Ejercicios: Circunferencia

Escribe la ecuación de la circunferencia que describe el área de cobertura de una antena wifi, sabiendo que la antena está situada en el punto $(2, -3)$ de un plano cartesiano (medido en kilómetros) y tiene un alcance máximo de $5$ km.

Determina las coordenadas del centro y la longitud del radio de la zona circular regada por un aspersor agrícola cuya frontera viene dada por la ecuación $(x-4)^2+(y+1)^2=36$.

Un sismógrafo detecta que el epicentro de un terremoto se sitúa en el origen de coordenadas y que la onda sísmica ha alcanzado un radio exacto de $10$ km. Comprueba analíticamente si una estación meteorológica situada en el punto $(6, -8)$ ha sentido el sismo o si se encuentra en el límite exacto de la onda.

Halla la ecuación de la circunferencia que representa el barrido de un radar de un barco. Se sabe que el radar está posicionado en las coordenadas $(-1, 4)$ y que en el extremo exacto de su pantalla detecta una boya situada en el punto $(2, 0)$.

Encuentre el centro y el radio de la circunferencia que describe el borde exterior de un engranaje en un plano de diseño asistido por computadora, cuya ecuación general es $x^2+y^2-6x+8y=0$.

Escribe la ecuación de la circunferencia que delimita una rotonda, sabiendo que los extremos de uno de sus diámetros (donde se sitúan dos pasos de cebra opuestos) corresponden a los puntos $(1, 2)$ y $(7, -6)$.

Determina si la ecuación $2x^2+2y^2+4x-8y+20=0$ representa matemáticamente una circunferencia válida en el motor físico de un videojuego. Justifica tu respuesta calculando su centro y el valor de su radio al cuadrado.

Escribe la ecuación de la circunferencia que describe el chasis de un robot aspirador de $15$ cm de radio cuando se encuentra encajado exactamente en la esquina de una habitación. Considera que las paredes coinciden con los semiejes positivos de coordenadas (cuadrante I) y el robot es tangente a ambas paredes.

Lucas tiene que calcular el centro y el radio de la circunferencia dada por la ecuación general $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$. En su examen escribe lo siguiente:

«El centro es $C(-6, 4)$ porque son directamente los coeficientes que acompañan a $x$ e $y$. Para el radio, sustituyo en la fórmula y obtengo $r = \sqrt{(-6)^2 + 4^2 - 12} = \sqrt{36 + 16 - 12} = \sqrt{40} \approx 6.32$».

Identifica y explica detalladamente los dos errores conceptuales que ha cometido Lucas al deducir el centro y el radio a partir de la ecuación general. A continuación, muestra el razonamiento correcto y calcula las coordenadas exactas del centro $C$ y el valor exacto del radio $r$.

Se considera la familia de curvas dada por la ecuación $x^2 + y^2 - 4x + 6y + k = 0$, donde $k$ es un número real.

1. a) Determina de forma razonada el valor que debe tomar el parámetro $k$ para que la ecuación represente una circunferencia de radio exactamente igual a $5$ unidades, y escribe su correspondiente ecuación reducida.
2. b) Justifica qué figura u objeto geométrico representa dicha ecuación si se toma $k = 13$, y qué ocurre si se elige cualquier valor $k > 13$.

Halla la ecuación de la circunferencia que reconstruye el borde de una antigua vasija de cerámica encontrada en una excavación arqueológica. Los restauradores han medido tres puntos intactos del borde, que en un sistema de ejes coordenados corresponden a $(0, 0)$, $(4, 0)$ y $(0, 3)$.

Estudia analíticamente la posición relativa entre la órbita de un satélite artificial, modelizada por la circunferencia $x^2+y^2=4$, y la trayectoria rectilínea de un asteroide dada por la ecuación $y=x+2$. Determina los puntos de intersección en caso de que existan.

Calcula la ecuación de la recta tangente a la trayectoria circular trazada por un lanzador de martillo en el momento exacto en que suelta el cable. La trayectoria del martillo viene dada por la circunferencia $x^2+y^2=25$ y el atleta suelta el cable cuando la bola pasa por el punto $(3, 4)$.

Escribe la ecuación de la circunferencia que representa una polea cuyo eje de rotación está fijado en el punto $(3, -2)$ y que está en contacto tangencial con una correa de transmisión cuya línea de acción es la recta $4x-3y+2=0$.

Halla la ecuación del eje radical de las dos circunferencias que modelizan el área de influencia de dos antenas de radio: $x^2+y^2-4x+2y-4=0$ y $x^2+y^2+6x-2y+6=0$.

Calcula la longitud de la superficie libre del agua dentro de una tubería circular de ecuación $x^2+y^2=100$. Se sabe que el nivel del agua se ha estabilizado formando una cuerda horizontal sobre la recta $y=6$.

Estudia la posición relativa entre las frentes de onda generados por dos gotas al caer en un estanque, modelizados por las circunferencias $C_1: x^2+y^2=9$ y $C_2: (x-4)^2+y^2=4$.

Determina la ecuación de la circunferencia que define el carril exterior de una pista de atletismo, sabiendo que es concéntrica a la circunferencia del carril interior $x^2+y^2-10x+4y+13=0$ y que pasa por la posición de salida situada en $(1, 1)$.

Un barco pesquero navega en línea recta siguiendo la trayectoria marcada por la ecuación $3x + 4y - 24 = 0$ (con las coordenadas expresadas en millas náuticas). Una baliza marítima de Salvamento Marítimo emite un aviso de temporal con un área de cobertura circular delimitada por un radio de $r = 3.5$ millas náuticas y con centro en el punto $C(1, 1)$.

1. a) Antes de calcular nada, realiza mentalmente o mediante un esquema una estimación razonada: teniendo en cuenta la posición del centro y los puntos de corte de la recta con los ejes cartesianos, ¿crees que el pesquero atravesará la zona de aviso, la rozará de forma tangente o pasará de largo sin entrar en ella? Justifica tu conjetura.

1. b) Comprueba analíticamente tu estimación calculando la distancia del centro $C$ a la recta de la trayectoria y compárala con el radio para determinar de forma concluyente la posición relativa. Explica por qué, cuando la distancia y el radio son valores muy próximos, una simple representación visual no basta y resulta imprescindible el cálculo algebraico.

El servicio de emergencias 112 de una comunidad autónoma evalúa la cobertura de comunicaciones ante incendios forestales mediante dos antenas repetidoras. En el mapa de mando (con cuadrícula graduada en decenas de kilómetros, donde $1$ unidad $= 10$ km), la antena Norte se sitúa en $A(-3, 2)$ con un radio de cobertura de $50$ km ($5$ unidades), y la antena Sur en $B(5, -4)$ con el mismo alcance de $50$ km.

1. a) Modela algebraicamente el límite de cobertura de ambas antenas escribiendo sus respectivas ecuaciones generales.
2. b) Estudia la posición relativa entre las dos áreas circulares de cobertura a partir de la distancia entre sus centros y deduce si existe solapamiento territorial o si son tangentes.
3. c) El puesto de mando avanzado se ubica en el pueblo de coordenadas $P(1, -1)$. Determina si dicho pueblo dispone de cobertura de alguna de las antenas, de ambas o si queda incomunicado en una zona de sombra, interpretando el resultado geométrico en el contexto de las emergencias.

Halla las ecuaciones de las dos rectas tangentes trazadas desde un faro situado en el punto $(0, 4)$ hacia un depósito cilíndrico de combustible cuya base ocupa la región delimitada por la circunferencia $x^2+y^2=4$. Estas rectas representan los límites de las sombras proyectadas en el suelo.

Calcula la ecuación de la circunferencia que perfila la estructura principal de una noria de feria. Se sabe que el eje central de rotación descansa sobre un pilar inclinado representado por la recta $x+y-4=0$ y que las cabinas pasan por las plataformas de embarque situadas en los puntos $(2, 0)$ y $(0, 2)$.

En un experimento de acústica, se busca el lugar geométrico de todos los puntos del plano donde el sonido emitido por un altavoz situado en $A(6, 0)$ se percibe con la cuarta parte de la intensidad que el sonido emitido por otro altavoz idéntico en el origen $O(0, 0)$. Esto equivale a hallar los puntos $P(x, y)$ cuya distancia al punto $A$ es el doble que su distancia al punto $O$. Demuestra que este lugar geométrico es una circunferencia y halla su centro y su radio.

El diseño de un nudo viario exige trazar dos carreteras rectas que sean tangentes a una plaza circular central cuya ecuación es $x^2+y^2-6x+8y=0$. Además, por motivos de planificación urbana, estas carreteras deben ser paralelas a una avenida principal de ecuación $3x-4y=0$. Encuentra las ecuaciones de ambas carreteras tangentes.

Un dron realiza una maniobra evasiva siguiendo una trayectoria rectilínea dada por la familia de rectas $y=2x+k$. El espacio aéreo restringido alrededor de un radar se define mediante la circunferencia $x^2+y^2=5$. Determina los valores del parámetro $k$ para los cuales el dron roza el espacio restringido sin llegar a penetrar en él (es decir, la recta es tangente a la circunferencia).

Halla la ecuación de la circunferencia circunscrita al parque triangular delimitado por las avenidas cuyas ecuaciones son $x=0$, $y=0$ y $3x+4y-12=0$.

El sistema GPS de un teléfono celular recibe señales de dos torres de telecomunicaciones. La primera torre está en el origen de coordenadas y estima que el celular está a $5$ km de distancia. La segunda torre está en el punto $(5, 0)$ y estima que el celular está a $4$ km de distancia. Halle las coordenadas exactas de los dos posibles puntos donde podría encontrarse el teléfono celular calculando la intersección de ambas circunferencias.

En un problema de optimización de redes, se requiere encontrar el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de los cuadrados de sus distancias a dos servidores fijos situados en $(-2, 0)$ y $(2, 0)$ sea exactamente igual a $20$. Demuestra analíticamente que la figura resultante es una circunferencia y obtén su ecuación.

Para trazar las rectas tangentes a la circunferencia $x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0$ desde el punto exterior $P(6, 4)$, se pueden plantear dos métodos analíticos distintos:

• Método 1 (algebraico puro): Plantear el haz de rectas que pasa por $P$ mediante su pendiente $m$, sustituir $y$ en la ecuación de la circunferencia e imponer que el discriminante de la ecuación de segundo grado en $x$ sea nulo ($\Delta = 0$).

• Método 2 (métrico-geométrico): Expresar el haz de rectas en forma general $mx - y + (4 - 6m) = 0$ e imponer que la distancia euclídea desde el centro de la circunferencia a la recta coincida exactamente con el radio ($d(C, r) = R$).

1. a) Analiza las ventajas e inconvenientes de ambos métodos (carga de cálculo, riesgo de operaciones complejas y tratamiento de una posible tangente vertical) y justifica cuál es más eficiente en este caso.
2. b) Resuelve el problema aplicando el método que has seleccionado como óptimo, halla las ecuaciones de las dos rectas tangentes y justifica por qué ninguna de las tangentes que parten de $P$ es una recta vertical.

En un proyecto de urbanismo se proyecta una glorieta circular cuyo centro debe emplazarse obligatoriamente sobre el eje de una avenida recta modelizada por la ecuación $r: x - 2y = 0$. Además, el borde exterior de la glorieta debe ser tangente a una vía de tranvía dada por la recta $s: 4x + 3y - 1 = 0$ y su trazado debe pasar por un monumento histórico ubicado en el punto $A(2, 3)$.

1. a) Parametriza las coordenadas del centro en función de una sola variable, plantea la igualdad entre la distancia del centro al punto $A$ y la distancia del centro a la recta $s$, y demuestra razonadamente que existen dos circunferencias teóricas que satisfacen todas las condiciones dadas, hallando sus centros y sus radios correspondientes.
2. b) Desde la perspectiva de la viabilidad técnica y las dimensiones de una glorieta en una trama urbana ordinaria, justifica de manera crítica por qué una de las dos soluciones teóricas carece por completo de sentido práctico y debe ser descartada. Para la solución viable, escribe su ecuación general y calcula las coordenadas exactas del punto de tangencia con la vía del tranvía.