Ejercicios: Límites laterales

Dada la función $f(x) = x^2 - 3$, queremos investigar qué ocurre cuando los valores de $x$ se acercan mucho a $2$. Completa la siguiente tabla de valores y, a la vista de los resultados, indica cuál crees que es el valor del $\lim_{x \to 2} f(x)$.

Observa la siguiente gráfica de la función $g(x)$ y determina el valor de los límites laterales en el punto de ruptura $x = 1$. Indica también si existe el límite global $\lim_{x \to 1} g(x)$.

1. a) $\lim_{x \to 1^-} g(x)$
2. b) $\lim_{x \to 1^+} g(x)$

Explica con tus propias palabras qué significa la expresión $\lim_{x \to a^-} f(x) = L$. Pon un ejemplo de la vida cotidiana donde se produzca una aproximación a un valor "por la izquierda" (por ejemplo, el tiempo que falta para que empiece un examen o el dinero que te queda en la tarjeta de transporte).

Calcula los siguientes límites sencillos mediante sustitución directa:

1. a) $\lim_{x \to 3} (2x^2 - 5x + 1)$
2. b) $\lim_{x \to -1} \frac{x + 5}{x + 2}$
3. c) $\lim_{x \to 0} \sqrt{x + 4}$

Dada la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{si } x < 3 \\ 7 - x & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$

Calcula los límites laterales en el punto $x = 3$:

1. a) $\lim_{x \to 3^-} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to 3^+} f(x)$

¿Qué puedes decir sobre la existencia del límite $\lim_{x \to 3} f(x)$?

El nivel de carga de un scooter eléctrico (en porcentaje) después de $t$ horas de uso se comporta según la función $C(t) = 100 - 15t$. Si un usuario quiere saber cuánta batería le quedará cuando esté a punto de cumplirse la cuarta hora de trayecto, calcule el límite:

$\lim_{t \to 4^-} (100 - 15t)$

Observa la gráfica de esta función $h(x)$, que presenta una asíntota vertical en $x = 2$ (la recta discontinua), y determina el valor de los límites laterales indicados.

1. a) $\lim_{x \to 2^-} h(x)$
2. b) $\lim_{x \to 2^+} h(x)$

Considera la función $f(x)$ representada en la siguiente gráfica. El círculo vacío indica un punto que no pertenece a la gráfica y el punto relleno indica el valor que toma la función en $x = 2$.

A partir de la gráfica:

1. a) Identifica el valor de $f(2)$.

1. b) Identifica $\lim_{x \to 2^-} f(x)$.

1. c) Identifica $\lim_{x \to 2^+} f(x)$.

1. d) ¿Existe el límite de $f(x)$ cuando $x \to 2$? Justifica tu respuesta.

Para determinar si existe $\lim_{x \to 3} f(x)$ en la función definida a trozos

Marcos afirma en clase: «Como para $x = 3$ la función vale $8$, entonces el límite global $\lim_{x \to 3} f(x)$ es igual a $8$ directamente, sin necesidad de calcular límites laterales». Responde a las siguientes cuestiones:

1. a) Identifica y explica razonadamente el error conceptual que comete Marcos respecto al concepto de límite y su relación con el valor puntual $f(3)$.
2. b) Calcula de forma rigurosa los límites laterales $\lim_{x \to 3^-} f(x)$ y $\lim_{x \to 3^+} f(x)$.
3. c) A partir de tus resultados, determina si existe $\lim_{x \to 3} f(x)$, indica su valor en caso afirmativo y compáralo con el valor de la función en ese punto.

Considera la función $f(x) = \frac{2x - 4}{|x - 2|}$, definida para todo $x \neq 2$.

1. a) Antes de operar analíticamente, estima el comportamiento de $f(x)$ cerca de $2$: calcula mentalmente el signo y valor que esperas obtener si sustituyes valores muy próximos a $2$ por la izquierda (como $x = 1.99$) y por la derecha (como $x = 2.01$). Escribe tu predicción para $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ y $\lim_{x \to 2^+} f(x)$.
2. b) Reescribe la función como una función a trozos eliminando el valor absoluto según el signo de $x - 2$ y calcula formalmente ambos límites laterales.
3. c) Comprueba si tu estimación inicial coincidía con los cálculos y concluye razonadamente si existe el límite global $\lim_{x \to 2} f(x)$.

Dada la gráfica de la función $f(x)$ representada a continuación, analiza el comportamiento de la función en las proximidades de los puntos conflictivos. Determina de forma razonada los límites laterales y el límite global (en caso de que exista) para:

1. a) $x \to -2$
2. b) $x \to 1$
3. c) $x \to 3$

Un gestor de inversiones observa que el rendimiento de un fondo de alto riesgo, $R(x)$, expresado en miles de lempiras según el capital invertido $x$ (en decenas de miles), sigue el modelo:

$R(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$

Investigue, completando una tabla de valores con ayuda de la calculadora, qué ocurre con el rendimiento cuando la inversión se aproxima a $30,000$ lempiras ($x \to 3$). Utilice los valores $2.9; 2.99; 2.999$ por la izquierda y $3.1; 3.01; 3.001$ por la derecha. ¿Podría el gestor afirmar que el límite existe aunque la función no esté definida en $x = 3$? Justifique su respuesta.

Determina el valor del parámetro $k$ para que exista el límite de la siguiente función en su punto de ruptura $x = 2$:

$f(x) = \begin{cases} kx - 3 & \text{si } x < 2 \\ x^2 + k & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$

Para que el límite exista, recuerda que los límites laterales deben ser iguales. Una vez hallado $k$, indica el valor del límite.

Una empresa de logística cobra los envíos urgentes mediante una tarifa por tramos según el peso $p$ en kilogramos. El costo $C(p)$ en lempiras está dado por:

$C(p) = \begin{cases} 5 + 2p & \text{si } 0 < p \leq 5 \\ 10 + 1.5p & \text{si } p > 5 \end{cases}$

Calcule e interprete en el contexto del problema:

1. a) $\lim_{p \to 5^-} C(p)$
2. b) $\lim_{p \to 5^+} C(p)$
3. c) ¿Existe un costo definido de forma continua para un paquete que pese exactamente $5$ kg?

Considera la función $g(x) = \frac{2x + 1}{x - 4}$.

1. a) Estudia los límites laterales de $g(x)$ cuando $x \to 4$.

1. b) Indica si la función presenta una asíntota vertical en ese punto.

1. c) Dibuja un pequeño esquema gráfico (a mano, con la recta $x = 4$ marcada) que muestre hacia dónde tienden las ramas de la función (si hacia $+\infty$ o hacia $-\infty$) según te acerques a $x = 4$ por la izquierda o por la derecha.

Dada la función con valor absoluto $h(x) = \frac{|x - 1|}{x - 1}$, se pide:

1. a) Redefine la función como una función a trozos eliminando el valor absoluto.
2. b) Calcula $\lim_{x \to 1^-} h(x)$ y $\lim_{x \to 1^+} h(x)$.
3. c) ¿Existe el límite global $\lim_{x \to 1} h(x)$? Argumenta tu respuesta basándote en la teoría de los límites laterales.

En un estudio sociológico, el nivel de alienación $A(t)$ de una comunidad tras $t$ meses de un cambio normativo se define mediante:

$A(t) = \begin{cases} \frac{t^2}{4} & \text{si } 0 \leq t < 6 \\ 12 - \frac{t}{2} & \text{si } t \geq 6 \end{cases}$

Estudia si el nivel de alienación cambia de forma brusca o gradual en el sexto mes. Para ello, calcula los límites laterales en $t = 6$ y comprueba si el límite existe.

Dada la función $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1}$, calcula los límites laterales en el punto donde se anula el denominador.

1. a) ¿Qué ocurre con los valores de la función cuando nos acercamos a $x = 1$ por la izquierda?

1. b) ¿Y por la derecha?

1. c) Basándote en tus resultados, ¿podemos decir que existe el límite global en $x = 1$?

Pista. Factoriza el numerador y el denominador y simplifica la fracción antes de estudiar el signo de cada lado.

Una empresa de paquetería urgente en España aplica una tarifa que depende del peso $p$ del paquete (en kilogramos, con $0 < p \le 5$). El costo en lempiras, $C(p)$, viene dado por:

donde $k$ es un parámetro que la dirección comercial debe fijar.

1. a) Explique el significado económico de los límites laterales $\lim_{p \to 2^-} C(p)$ y $\lim_{p \to 2^+} C(p)$ para un usuario que prepara un envío que ronda los $2\text{ kg}$.
2. b) Calcule el valor que debe tomar $k$ para que no exista una variación brusca (un salto) en la tarifa alrededor de los $2\text{ kg}$; es decir, para que exista $\lim_{p \to 2} C(p)$. ¿Cuál es el costo límite del paquete en ese caso?
3. c) Si la empresa fijara por error $k = 0.2$, calcule los nuevos límites laterales en $p = 2$ e interprete qué problema comercial o paradoja se produciría entre enviar un paquete de $1.99\text{ kg}$ y uno de $2.01\text{ kg}$.

Diseña la expresión analítica de una función a trozos $g(x)$, con dominio en todo $\mathbb{R}$, que cumpla simultáneamente estas cuatro condiciones:

1. $\lim_{x \to -1^-} g(x) = 4$ y $\lim_{x \to -1^+} g(x) = 4$.

2. $g(-1) = 1$.

3. $\lim_{x \to 3^-} g(x) = 2$ y $\lim_{x \to 3^+} g(x) = -1$.

4. En cada intervalo abierto $(-\infty, -1)$, $(-1, 3)$ y $(3, +\infty)$, la función debe ser una recta (polinomio de grado menor o igual a 1).

Una vez propuesta la fórmula de tu función:

1. a) Demuestra mediante el cálculo de los límites laterales que tu función satisface exactamente todas las condiciones exigidas.
2. b) Explica razonadamente en cuál de los dos puntos ($x = -1$ o $x = 3$) existe el límite global y por qué en el otro no es posible su existencia.

Se está estudiando la evolución de los beneficios de una startup tecnológica (en miles de lempiras) según el tiempo $t$ en meses. La función que describe el beneficio viene dada por:

Determine los valores de los parámetros $a$ y $b$ sabiendo que el beneficio en el instante inicial es nulo y que existe el límite global de la función cuando $t \to 2$. Una vez encontrados, calcule e interprete los límites laterales en $t = 2$.

Calcula los límites laterales en los puntos de ruptura de la siguiente función que combina un valor absoluto con una función racional:

A partir de los resultados obtenidos, razona si existe el $\lim_{x \to 3} g(x)$ y describe el comportamiento de la función en las proximidades de $x=3$ y $x=1$.

Una empresa de mensajería establece el costo de envío $C(x)$ (en lempiras) para paquetes de peso $x$ (en kg) mediante la siguiente función que utiliza la función "parte entera" $E[x]$ (el mayor entero menor o igual a $x$):

Calcule los límites laterales de la función de costo cuando el peso se aproxima a $2$ kg. ¿Es el costo una función continua en ese punto? Justifique su respuesta utilizando la definición de límite.

Considera la función $f(x)$ definida a trozos:

Sabiendo que $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 4$, determina razonadamente el valor de la constante $k$. Posteriormente, halla el valor de $a$ para que exista el límite de la función en el origen.

(Pista: Puedes usar que $\lim_{h \to 0} \dfrac{e^h - 1}{h} = 1$).

Sea la función $h(x) = \frac{\sqrt{x^2 + k} - 3}{x-1}$.

1. a) Determina el valor de $k \in \mathbb{R}$ para que la función presente una indeterminación del tipo $0/0$ cuando $x \to 1$.
2. b) Para dicho valor de $k$, calcula los límites laterales en $x=1$ y estudia si existe el límite global.

En un mercado de valores, el precio de una acción $P$ en función del riesgo $x$ se modeliza como:

$P(x) = \frac{ax^2 + bx}{x^2 - 1}$

Se sabe que cuando el riesgo se acerca a $1$ por la derecha, el precio tiende a $+\infty$, pero cuando se acerca a $1$ por la izquierda, el precio tiende a $-\infty$. Además, cuando el riesgo tiende a $+\infty$, el precio tiende a $1$, y para un riesgo $x = 2$, el precio es $2$. Calcula los valores de $a$ y $b$ y comprueba la consistencia de los límites laterales en $x = 1$ y $x = -1$.

Dada la función $f(x) = \frac{x^2 - |x|}{x}$, investiga la existencia de límite en $x=0$ calculando sus límites laterales. Representa gráficamente la situación y explica qué ocurre con la imagen de la función exactamente en el origen.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Estudia los límites laterales de la siguiente función en los puntos $x = -2$ y $x = 2$. ¿En cuál de ellos existe un límite finito?

Posteriormente, propón una modificación en el numerador para que en el punto donde el límite era infinito pase a ser un valor real concreto.

Se desea estudiar la existencia de $\lim_{x \to 2} \frac{|x^2 - 4|}{2x - 4}$. Dos estudiantes de 2.º de Bachillerato plantean estrategias diferentes para resolverlo:

• Método de Alba: Estudia primero el signo del polinomio cuadrático $x^2 - 4$ en toda la recta real, escribe la función completa desglosada en tres trozos según los intervalos resultantes y, a partir de esa expresión general, calcula los límites laterales en $x = 2$.

• Método de Bruno: Razona de forma local únicamente en un entorno de $x = 2$. Argumenta que si $x \to 2^+$, entonces $x > 2$ y por tanto $x^2 - 4 > 0$, lo que permite sustituir $|x^2 - 4|$ por $(x^2 - 4)$; análogamente, si $x \to 2^-$, entonces $x < 2$ (cercano a $2$) y por tanto $x^2 - 4 < 0$, sustituyéndolo por $-(x^2 - 4)$. Luego resuelve cada límite lateral de forma independiente factorizando la indeterminación $\frac{0}{0}$.

1. a) Aplica con detalle ambos métodos para calcular $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ y $\lim_{x \to 2^+} f(x)$, deduciendo si existe o no el límite global.
2. b) Valora críticamente ambos caminos: ¿cuál es más eficiente si solo interesa el comportamiento en $x = 2$? ¿En qué contexto matemático (por ejemplo, si se pidiera la representación gráfica o el estudio global de continuidad en $\mathbb{R}$) resultaría imprescindible el método de Alba?

Considera la función real $f(x)$ definida mediante:

1. a) Estudia analíticamente el comportamiento de la función a la derecha de $x = 5$. Justifica cómo se elimina el valor absoluto para $x > 5$ y calcula $\lim_{x \to 5^+} f(x)$. ¿Qué valor se habría obtenido si la expresión $\frac{|x - 5|}{x^2 - 25}$ se hubiese utilizado para calcular una aproximación por la izquierda ($x \to 5^-$)?
2. b) Calcula el límite lateral $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ resolviendo la indeterminación correspondiente.
3. c) Plantea y resuelve el sistema de ecuaciones que determina los valores de los parámetros $m$ y $n$ para que existan simultáneamente los límites globales $\lim_{x \to 2} f(x)$ y $\lim_{x \to 5} f(x)$.
4. d) Supón que se impone la condición adicional de que el tramo intermedio sea horizontal ($m = 0$). Demuestra de forma razonada que es imposible encontrar un valor de $n$ que permita la existencia simultánea de ambos límites globales, interpretando este hecho a partir de los límites laterales obtenidos.