Ejercicios: Parábola

Halla la ecuación reducida de la parábola con vértice en el origen de coordenadas y foco en el punto $F(0, 3)$.

Determina las coordenadas del vértice, el foco y la ecuación de la directriz de la parábola de ecuación $y^2 = -10x$.

Escribe la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto $V(2, -1)$ y cuya directriz es la recta $x = 4$.

Halla el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan del punto $A(0, 4)$ y de la recta horizontal $y = -4$.

Calcula las coordenadas de los puntos de intersección de la parábola $x^2 = 4y$ con la recta bisectriz del primer cuadrante $y = x$.

Identifica si la ecuación general $y^2 - 4y - 6x + 10 = 0$ corresponde a una parábola y, en caso afirmativo, halla las coordenadas de su vértice.

El perfil de un faro halógeno de automóvil tiene forma de parábola. Si su ecuación respecto a un sistema de referencia centrado en el vértice es $y^2 = 12x$ (con las medidas expresadas en centímetros), ¿a qué distancia del vértice debe colocarse la bombilla para que los rayos de luz se reflejen paralelos al eje de simetría?

Halla la ecuación de la parábola con vértice en el origen, eje de simetría coincidente con el eje de abscisas y que pasa por el punto $P(-2, 4)$.

Álvaro tiene que calcular el foco y la recta directriz de la parábola cuya ecuación reducida es $y^2 = 12x$. En su examen escribe:

«Como la forma canónica es $y^2 = 2px$, se deduce inmediatamente que el parámetro es $p = 12$. Por lo tanto, el foco se sitúa en el punto $F(12, 0)$ y la ecuación de la recta directriz es $x = -12$».

1. a) Localiza el error conceptual que ha cometido Álvaro al identificar el parámetro $p$ y sus consecuencias en los elementos de la parábola.
2. b) Explica con tus palabras qué representa geométricamente el parámetro $p$ respecto a la distancia entre el foco y la directriz.
3. c) Corrige la resolución deduciendo de forma justificada el valor real de $p$, las coordenadas correctas del foco $F$ y la ecuación de la directriz.

Construye la ecuación canónica de una parábola con vértice en el origen $V(0, 0)$ sabiendo que su eje de simetría coincide con el eje de abscisas, que sus ramas se abren hacia los valores negativos de $x$ y que la distancia geométrica entre su foco y su recta directriz es exactamente de $8$ unidades de longitud.

Una vez obtenida la ecuación:

1. a) Determina las coordenadas de su foco $F$ y la ecuación de su directriz $d$.
2. b) Encuentra las coordenadas del punto $P$ de la parábola cuya ordenada es $y = 4$.
3. c) Demuestra numéricamente, calculando de forma explícita las distancias $d(P, F)$ y $d(P, d)$, que dicho punto cumple con exactitud la definición de lugar geométrico de la parábola.

Dada la ecuación general de la parábola $x^2 - 6x - 8y + 25 = 0$, completa cuadrados para expresarla en su forma reducida trasladada y determina las coordenadas de su vértice, su foco y la ecuación de su directriz.

Encuentra la ecuación de la recta tangente a la parábola $y^2 = 8x$ en el punto de ordenada $y = 4$.

Un arco parabólico de un puente de piedra tiene una luz (anchura en la base) de $40\text{ m}$ y una altura máxima de $10\text{ m}$. Calcula la altura a la que se encuentra el arco a una distancia horizontal de $8\text{ m}$ del centro de la base.

Halla el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que son tangentes a la recta $y = -2$ y pasan simultáneamente por el punto $P(0, 2)$. Identifica la cónica resultante y detalla sus elementos principales.

El reflector de una antena parabólica tiene un diámetro exterior de $2\text{ m}$ y una profundidad máxima de $0.25\text{ m}$. Determina a qué distancia del vértice se encuentra el foco donde debe situarse el receptor de la señal.

Determina la ecuación de la parábola de eje vertical que pasa por los puntos $A(-1, 0)$, $B(1, -2)$ y $C(3, 4)$.

Estudia la posición relativa de la recta $r: 2x + y - 3 = 0$ y la parábola $y^2 = 4x$. Si se cortan, halla la longitud exacta de la cuerda que determina la recta al intersecar con la parábola.

Determina el valor del parámetro $k$ para que la recta $y = 2x + k$ sea tangente a la parábola $x^2 = 2y$.

En la Plataforma Solar de Almería se utilizan colectores cilindroparabólicos para concentrar la radiación solar directa en un tubo receptor por el que fluye un fluido térmico. La sección transversal del espejo reflector tiene forma parabólica simétrica respecto al eje vertical, con una anchura de apertura superior de $5.6\text{ m}$ y una profundidad máxima en el centro de $1.4\text{ m}$.

1. a) Sitúa el vértice en el origen de coordenadas $V(0, 0)$ y modeliza el perfil del captador determinando su ecuación canónica de la forma $x^2 = 2py$.
2. b) Aplica la propiedad reflectora de las cónicas para justificar matemáticamente a qué altura exacta sobre el vértice del fondo debe fijarse el tubo receptor para absorber la máxima cantidad de radiación solar paralela al eje.
3. c) Si la directriz de la parábola representa una cota de referencia para la estructura mecánica inferior, ¿a qué distancia por debajo del vértice se sitúa dicha recta?

Considera la parábola con vértice trasladado de ecuación $(y - 2)^2 = 4(x + 1)$. Se traza una cuerda focal perpendicular a su eje de simetría (es decir, el segmento que pasa por el foco, tiene sus extremos sobre la parábola y es perpendicular a dicho eje).

1. a) Estima razonadamente la longitud de esta cuerda focal antes de calcular las coordenadas de sus extremos, apoyándote exclusivamente en la definición de la parábola como lugar geométrico y en la distancia del foco a la directriz.
2. b) Determina analíticamente las coordenadas del vértice $V$, del foco $F$, la ecuación de la directriz y las coordenadas de los extremos $A$ y $B$ de dicha cuerda focal.
3. c) Calcula la distancia euclídea exacta entre $A$ y $B$, comprueba si coincide con tu estimación previa y razona por qué para cualquier parábola de parámetro $p$ la longitud de dicha cuerda focal perpendicular al eje (denominada «latus rectum») mide siempre $2p$.

Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la parábola $y^2 = 4x$ trazadas desde el punto exterior $P(-1, 0)$.

Utilizando la definición de parábola como lugar geométrico, halla la ecuación general de la parábola cuyo foco es el punto $F(2, 3)$ y cuya directriz es la recta oblicua $x + y - 1 = 0$.

Un cañón de agua lanza un chorro cuya trayectoria describe una parábola. El agua sale desde el origen de coordenadas y el chorro alcanza una altura máxima de $15\text{ m}$ a una distancia horizontal de $20\text{ m}$. Determina analíticamente si el chorro de agua logrará pasar por encima de un muro de $10\text{ m}$ de altura situado a $30\text{ m}$ de distancia horizontal del punto de salida.

Dada la parábola de ecuación $y^2 = 2px$, demuestra analíticamente que el lugar geométrico de las proyecciones ortogonales del foco sobre las infinitas rectas tangentes a la parábola es exactamente la recta tangente en el vértice.

Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice de la parábola $y^2 = 8x$ y por los dos puntos de intersección de dicha parábola con la recta vertical $x = 2$.

Determina las coordenadas del punto de la parábola $x^2 = 4y$ que se encuentra a la menor distancia posible de la recta $r: x - y - 4 = 0$. Calcula, además, dicha distancia mínima.

Se considera un espejo parabólico cuya sección responde a la ecuación $y^2 = 4x$. Un rayo de luz, paralelo al eje de abscisas, incide sobre el espejo en el punto $P(1, 2)$. Demuestra de forma analítica que la recta que contiene al rayo reflejado pasa exactamente por el foco de la parábola.

Una parábola tiene su vértice en el punto $V(1, 2)$ y su eje de simetría es paralelo al eje de ordenadas. Si se sabe que la parábola es tangente a la recta $y = x - 1$, halla la ecuación general de dicha parábola y las coordenadas exactas de su foco.

Se desea determinar la ecuación de la recta tangente a la parábola $y^2 = 4x$ en el punto $P(1, 2)$ perteneciente a ella. Para resolver este problema se plantean dos métodos conceptualmente distintos:

• Método A (Algebraico): Plantear el haz de rectas que pasan por $P$, $y - 2 = m(x - 1)$, sustituir en la ecuación de la parábola y exigir que la ecuación de segundo grado resultante tenga una raíz doble imponiendo que su discriminante sea nulo ($\Delta = 0$).

• Método B (Geométrico): Utilizar la definición de la parábola. Siendo $F$ el foco y $D$ la proyección ortogonal de $P$ sobre la directriz, la recta tangente es exactamente la mediatriz del segmento $FD$ (la recta perpendicular a $FD$ que pasa por su punto medio).

1. a) Desarrolla por completo el Método A y obtén el valor de la pendiente $m$ y la recta tangente.
2. b) Desarrolla por completo el Método B: halla las coordenadas de $F$ y de $D$, calcula el punto medio y el vector director de la mediatriz, y obtén la recta tangente.
3. c) Compara con criterio crítico ambos procedimientos: argumenta cuál resulta algebraicamente más directo y cuál permite comprender mejor la propiedad óptica de reflexión que aprovechan los faros y radiotelescopios.

En el Complejo Espacial de Maspalomas (Gran Canaria), un equipo de ingenieros diseña una antena parabólica de recepción satelital orientada hacia el cenit (eje vertical). La apertura circular superior de la antena tiene un diámetro de $12\text{ m}$. Por especificaciones de diseño mecánico y estabilidad del mástil receptor, se exige que el foco de la parábola esté ubicado exactamente a la misma altura que el borde perimetral superior del plato.

1. a) Situando el vértice en el origen de coordenadas $(0, 0)$, deduce razonadamente el valor del parámetro $p$, la profundidad total de la antena en su centro y escribe su ecuación reducida $x^2 = 2py$.
2. b) Un rayo de señal vertical incidente choca contra la superficie reflectora a una distancia de $3\text{ m}$ respecto al eje de simetría (en el punto de abscisa $x = 3$). Halla la pendiente de la recta tangente en dicho punto (mediante derivadas o imponiendo discriminante nulo) y deduce las componentes de un vector normal perpendicular a la superficie en el impacto.
3. c) Demuestra analíticamente, utilizando el producto escalar y la definición del coseno del ángulo entre dos vectores, que el ángulo de incidencia que forma el rayo vertical con el vector normal es idéntico al ángulo de reflexión que forma la dirección hacia el foco con dicho vector normal, demostrando la ley física de reflexión para este caso.