Determina el área de la región encerrada entre las gráficas de las funciones $f(x) = \frac{8}{x}$ y $g(x) = 6 - x$. En este caso, el recinto está situado totalmente en el primer cuadrante. Identifica los puntos de intersección resolviendo la ecuación resultante y justifica cuál de las dos funciones queda por encima en el intervalo de integración antes de aplicar la regla de Barrow.

Considera el recinto acotado limitado por la parábola $f(x) = 2x - x^2$ y el eje de abscisas ($y = 0$). Se traza una recta que pasa por el origen de coordenadas, de ecuación $y = mx$ (con $0 < m < 2$), la cual divide dicho recinto en dos regiones: una superior (comprendida entre la parábola y la recta) y otra inferior (entre la recta y el eje $OX$).

1. a) Calcula el área total encerrada entre la parábola y el eje de abscisas.
2. b) Determina, en función de la pendiente $m$, la abscisa del punto de corte no nulo entre la parábola y la recta, y obtén la expresión algebraica (en función de $m$) del área de la región superior.
3. c) Halla el valor exacto de la pendiente $m$ para que la recta divida el recinto original en dos partes de áreas exactamente iguales.
4. d) La recta que une el origen $(0,0)$ con el vértice de la parábola tiene pendiente $m = 1$. Sin realizar cálculos laboriosos, razona geométricamente por qué la pendiente $m$ obtenida en el apartado anterior debe ser estrictamente menor que $1$, atendiendo a cómo se distribuye la masa de área de la parábola a lo largo del intervalo.

El departamento de movilidad de una alcaldía analiza el flujo de entrada de viajeros por hora (en cientos de personas por hora) en dos accesos de una estación central durante las 4 horas de hora pico ($t \in [0, 4]$). Dichos flujos se modelan mediante las funciones:

Un informe preliminar afirma: «Puesto que $\int_0^4 [f(t) - g(t)]\,dt = 0$, los dos accesos han funcionado con idéntica afluencia neta global y, por tanto, no existe ninguna discrepancia ni área encerrada entre ambos perfiles de flujo».

1. a) Halle todos los instantes $t \in [0, 4]$ en los que ambos accesos registran exactamente el mismo flujo de viajeros.
2. b) Refute la conclusión del informe: explique detalladamente por qué una integral nula no implica que el área comprendida entre las curvas sea cero, distinguiendo entre balance neto acumulado y área geométrica entre curvas.
3. c) Calcule el área total real encerrada entre ambas funciones en el intervalo $[0, 4]$ e interprete el significado de cada uno de los recintos obtenidos en términos de qué acceso soporta mayor afluencia en cada tramo.
4. d) Razone, sin calcular una nueva primitiva, qué valor tomaría la integral $\int_0^4 [f(t) - g(t)]\,dt$ si el flujo $f(t)$ se incrementara uniformemente en $1$ centena de viajeros/hora durante todo el periodo. ¿Cambiaría también el área geométrica encerrada entre ambas curvas? Justifique su respuesta.

Reto del tema. ¿Cómo impacta la transición energética en el consumo diario? Analice la demanda eléctrica y la generación renovable de su departamento a partir de datos oficiales y herramientas de cálculo integral.

1. Obtención y modelización: Descargue de la web de la Empresa Nacional de Energía Eléctrica (ENEE) la curva horaria de demanda y de generación solar de ayer. En GeoGebra o una hoja de cálculo, ajuste la demanda a una función continua y normalícela para definir una función de densidad de probabilidad $f(t)$ con $\int_{0}^{24} f(t)\,dt = 1$, calculando su primitiva mediante integración por partes o descomposición en fracciones racionales.

2. Cálculo de áreas y probabilidades: Determine la probabilidad de que el consumo crítico ocurra entre las $19.0$ y las $22.0$ horas. Modele la curva solar $S(t)$ con una integral semiinmediata y aplique la regla de Barrow para calcular el área total bajo la curva de demanda (energía consumida) y el área comprendida entre la demanda y la generación solar (energía no cubierta por fotovoltaica).

3. Informe ejecutivo: Entregue un informe de una página con las gráficas superpuestas, el desarrollo analítico paso a paso de cada integral y una propuesta razonada sobre almacenamiento energético.

Se valorará:

• Rigor algebraico en el cálculo de primitivas (inmediatas, racionales y por partes) y aplicación precisa de la regla de Barrow.

• Tratamiento y modelización matemática adecuada de datos reales de la ENEE mediante GeoGebra u hoja de cálculo.

• Interpretación probabilística correcta de las áreas y justificación contextualizada del área entre ambas curvas.