Ejercicios: Reglas de derivación y función derivada de funciones usuales

Un cohete pirotécnico despega verticalmente desde una plataforma de lanzamiento. La altura $h$ en metros respecto al tiempo $t$ en segundos viene dada por la función polinómica $h(t) = t^3 - 4t^2 + 5t + 2$. Calcula la función derivada $h'(t)$, que representa la velocidad instantánea del cohete en cualquier instante $t$.

Una cuenta de una red social ha analizado su crecimiento y ha determinado que el número de seguidores $S$ evoluciona según la función exponencial $S(t) = 150 \times e^{0.4t}$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en meses desde su creación. Determina la función derivada $S'(t)$ para conocer el ritmo de crecimiento de seguidores.

Calcula la función derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de derivación de las funciones elementales (potencias y raíces):

1. a) $f(x) = x^7 - 5x^3 + \pi$

1. b) $g(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x^2}$

Dada la función cuadrática $f(x) = x^2 - 6x + 5$, se pide:

1. a) Hallar la función derivada $f'(x)$.

1. b) Calcular el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto $P$ de abscisa $x = 4$ (marcado en la figura).

Halla la función derivada de las siguientes funciones trascendentes utilizando la tabla de derivadas de funciones usuales:

1. a) $f(x) = 4 \times \ln(x) + \log_{2}(x)$

1. b) $g(x) = 3^x - 5 \times \sin(x)$

Un muelle oscila siguiendo un movimiento armónico simple descrito por la función $y(x) = 5 \times \cos(x) + 2$, donde $y$ es la posición en centímetros y $x$ es el tiempo. Obtén la expresión de la función derivada $y'(x)$, que representa la velocidad de oscilación del muelle.

Calcula la derivada de las siguientes funciones compuestas sencillas utilizando la regla de la cadena de forma directa:

1. a) $f(x) = (2x + 3)^5$

1. b) $g(x) = e^{x^2 - 1}$

Dada la función $f(x) = \frac{x^4}{4} - \sqrt[3]{x}$, calcula su función derivada $f'(x)$ y simplifica el resultado expresando la raíz de nuevo en forma radical.

En un examen de 2.º de Bachillerato, Marcos debe calcular la función derivada de $f(x) = \sin^3(2x)$. En su hoja de respuestas escribe lo siguiente:

«Como es una potencia, bajo el exponente y derivo el seno:

$f'(x) = 3\sin^2(2x) \times \cos(2x)$».

1. a) Identifica con precisión qué paso fundamental de la regla de la cadena ha omitido Marcos al descomponer las capas de la función compuesta. Explica por qué su razonamiento es erróneo.
2. b) Corrige el ejercicio escribiendo la cadena completa de derivación paso a paso, identificando cada una de las funciones elementales que componen $f$ (desde la más exterior hasta la más interior), y obtén la expresión simplificada correcta de $f'(x)$.

Se desea calcular la función derivada de $f(x) = \ln\left(\frac{e^{3x}}{(x^2+1)^4}\right)$ para todo $x \in \mathbb{R}$. Dos estudiantes proponen estrategias distintas:

• Camino A (Derivación directa): Aplicar inmediatamente la fórmula $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$, calculando previamente la derivada de la fracción mediante la regla del cociente y la regla de la cadena para el denominador.

• Camino B (Simplificación previa con logaritmos): Utilizar las propiedades de los logaritmos ($\ln(A/B) = \ln A - \ln B$, $\ln(A^k) = k \ln A$ y $\ln(e^u) = u$) para descomponer $f(x)$ en una suma y resta de términos sencillos antes de derivar.

1. a) Compara ambos caminos y justifica razonadamente cuál de los dos es preferible en términos de menor carga operativa y menor probabilidad de cometer errores de signo o simplificación.
2. b) Aplica el camino más eficiente para calcular $f'(x)$ y expresa el resultado como una única fracción algebraica irreducible.

Calcula la función derivada de la siguiente función compuesta, aplicando la regla de la cadena y simplificando el resultado al máximo:

$f(x) = \cos^3(e^{x^2+1})$

Dada la función racional que involucra logaritmos neperianos:

$g(x) = \frac{\ln(x^2 + 4)}{x}$

Halla la expresión de su derivada $g'(x)$ y determina los valores de $x$ para los cuales la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $g(x)$ es igual a cero.

Un dron de vigilancia sigue una trayectoria cuya altura en metros viene dada por la función $h(t) = 15t \times e^{-0.2t}$, donde $t$ es el tiempo en segundos desde el despegue.

1. a) Calcula la función que representa la velocidad vertical del dron, $v(t) = h'(t)$.

1. b) ¿Cuál es la velocidad vertical del dron en el instante $t = 5$ segundos?

Halla los valores de los parámetros $a, b \in \mathbb{R}$ para que la función $f(x) = a \times \sin(x) + b \times e^{-x}$ cumpla las siguientes condiciones simultáneamente:

• Pasa por el punto $(0, 3)$.

• Su derivada en el origen es $f'(0) = 2$.

Utiliza la técnica de la derivación logarítmica para obtener la derivada de la siguiente función potencial-exponencial:

$f(x) = (x^2 + 1)^{\sin(x)}$

Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva $f(x) = \arctan\left(\frac{x}{2}\right)$ en el punto de abscisa $x = 2$.

La figura muestra la gráfica de $f$, sus asíntotas horizontales y el punto $P$ de la curva cuya abscisa es $x = 2$.

Dada la función $f(x) = \ln(\cos(x))$, obtén:

1. a) La primera derivada $f'(x)$.
2. b) La segunda derivada $f''(x)$, simplificando el resultado utilizando funciones trigonométricas usuales.

Calcula la derivada de la siguiente función simplificando el resultado final tanto como sea posible mediante identidades trigonométricas:

$f(x) = \ln\left( \sqrt{\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}} \right)$

Calcula la derivada de la función $f(x) = \arctan\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ y simplifica la expresión resultante. ¿A qué función más sencilla corresponde esta derivada?

Utilizando la técnica de derivación logarítmica, halla la derivada de la función $f(x) = x^{\sqrt{x}}$ para $x > 0$.

En una estación meteorológica del CENAOS en Choluteca durante un episodio de calor intenso en la época seca, la temperatura ambiente $T(t)$ en grados Celsius ($^{\circ}\text{C}$) a lo largo de una jornada de 24 horas se ajusta al modelo:

$T(t) = 31 - 9 \times \cos\left(\frac{\pi \times (t - 4)}{12}\right)$,

donde $t$ representa el tiempo en horas transcurrido desde la medianoche ($t \in [0, 24]$).

1. a) Determine la función derivada $T'(t)$, indicando con claridad cada una de las reglas de derivación utilizadas (constante por función, cadena y trigonométrica).
2. b) Calcule el valor exacto y aproximado con dos cifras decimales de $T'(10)$ (a las 10:00 h) y de $T'(16)$ (a las 16:00 h).
3. c) Interprete el significado físico y contextual de los valores y signos obtenidos en el apartado anterior (indicando las unidades de medida correspondientes a la derivada) y determine a qué hora del día la temperatura asciende con la máxima rapidez.

Considera la función trascendente $f(x) = \arctan(2x) - x$.

1. a) Sin calcular la función derivada de forma analítica, realiza una estimación del valor de la pendiente de la recta tangente en $x = 0$ calculando la tasa de variación media (TVM) en el intervalo $[0;\, 0.1]$ con ayuda de la calculadora (en modo radianes). A partir del resultado, ¿esperas que la función sea creciente o decreciente en un entorno inmediato de $x = 0$?
2. b) Aplica las reglas de derivación para obtener la expresión algebraica simplificada de la función derivada $f'(x)$.
3. c) Evalúa el valor exacto de $f'(0)$, compáralo con el valor estimado obtenido en el apartado (a) y valida de manera razonada si tu hipótesis previa sobre la monotonía local de la función queda confirmada.

Dada la función trascendente definida por $f(x) = (\arctan x)^x$ para $x > 0$, utiliza la técnica de derivación logarítmica para calcular su función derivada $f'(x)$. Una vez obtenida, calcula el valor exacto de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 1$.

Determina los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que la siguiente función definida a trozos sea derivable en todo su dominio:

Explica razonadamente la relación entre la continuidad y la derivabilidad en el punto de ruptura $x = 1$.

Halla la expresión general de la derivada n-ésima ($f^{(n)}(x)$) para la función racional:

Indicación: Descompón la función en fracciones simples antes de comenzar a derivar sucesivamente.

Considera la curva definida de forma implícita por la ecuación:

1. a) Halla la expresión de la derivada $y'$ en función de $x$ e $y$ mediante derivación implícita.
2. b) Encuentra la ecuación de la recta normal a la curva en el punto $P(3, 1)$.

Sea la función $f(x) = x^3 + 2x + \cos(x - 1)$.

1. a) Demuestra que $f(x)$ es biyectiva en todo $\mathbb{R}$ (puedes apoyarte en el estudio de su crecimiento).

1. b) Sabiendo que $f(1) = 4$, calcula el valor de la derivada de la función inversa en ese punto, es decir, $(f^{-1})'(4)$.

Un dron de vigilancia se desplaza siguiendo la trayectoria dada por la función $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$. Un operario situado en el punto $A(2, 0)$ observa el dron.

Calcula el punto de la trayectoria donde el dron se encuentra a la distancia mínima del operario.

Nota: Para minimizar la distancia $d$, basta con minimizar el cuadrado de la distancia $d^2$. Deberás derivar la función resultante de la distancia.

Calcula la derivada de la siguiente función compuesta y simplifica el resultado al máximo utilizando identidades trigonométricas:

¿Qué curiosidad observas en el resultado final simplificado?

En un laboratorio de biotecnología, el volumen de una población de bacterias (en $mm^3$) crece según la función $V(t) = 20 \times e^{0.5t}$, donde $t$ es el tiempo en horas. Al mismo tiempo, el radio de la placa de cultivo circular donde crecen las bacterias se expande de forma que el área ocupada por la población es $A(t) = \pi \times [r(t)]^2$.

Si suponemos que el grosor de la capa bacteriana es constante e igual a $0.1 mm$ (de modo que $V = A \times h$), calcula la tasa de variación instantánea del radio de la población en el instante $t = 2$ horas.

Para dimensionar correctamente una viga de acero sometida a torsión asimétrica, un ingeniero requiere optimizar una función de esfuerzo dada por $E(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 1} \times e^{3x}}{(2x + 1)^4}$ para $x > 1$. Aplica el método de derivación logarítmica para obtener la expresión simplificada de la derivada $E'(x)$.

Un oscilador armónico en un sistema mecánico tiene una posición dada por $x(t) = e^{-2t} \cos(3t)$. Calcula la velocidad $v(t) = x'(t)$ y la aceleración $a(t) = x''(t)$, y comprueba si satisface la ecuación diferencial $x''(t) + 4x'(t) + 13x(t) = 0$.

Una función desconocida $f(x)$, derivable y estrictamente positiva en el intervalo $(0, +\infty)$, satisface que su derivada logarítmica viene dada por la expresión:

$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{2\ln x + 1}{x}$.

Además, se sabe que la gráfica de $f$ pasa por el punto $(1, 1)$.

1. a) Justifica por qué la expresión $\frac{f'(x)}{f(x)}$ coincide formalmente con la derivada de la función compuesta $\ln(f(x))$.
2. b) Deduce razonadamente la expresión de la función $g(x) = \ln(f(x))$ identificando una función cuya derivada sea $\frac{2\ln x + 1}{x}$. Para ello, descompón el cociente en suma de dos fracciones y reconócelas como derivadas de funciones elementales o de potencias de $\ln x$.
3. c) A partir de la condición $f(1) = 1$, halla la constante correspondiente y despeja la función original $f(x)$, expresándola en la forma potencial-exponencial $u(x)^{v(x)}$.
4. d) Comprueba tu resultado derivando directamente la función $f(x)$ obtenida mediante la técnica de derivación logarítmica y verificando que se reproduce fielmente el cociente de partida.

Dada la función $f(x) = \ln\sqrt{\frac{1 - \cos(2x)}{1 + \cos(2x)}}$, definida en el intervalo abierto $I = \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$:

Se consideran dos vías de resolución para calcular su función derivada $f'(x)$:

• Vía 1 (Propiedades algebraicas de los logaritmos): Reescribir primero $f(x) = \frac{1}{2}\big(\ln(1 - \cos(2x)) - \ln(1 + \cos(2x))\big)$ y derivar como resta de logaritmos neperianos aplicando la regla de la cadena.

• Vía 2 (Simplificación trigonométrica previa): Transformar el radicando utilizando las identidades del ángulo doble ($1 - \cos(2x) = 2\sin^2 x$ y $1 + \cos(2x) = 2\cos^2 x$) antes de aplicar cualquier regla de derivación.

1. a) Desarrolle por completo la Vía 2 para hallar $f'(x)$ en su expresión más compacta, expresada como cociente en función de una única razón trigonométrica de ángulo doble. Justifique por qué el signo dentro de la raíz cuadrada no genera ambigüedad en el intervalo $I$.
2. b) Desarrolle la Vía 1 y muestre detalladamente todos los pasos algebraicos y trigonométricos necesarios para simplificar la suma de fracciones resultante hasta obtener exactamente la misma expresión que en la Vía 2.
3. c) Compare críticamente ambas vías: analice cuál minimiza la probabilidad de error algebraico y concluya qué criterio general de simplificación previa conviene adoptar al enfrentarse a este tipo de derivadas en la prueba de acceso a la universidad (PHUMA).