Ejercicios: Conceptos: Tasa de variación y derivada de una función en un punto

Calcula la tasa de variación media (TVM) de la función $f(x) = x^2 - 4x + 5$ en el intervalo $[1, 4]$. Explica gráficamente qué representa el valor obtenido en relación con la recta secante que pasa por los puntos $A$ y $B$ de la curva correspondientes a los extremos de dicho intervalo (los tienes marcados en la figura).

Un atleta de 2º de Bachillerato entrena para los 100 metros lisos. La distancia recorrida (en metros) en función del tiempo (en segundos) viene dada por la expresión $s(t) = 0.5t^2 + 2t$.

Calcula la velocidad media del atleta entre los instantes $t = 2$ s y $t = 6$ s. ¿Con qué concepto matemático coincide este valor?

Dada la función $f(x) = 3x^2 - 1$, utiliza la definición de derivada en un punto mediante el límite:

para hallar el valor de la derivada en el punto de abscisa $x = 2$.

Determina la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x) = \sqrt{x+1}$ en el punto donde $x = 3$, aplicando el límite de la tasa de variación instantánea:

El número de seguidores de un nuevo canal de YouTube evoluciona según la función $S(t) = t^2 + 10t + 100$, donde $t$ es el tiempo en días desde su creación.

1. a) Calcula la tasa de variación media de seguidores entre el día $t = 0$ y el día $t = 10$.
2. b) ¿Cuál es el crecimiento instantáneo de seguidores exactamente en el día $t = 5$? (Calcula $S'(5)$ usando la definición).

Considera la función racional $f(x) = \frac{2}{x}$.

Demuestra, aplicando la definición de derivada como un límite, que el valor de la tasa de variación instantánea en $x = 1$ es $f'(1) = -2$. Interpreta el signo del resultado obtenido.

Observa la siguiente gráfica de una función $f(x)$. Sin realizar cálculos, ordena de menor a mayor los siguientes valores justificando tu respuesta basándote en la inclinación de las rectas:

• La tasa de variación media en el intervalo $[1, 3]$.

• La derivada de la función en el punto $x = 1$.

• La derivada de la función en el punto $x = 3$.

La temperatura de una placa metálica (en grados Celsius) varía con el tiempo $t$ (en minutos) siguiendo el modelo $T(t) = 20 + 4t - 0.1t^2$.

Calcula la tasa de variación instantánea de la temperatura en el instante $t = 10$ minutos. Indica las unidades de medida del resultado y explica si en ese momento la placa se está calentando o enfriando.

En un examen de 2.º de Bachillerato, Marcos debe analizar la derivabilidad en $x = 1$ de la siguiente función definida a trozos:

Marcos escribe en su resolución:

«Derivo directamente cada rama: $f'(x) = 2x + 2$ para $x \le 1$, y $f'(x) = 4$ para $x > 1$.

Calculo las derivadas laterales sustituyendo $x = 1$:

$f'(1^-) = 2(1) + 2 = 4$

$f'(1^+) = 4$

Como las derivadas laterales existen y coinciden ($4 = 4$), concluyo que la función es derivable en $x = 1$ y que la recta tangente en dicho punto tiene pendiente $m = 4$».

1. a) Localiza y explica detalladamente el grave error conceptual que comete Marcos en su razonamiento.
2. b) Utilizando la definición formal de derivada mediante el límite del cociente incremental por la derecha, $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$, calcula el valor real de dicho límite y demuestra qué le ocurre verdaderamente a $f$ en $x = 1$.
3. c) Corrige la conclusión de Marcos indicando si la función es continua, si es derivable y si tiene sentido hablar de recta tangente en $x = 1$.

Se lanza verticalmente un cohete de modelismo infantil. Su altura sobre el suelo en metros viene descrita por la función $h(t) = 24t - 4t^2$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en segundos desde el despegue ($t \in [0, 6]$).

1. a) Sin realizar cálculos algebraicos, estima de forma razonada el signo que tendrá la tasa de variación media ($\text{TVM}$) en el intervalo $[2, 4]$. Para ello, considera la forma parabólica de la trayectoria y localiza el instante en el que el cohete alcanza su altura máxima. ¿Esperas que la $\text{TVM}[2, 4]$ sea positiva, negativa o nula?
2. b) Calcula analíticamente la $\text{TVM}[2, 4]$ mediante su fórmula y comprueba si tu estimación inicial era acertada. A la vista del resultado, ¿es correcto deducir que el cohete ha permanecido quieto durante esos dos segundos? Explica el significado físico y geométrico del valor obtenido en relación con la recta secante.
3. c) Mediante la definición de derivada como límite del cociente incremental, calcula la velocidad instantánea $h'(2)$. Comprueba si el signo y valor obtenidos son coherentes con la posición del cohete en ese instante.

El crecimiento de seguidores de una nueva cuenta de una conocida red social sigue la función $S(t) = t^2 + 4t + 100$, donde $t$ es el tiempo en días desde su creación y $S(t)$ es el número de seguidores. La figura muestra la gráfica de $S$ y las rectas que unen los puntos de la curva correspondientes a $t=0$, $t=5$ y $t=10$.

1. a) Calcula la tasa de variación media (TVM) del número de seguidores en los intervalos $[0, 5]$ y $[5, 10]$.
2. b) Explica el significado de los resultados obtenidos en el contexto del crecimiento de la cuenta. ¿En qué intervalo ha sido más rápido el crecimiento?

Calcula la derivada de la función $f(x) = \dfrac{3}{x + 1}$ en el punto de abscisa $x = 2$ utilizando estrictamente la definición de derivada mediante el límite:

Se considera la función $f(x) = x^2 - 6x + 5$. Determina el punto de la gráfica en el que la recta tangente tiene una pendiente de $m = 2$. Una vez hallado el punto, escribe la ecuación completa de dicha recta tangente en forma punto-pendiente.

Dada la función definida a trozos:

Calcula los valores de $a$ y $b$ para que la función sea derivable en el punto $x = 1$. Recuerda que para que una función sea derivable, primero debe ser continua.

Un patinador se desplaza por una pista cuya posición (en metros) respecto al inicio viene dada por la expresión $e(t) = \sqrt{4t + 9}$, donde $t$ es el tiempo en segundos.

1. a) Calcula la velocidad media del patinador entre los instantes $t = 0$ y $t = 4$ segundos.
2. b) Halla la velocidad instantánea en el momento $t = 4$ segundos utilizando la definición de derivada.

Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la curva $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ en el punto donde la gráfica corta al eje de ordenadas ($OY$).

Dada la función $f(x) = \dfrac{x^2}{x - 1}$, se pide:

1. a) Calcular la tasa de variación media en el intervalo $[2, 4]$.
2. b) Determinar si existe algún punto $c$ dentro del intervalo $(2, 4)$ tal que la derivada instantánea $f'(c)$ coincida con la TVM calculada en el apartado anterior.

La temperatura de un componente electrónico durante las primeras horas de funcionamiento sigue la función $T(t) = 20 + t \times e^{-t}$, donde $T$ es la temperatura en grados Celsius y $t$ es el tiempo en horas.

Calcula la tasa de variación instantánea de la temperatura cuando ha transcurrido exactamente 1 hora ($t = 1$). ¿La temperatura está aumentando, disminuyendo o ninguna de las dos cosas en ese instante? Justifica tu respuesta basándote en el signo de la derivada.

Durante un episodio de calor extremo en Sevilla, la Agencia Estatal de Meteorología (AEMET) registra que la temperatura $T$ (en grados Celsius) durante las horas diurnas se modeliza con gran exactitud según la función:

donde $t$ representa la hora solar del día, con $t \in [10, 18]$ (desde las 10:00 hasta las 18:00).

1. a) Calcule la tasa de variación media de la temperatura en el intervalo $[10, 14]$. Exprese el resultado con sus unidades correspondientes e interprete qué información aporta sobre la evolución térmica global durante esas cuatro horas.
2. b) Aplicando estrictamente la definición de derivada mediante el límite del cociente incremental, calcule la tasa de variación instantánea de la temperatura exactamente a las 14:00 ($t = 14$).
3. c) Compare numéricamente la $\text{TVM}[10, 14]$ con $T'(14)$. Explique razonadamente por qué la tasa instantánea a las 14:00 es inferior al promedio de las cuatro horas previas, relacionando esta variación con la proximidad al punto de máxima temperatura de la tarde.

Determina los coeficientes reales $a$, $b$ y $c$ de una función polinómica de segundo grado $f(x) = ax^2 + bx + c$ a partir de la siguiente información experimental sobre su gráfica:

1. Su gráfica corta al eje de ordenadas en el punto $P(0, 2)$.

2. La tasa de variación media en el intervalo $[0, 3]$ es $\text{TVM}[0, 3] = 5$.

3. La recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 1$ es la recta de ecuación $x + 3y - 10 = 0$.

1. a) A partir de la ecuación de la recta normal, deduce razonadamente el valor de la ordenada $f(1)$ y el valor de la pendiente de la recta tangente $f'(1)$.
2. b) Obtén la expresión de la derivada $f'(1)$ en función de los parámetros aplicando la definición de derivada como límite del cociente incremental $\lim_{h \to 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}$, y plantea el sistema de ecuaciones que permite determinar unívocamente $a$, $b$ y $c$.
3. c) Escribe la ecuación explícita de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa $x = 1$.

Se considera la función definida a trozos:

Determina los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que la función sea derivable en el punto $x = 2$. Para ello, deberás asegurar primero la continuidad y, posteriormente, la existencia de las derivadas laterales finitas e iguales en dicho punto utilizando la definición de derivada.

Calcula, haciendo uso exclusivo de la definición de derivada como límite del cociente incremental, el valor del siguiente límite:

Indicación: Identifica este límite con la derivada de una función conocida en un punto determinado y resuelve mediante las reglas de derivación habituales para comprobar tu resultado.

Un dron de vigilancia forestal sigue una trayectoria de aproximación cuya altura $h$ (en metros) respecto al tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la función:

Se pide:

1. Calcula la Tasa de Variación Media (TVM) de la altura en el intervalo $[0, 5]$. Explica su significado físico.

2. Utilizando la definición de derivada en un punto, obtén la velocidad instantánea de ascenso en el instante $t = 5$ segundos.

3. Comprueba si existe algún instante $t > 0$ en el que la velocidad instantánea coincida exactamente con la TVM calculada en el primer apartado.

Dada la función $f(x) = x \times |x - 3|$, estudia su derivabilidad en el punto $x = 3$.

Para ello:

1. Expresa la función como una función definida a trozos.

2. Calcula las derivadas laterales $f'(3^-)$ y $f'(3^+)$ mediante el límite del cociente incremental.

3. Interpreta geométricamente el resultado obtenido: ¿presenta la gráfica un punto anguloso o una tangente suave en $x=3$? Justifica tu respuesta.

Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva $y = x^2 - 4x + 5$ que pasan por el punto exterior $A(0, 0)$ (la figura muestra solo una de ellas).

Nota: Ten en cuenta que el punto A no pertenece a la curva. Deberás plantear la pendiente de la tangente en un punto genérico $(a, f(a))$ igualándola a la pendiente de la recta que une dicho punto con el origen.

Sea la función $f(x) = \frac{1}{x+1}$. Demuestra, aplicando la definición de derivada, que su función derivada es $f'(x) = \frac{-1}{(x+1)^2}$ para cualquier valor de $x$ perteneciente a su dominio.

A partir de este resultado, determina las coordenadas de los puntos de la gráfica donde la recta tangente es paralela a la bisectriz del segundo cuadrante ($y = -x$).

Considera la función $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$.

1. Estudia la continuidad de la función en el origen ($x=0$).

2. Analiza la derivabilidad en $x=0$ calculando el límite del cociente incremental.

3. Si el límite tiende a infinito, ¿qué tipo de recta tangente presenta la función en ese punto? Describe el comportamiento visual de la gráfica en las proximidades del origen.

En un laboratorio de biotecnología, la población de una colonia de bacterias (en millones) viene modelada por la función:

donde $t$ es el tiempo en horas. Se pide:

1. Hallar la Tasa de Variación Instantánea (TVI) de la población en $t = 1$ hora y en $t = 4$ horas.

2. Determinar en cuál de esos dos instantes la población está creciendo con mayor rapidez.

3. ¿Existe algún instante en el que la velocidad de crecimiento sea nula? En caso afirmativo, calcula dicho valor de $t$ e interpreta qué le ocurre a la población en ese momento.

Se considera la función continua $f(x) = \sqrt[3]{x - 2} + 1$. Dos estudiantes de 2.º de Bachillerato debaten sobre la existencia de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 2$:

• Lucía (Método de las reglas de derivación): Aplica la regla de la potencia y la cadena, obteniendo $f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{(x-2)^2}}$. Al sustituir $x = 2$, observa que se anula el denominador ($\frac{1}{0}$), por lo que concluye: «Como no existe un valor real para $f'(2)$, la gráfica no tiene recta tangente en $x = 2$».

• David (Método de la definición formal): Afirma que las reglas mecánicas son insuficientes ante singularidades y plantea el límite del cociente incremental:

1. a) Desarrolla el Método de David calculando dicho límite cuando $h \to 0^+$ y cuando $h \to 0^-$. ¿Qué comportamiento manifiestan las pendientes de las rectas secantes al aproximarse al punto $(2, 1)$?
2. b) Compara ambos métodos y valora críticamente la conclusión de Lucía. ¿Es cierto que no existe recta tangente, o existe una tangente vertical? Escribe razonadamente la ecuación de la recta tangente y la de la recta normal en dicho punto.
3. c) Justifica en qué tipo de funciones o puntos singulares es imprescindible acudir al método de la definición formal en lugar de limitarse a aplicar las reglas mecánicas de derivación.

En el proyecto de trazado de una línea ferroviaria de alta velocidad, los ingenieros deben diseñar una transición suave entre un tramo recto y un tramo en curva parabólica para evitar aceleraciones bruscas en el convoy. El perfil del trazado se modeliza mediante la función:

Para garantizar la seguridad y el confort, el pliego técnico exige tres condiciones:

1. Que el enlace en $x = 1$ sea continuo y derivable (transición sin quiebros).

2. Que en el tramo curvo, la tasa de variación media entre $x = 1$ y $x = 3$ sea nula: $\text{TVM}[1, 3] = 0$.

3. Que la recta tangente a la curva en $x = 3$ sea perpendicular a la recta $y = \frac{1}{2}x$.

1. a) Modela formalmente las tres exigencias del pliego: expresa la derivabilidad en $x = 1$ mediante la igualdad de derivadas laterales usando la definición del cociente incremental, traduce la condición de la TVM y formula la condición de tangencia perpendicular en $x = 3$.
2. b) Resuelve el sistema planteado y determina los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$.
3. c) Razona geométricamente por qué, en una función polinómica de segundo grado, la condición $\text{TVM}[1, 3] = 0$ unida a $f'(3) = -2$ obliga necesariamente a que $f'(1^+) = 2$, haciendo que la derivabilidad en el punto de unión quede automáticamente satisfecha sin necesidad de forzarla de forma independiente.