Ejercicios: Área bajo una curva

Un atleta está entrenando para una maratón. Su velocidad en un tramo de 15 minutos es constante y viene dada por la función $v(t) = 12$ km/h, donde $t$ es el tiempo en horas. Utiliza la integral definida para calcular la distancia recorrida (el área bajo la curva de velocidad) entre los instantes $t = 0$ y $t = 0.25$ horas. Comprueba el resultado utilizando la fórmula geométrica del área de un rectángulo.

Una empresa de alquiler de monopatines eléctricos ha comprobado que el ritmo de consumo de energía de uno de sus modelos sigue la función $f(x) = 2x + 1$, donde $x$ representa los kilómetros recorridos. Calcule el área encerrada por la gráfica de $f(x)$, el eje $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = 3$. ¿A qué figura geométrica corresponde esta región?

Calcula el área de la región plana limitada por la parábola $f(x) = x^2 + 2$, el eje de abscisas y las rectas $x = 0$ y $x = 2$. Al ser la función siempre positiva en ese intervalo, plantea directamente la integral definida según la Regla de Barrow.

El departamento de marketing de una nueva app de música ha determinado que el ingreso marginal por cada mil suscriptores nuevos es $I'(x) = 10 - x$ (en cientos de lempiras), donde $x$ es el número de miles de suscriptores. Calcule el beneficio total acumulado (área bajo la curva) cuando el número de suscriptores pasa de $x = 1$ a $x = 4$ mil.

Halla el área del recinto limitado por la función constante $f(x) = 4$, el eje $OX$ y las rectas $x = -1$ y $x = 2$. Razona el resultado gráficamente calculando el área del rectángulo resultante sin usar integrales.

Calcula el área del recinto sombreado en la siguiente figura, sabiendo que la curva corresponde a la función $f(x) = \sqrt{x}$ y está limitada por el eje $OX$ y la recta vertical $x = 4$.

Dada la función polinómica $f(x) = 3x^2 + 2x$, halla el área limitada por su gráfica y el eje $OX$ en el intervalo $[1, 2]$. Comprueba que, en dicho intervalo, la función no corta al eje $OX$ (es decir, siempre es positiva), lo que facilita el cálculo directo.

Un diseñador gráfico está creando un logotipo que incluye una forma delimitada por la función $f(x) = e^x$. Calcula el área de la parte del logo que queda entre el eje $OX$, la propia curva y las rectas $x = 0$ y $x = 1$. (Recuerda que la integral de $e^x$ es ella misma).

Marcos debe calcular el área del recinto plano limitado por la curva $f(x) = x^2 - 2x$, el eje de abscisas ($OX$) y las rectas verticales $x = 0$ y $x = 3$. En su examen escribe lo siguiente:

«$\text{Área} = \int_0^3 (x^2 - 2x)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} - x^2\right]_0^3 = \left(\frac{27}{3} - 9\right) - 0 = 0\text{ u}^2$».

Al obtener cero, concluye que la función no encierra ninguna superficie con el eje en ese intervalo.

1. a) Señala razonadamente el error conceptual cometido por Marcos y explica por qué una integral definida puede dar cero mientras que el área geométrica encerrada es estrictamente positiva.
2. b) Corrige el procedimiento de Marcos: localiza los puntos de corte de la función con el eje $OX$, divide el intervalo en las regiones correspondientes y calcula el valor exacto del área real.

El acceso a un túnel de ventilación subterráneo tiene un perfil parabólico modelizado por la función $f(x) = 9 - x^2$ (donde $x$ y $f(x)$ se miden en metros), delimitado inferiormente por el suelo horizontal ($y = 0$). Se desea determinar el área de la sección transversal de dicho acceso.

1. a) Antes de integrar, realiza una estimación razonada del área acotándola entre dos valores numéricos: halla el área del rectángulo que circunscribe a la parábola (utilizando los puntos de corte con el suelo y la altura del vértice) y el área de un triángulo isósceles inscrito con esa misma base y altura. Justifica por qué el área real debe encontrarse dentro de ese intervalo.
2. b) Calcula el área exacta mediante la integral definida aplicando la regla de Barrow.
3. c) Comprueba si el resultado obtenido confirma tu estimación previa y determina qué porcentaje exacto del área del rectángulo circunscrito ocupa la parábola.

Un diseñador de pistas de skate quiere calcular el área de la sección lateral de una nueva rampa. El perfil de la rampa sigue la curva de la función $f(x) = \frac{1}{4}x^2 + 1$ en el intervalo $[0, 4]$, donde $x$ e $y$ se miden en metros. Calcula el área de la pared lateral comprendida entre la rampa, el eje de abscisas ($OX$) y las rectas verticales $x=0$ y $x=4$.

Calcula el área de la región del plano encerrada entre la gráfica de la función $f(x) = -x^2 + 4x$ y la recta $g(x) = x$. Para ello, identifica primero los puntos de corte entre ambas funciones y realiza un esbozo del recinto.

Una empresa de energía solar ha determinado que la tasa de ahorro mensual (en miles de lempiras) que genera uno de sus paneles tras su instalación viene dada por la función $S(t) = t^2 - 6t + 8$, donde $t$ es el tiempo en meses.

1. a) Determine en qué meses el ahorro es negativo (existen costos de mantenimiento superiores al ahorro).
2. b) Calcule el ahorro neto total (área total bajo el eje menos el área sobre el eje) durante los primeros 4 meses.
3. c) Calcule el área física total comprendida entre la gráfica y el eje $OX$ en el intervalo $[0, 4]$.

Halla el área del recinto limitado por la curva $f(x) = x^3 - 4x$ y el eje de abscisas. Ten en cuenta que la función puede tomar valores positivos y negativos, por lo que deberás calcular el área de cada región por separado y sumarlas en valor absoluto.

Se considera la función marginal de beneficios de una tienda de aplicaciones para celulares $B'(x) = 2\,500 - 50x$, donde $x$ es el número de suscriptores diarios.

1. a) Calcule la función de beneficios $B(x)$ sabiendo que para 0 suscriptores el beneficio es de $-12\,500$ lempiras (gastos fijos).
2. b) Utilice la integral definida para calcular el aumento total del beneficio cuando el número de suscriptores pasa de 20 a 40.

Halla el valor de un parámetro positivo $k$ para que el área del recinto limitado por la función $f(x) = kx^2$, el eje $OX$ y la recta vertical $x=3$ sea igual a 18 unidades cuadradas.

Dada la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} 2x & \text{si } 0 \le x \le 1 \\ 3 - x & \text{si } 1 < x \le 3 \end{cases}$

Calcula el área de la región limitada por la gráfica de $f(x)$ y el eje de abscisas en el intervalo $[0, 3]$.

Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones $f(x) = e^x$ y $g(x) = e^{-x}$ y la recta vertical $x = 1$. Representa gráficamente el recinto antes de realizar el cálculo.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

En una finca agrícola de regadío en el Valle de Comayagua, una instalación solar fotovoltaica abastece a las bombas de agua. En un día despejado de verano, la potencia eléctrica instantánea suministrada se modeliza mediante la función $P(t) = -2(t - 14)^2 + 50$, donde $t$ representa la hora solar del día ($t \in [9, 19]$) y $P(t)$ la potencia en kilovatios ($\text{kW}$). La energía total acumulada (en $\text{kWh}$) coincide con el área bajo la curva de potencia.

1. a) Interprete el significado físico y temporal de las coordenadas del vértice de la parábola en el contexto de la finca.
2. b) Plantee y calcule la integral definida que proporciona la energía total acumulada durante las horas centrales del día, entre las $11:00$ y las $17:00$ horas ($t = 11$ y $t = 17$).
3. c) Si el costo de la electricidad procedente de la red en ese horario punta es de $0.18$ lempiras por cada $\text{kWh}$, calcule el ahorro económico total generado por el bombeo solar en ese intervalo de seis horas.

Un arquitecto diseña el perfil lateral de una grada descubierta para un auditorio municipal. La estructura está delimitada por el suelo ($eje\ OX$) y la curva $f(x) = k \times (6x - x^2)$ en el intervalo $[0, 6]$, donde $x$ e $y$ están en metros y $k > 0$ es una constante de altura a determinar.

1. a) Plantea la ecuación integral que representa el área lateral bajo la curva en función de $k$ y obtén el valor exacto de dicho parámetro para que la sección ocupe exactamente $72\text{ m}^2$.
2. b) Con el valor de $k$ hallado, se prevé cubrir con una lona impermeable la primera mitad del auditorio (un área de $36\text{ m}^2$), desde $x = 0$ hasta una línea vertical $x = c$. Sin necesidad de plantear ninguna integral adicional, deduce y justifica el valor de $c$ utilizando las propiedades de simetría de la parábola.
3. c) Si la lona debiese cubrir únicamente una cuarta parte del área total ($18\text{ m}^2$) desde $x = 0$ hasta $x = c_1$, plantea la ecuación polinómica que debería satisfacer $c_1$ y razona, sin resolverla, por qué dicha solución debe cumplir estrictamente $0 < c_1 < 3$.

Se está diseñando un nuevo logotipo para una empresa de tecnología financiera. La base del diseño está delimitada por las gráficas de las funciones $f(x) = -x^2 + 6x$ y $g(x) = 2x$, que se muestran en la figura.

1. a) Determina los puntos de intersección de ambas funciones.
2. b) Calcula el área de la región encerrada por ambas gráficas, que representará la zona principal del logotipo.
3. c) Si se decide añadir una línea vertical $x = k$ (con $0 < k < 4$) que divida dicha región en dos áreas exactamente iguales, plantea la ecuación integral que permitiría hallar el valor de $k$.

Una plataforma de streaming ha analizado que el ritmo de crecimiento de nuevos suscriptores diarios (en miles) sigue la función $f(t) = t \times e^{-t/4}$, donde $t$ es el tiempo en días desde el lanzamiento de una serie exitosa.

Calcula el número total de suscriptores acumulados durante los primeros 8 días. Para ello, deberás hallar el área bajo la curva $f(t)$ en el intervalo $[0, 8]$. Nota: Utiliza la integración por partes.

Considera la función racional $f(x) = \frac{2x + 5}{x + 1}$ definida para $x > -1$.

1. a) Halla el área de la región limitada por la gráfica de $f(x)$, el eje $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = 3$.
2. b) Determina la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa $x = 0$.
3. c) Calcula el área del triángulo formado por dicha recta tangente, el eje $OX$ y el eje $OY$, y compárala con el área obtenida en el apartado (a).

Un arquitecto quiere diseñar un ventanal con una forma parabólica invertida dada por la función $f(x) = 4 - x^2$. Para darle estabilidad, se colocará un travesaño horizontal siguiendo la recta $y = a$ (con $0 \le a < 4$).

Halla el valor de la constante $a$ para que el área de la región del ventanal que queda por encima del travesaño sea exactamente de $\frac{9}{2}$ unidades de superficie.

La función de ingresos marginales de una cooperativa agrícola está dada por $I'(x) = 2\,500 - 5x^2$ (en lempiras por unidad vendida), donde $x$ representa el número de toneladas de producto.

1. a) Calcule la función de ingresos totales $I(x)$ sabiendo que para una venta nula los ingresos son cero.
2. b) Determine el área encerrada por la curva $I'(x)$ y el eje de abscisas en el intervalo donde el ingreso marginal es positivo. Explique el significado económico de este valor.

Halla el área del recinto limitado por la función $f(x) = |x^2 - 4|$, el eje de abscisas y las rectas $x = -1$ y $x = 3$.

Consejo: Identifica los intervalos donde la expresión dentro del valor absoluto cambia de signo y divide la integral definida en la suma de varias integrales según corresponda.

Dada la parábola $f(x) = x^2 - 4x + 3$, cuya gráfica se muestra a continuación:

1. a) Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola en el punto donde esta corta al eje $OY$.

1. b) Calcula el área de la región finita limitada por la parábola, la recta tangente hallada en el apartado a) y el eje de abscisas $OX$.

Calcula el área de la región del primer cuadrante delimitada por la función $f(x) = \ln(x)$, el eje de ordenadas $OY$, el eje de abscisas $OX$ y la recta horizontal $y = 2$.

Nota: Puede ser útil calcular el área integrando respecto al eje Y o, alternativamente, restando áreas de rectángulos conocidos.

Se desea calcular el área del recinto plano situado en el primer cuadrante que está limitado simultáneamente por la curva $y = x^2$, la recta $y = 6 - x$ y el eje de abscisas ($y = 0$).

1. a) Analiza y compara las siguientes tres estrategias posibles para resolver el problema:

• Estrategia 1: Localizar la intersección de ambas funciones, dividir el recinto en dos tramos verticales respecto al eje $OX$ y sumar dos integrales definidas.

• Estrategia 2: Despejar $x$ en función de $y$ en ambas ecuaciones e integrar respecto al eje $OY$ mediante una única integral definida.

• Estrategia 3: Integrar la parábola hasta el punto de corte con la recta y sumar el área geométrica del triángulo que forma la recta con el eje $OX$, sin integrar la recta.

Justifica cuál de las tres estrategias resulta más eficiente y con menor riesgo de error algebraico.

1. b) Resuelve el problema aplicando la estrategia que hayas seleccionado como óptima.
2. c) Un estudiante asegura que el área pedida se puede obtener directamente calculando $\int_0^6 ((6 - x) - x^2)\,dx$. Explica con rigor analítico y geométrico cuál es el doble error conceptual que encierra esa propuesta y qué región del plano representaría en realidad esa integral.

En sociología económica, la curva de Lorenz $L(x)$ describe la distribución del ingreso de un país, donde $x \in [0, 1]$ representa la proporción acumulada de población ordenada de menor a mayor ingreso y $L(x) \in [0, 1]$ la proporción acumulada del ingreso total que dicha población percibe. La recta $y = x$ representa la equidad perfecta. El índice de Gini, que mide la desigualdad, se define mediante la expresión $G = 2 \times \int_0^1 (x - L(x))\,dx$, de modo que $G \in [0, 1]$ (donde $0$ es igualdad absoluta y $1$ desigualdad extrema).

Un estudio del Instituto Nacional de Estadística (INE) modeliza el ingreso de una comarca antes de impuestos mediante la curva $L(x) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x^3$.

1. a) Compruebe analíticamente que la función satisface las condiciones de contorno de toda curva de Lorenz ($L(0) = 0$ y $L(1) = 1$) y calcule el índice de Gini inicial de la comarca.
2. b) Para combatir la brecha social, la administración aplica una reforma fiscal con transferencias directas, proyectando que la nueva curva de Lorenz adopte la forma potencial $L_k(x) = x^k$ con $k > 1$. Plantee la ecuación integral correspondiente y determine el valor exacto del parámetro $k$ necesario para que el índice de Gini se reduzca a $0.25$.
3. c) Interprete qué ocurriría con el área encerrada entre la curva y la recta de equidad si el parámetro $k$ se aproximara progresivamente a $1$, y razone qué implicación económica tendría dicho comportamiento en el reparto de la riqueza.