Ejercicios: Límites infinitos y límites en el infinito

Observa la gráfica de la función $f(x)$ y determina el valor de los límites laterales cuando la variable $x$ se aproxima a $x = 2$, es decir, $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ y $\lim_{x \to 2^+} f(x)$. A partir de tu observación, razona si existe el límite global $\lim_{x \to 2} f(x)$.

En la gráfica, el círculo vacío indica que ese punto no pertenece a la función, y el punto relleno sí pertenece a ella.

Completa la siguiente tabla de valores para la función $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ y estima de forma intuitiva el valor del límite $\lim_{x \to 1} f(x)$. Explica por qué, aunque la función no esté definida en $x = 1$, sí podemos hablar de su límite en ese punto.

Dada la función $f(x) = \frac{4}{x - 3}$, estudia su comportamiento cuando $x$ se acerca a $3$ por ambos lados. Para ello, calcula:

1. a) $\lim_{x \to 3^-} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to 3^+} f(x)$

Indica si la función presenta alguna asíntota vertical y escribe su ecuación.

Imagine que el beneficio diario de una nueva cafetería de especialidad, en lempiras, sigue la función $B(t) = 50t^2 - 250t + 1\,250$, donde $t$ es el tiempo en meses desde su apertura. ¿Qué ocurrirá con el beneficio si la cafetería sigue funcionando indefinidamente? Calcule $\lim_{t \to +\infty} B(t)$ e interprete el resultado en el contexto del problema.

Calcula los siguientes límites en el infinito para las funciones polinómicas dadas. Recuerda que el término de mayor grado es el que determina el comportamiento final de la función:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} (-x^3 + 5x^2 + 2)$
2. b) $\lim_{x \to -\infty} (2x^4 - 3x + 1)$
3. c) $\lim_{x \to -\infty} (x^5 + x^2)$

El número de usuarios que visitan una página web de venta de ropa de segunda mano tras $x$ días de una campaña publicitaria viene dado por la función $N(x) = \frac{3000x + 100}{x + 2}$.

1. a) ¿Cuántos usuarios visitaron la web el día del lanzamiento ($x=0$)?
2. b) Si la campaña se mantiene durante mucho tiempo, ¿a qué valor constante tenderá el número de visitantes diarios? Calcula $\lim_{x \to +\infty} N(x)$.

Analiza el grado del numerador y del denominador para determinar el valor de los siguientes límites al infinito sin realizar operaciones complejas:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2 - 3x}{2x^2 + 1}$
2. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x + 7}{x^2 - 4}$
3. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 - 1}{100x^2 + 5}$

Asocia cada una de las siguientes funciones con su comportamiento en el infinito (asíntota horizontal). Justifica tu respuesta calculando el límite correspondiente cuando $x \to +\infty$:

1. $f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 3}$

2. $g(x) = \dfrac{10}{x + 1}$

3. $h(x) = \dfrac{6x^2}{3x^2 - 5}$

Comportamientos posibles (una misma opción puede corresponder a más de una función):

A) Asíntota horizontal $y = 0$

B) Asíntota horizontal $y = 2$

C) Asíntota horizontal $y = 3$

D) No tiene asíntota horizontal

En un examen de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, Sergio se encuentra con el cálculo del límite:

Sergio escribe en su resolución:

«Al sustituir obtenemos $\frac{3 \times 2 - 1}{2 - 2} = \frac{5}{0} = +\infty$. Por tanto, el límite es $+\infty$ y la recta $x = 2$ es una asíntota vertical.»

1. a) Explica con precisión el error conceptual que comete Sergio al afirmar directamente que el límite bilateral es $+\infty$.
2. b) Realiza el estudio correcto calculando por separado los límites laterales cuando $x \to 2^-$ y cuando $x \to 2^+$.
3. c) A partir de los resultados de los límites laterales, concluye si existe o no el límite global $\lim_{x \to 2} \frac{3x - 1}{x - 2}$ y razona si la afirmación final sobre la existencia de la asíntota vertical era correcta o incorrecta.

Una cooperativa agrícola de Choluteca estima que el costo medio por kilogramo producido de cítricos (en lempiras), al recolectar $x$ toneladas de fruta, viene dado por la función:

1. a) Estime: antes de realizar cualquier manipulación algebraica, observe los términos de mayor grado del numerador y del denominador. ¿Hacia qué valor cree que tenderá el costo medio si la recolección crece de manera indefinida ($x \to +\infty$)? Justifique su intuición.
2. b) Evalúe numéricamente la función para $x = 100$ y $x = 10\,000$ (puede dejar las operaciones planteadas o aproximar el resultado con dos decimales). ¿Respaldan estos valores la estimación que formuló?
3. c) Compruebe: calcule formalmente $\lim_{x \to +\infty} C(x)$ dividiendo numerador y denominador entre la máxima potencia de $x$. Justifique, a partir de dicho procedimiento, por qué los términos de menor grado ($-12x$, $+9$, $+3x$ y $+5$) resultan matemáticamente irrelevantes para determinar el límite en el infinito.

Un estudio de mercado analiza la evolución del número de usuarios de una nueva aplicación de mensajería, medido en miles, mediante la función $U(t) = \dfrac{40t + 10}{2t + 5}$, donde $t$ representa el tiempo en meses desde su lanzamiento. La figura muestra la gráfica de esta función.

1. a) Analiza qué ocurre con el número de usuarios en las proximidades del tercer mes. Para ello, calcula razonadamente el límite:

1. b) Determina el comportamiento de la aplicación a largo plazo. ¿Existe algún valor máximo al que se aproxime el número de usuarios? Interpreta el resultado en términos de asíntotas horizontales.

Dada la función racional $f(x) = \dfrac{x^2 - kx}{x^2 - 4}$, se pide:

1. a) Hallar el valor del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para que la función presente una discontinuidad evitable en $x = 2$.

1. b) Para el valor de $k$ hallado en el apartado anterior, estudia el comportamiento de la función cuando $x$ tiende a $-2$. ¿Qué tipo de límite obtienes? Justifica si existe una asíntota vertical calculando los límites laterales:

Calcula los siguientes límites en el infinito utilizando la comparación de los términos dominantes y explica su significado gráfico (si tienden a un valor concreto o si presentan ramas parabólicas):

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^3 - 5x + 2}{1 - 2x^3}$

1. b) $\lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^2 + 10}{x - 5}$

1. c) $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x^4 + 3x}}{5x^2 - 1}$

Un dron de vigilancia forestal sigue una trayectoria cuya altura en metros respecto al nivel del mar viene dada por la expresión $H(t) = \sqrt{t^2 + 8t} - t$, donde $t$ es el tiempo en minutos desde que inicia su patrulla. La figura muestra su trayectoria durante los primeros 20 minutos.

Calcula el límite de la altura cuando el tiempo tiende a infinito:

¿A qué altura estabiliza el dron su vuelo a largo plazo? Resuelve la indeterminación multiplicando por el conjugado.

Considera la función $g(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$.

1. a) Completa la siguiente tabla de valores para analizar la tendencia de la función cuando $x$ se acerca a $3$ por la derecha:

1. b) A partir de los resultados, deduce el valor del límite lateral $\lim_{x \to 3^+} g(x)$.

1. c) Calcula el límite $\lim_{x \to +\infty} g(x)$ y explica la diferencia conceptual entre el "límite en un punto" y el "límite en el infinito" para esta función.

Dada la gráfica de la función $h(x)$ que se muestra a continuación, identifica razonadamente el valor de los siguientes límites:

1. a) $\lim_{x \to -1^-} h(x)$ y $\lim_{x \to -1^+} h(x)$
2. b) $\lim_{x \to 2} h(x)$
3. c) $\lim_{x \to +\infty} h(x)$
4. d) $\lim_{x \to -\infty} h(x)$

Calcula el valor de $a$ y $b$ para que se verifiquen las siguientes igualdades de límites:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ax^2 + 5x}{3x^2 - 2} = 4$

1. b) $\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 + bx - 3}{x - 1} = 4$ (Nota: Para que el límite sea finito en un punto que anula al denominador, el numerador también debe anularse).

En un laboratorio de biotecnología, la población de una cepa de bacterias (en millones) crece según el modelo:

donde $t \ge 0$ es el tiempo en horas.

1. a) ¿Cuál es la población inicial de bacterias ($t=0$)?

1. b) Calcula $\lim_{t \to +\infty} P(t)$. ¿Qué representa este valor para la colonia de bacterias?

1. c) Compara el orden de infinitud del numerador y del denominador en la fracción. Si el crecimiento fuera $100t^3$ en lugar de $100t^2$, ¿cambiaría el comportamiento a largo plazo? Justifica tu respuesta usando límites.

A partir de las series estadísticas de Red Eléctrica de España (REE), un equipo de analistas modeliza el porcentaje de generación eléctrica peninsular procedente de fuentes renovables, $P(t)$ (en tanto por ciento), en función de los años transcurridos desde 2010 ($t = 0$ representa el año 2010):

1. a) Halle el porcentaje de renovables que arroja el modelo para el año 2010 ($t = 0$) y para el año 2020 ($t = 10$).
2. b) Calcule $\lim_{t \to +\infty} P(t)$ e interprete el resultado: ¿posee la función alguna asíntota horizontal? Desde el punto de vista del sector energético, ¿este modelo contempla que España pueda abastecerse al $100\,\%$ únicamente con energías renovables a largo plazo? Razone su respuesta.
3. c) Una directiva europea más ambiciosa plantea un modelo alternativo: $Q(t) = \frac{96t^2 + 500}{t^2 + 2t + 10}$. Calcule su límite cuando $t \to +\infty$ y compare la cota teórica a largo plazo de ambas proyecciones de transición energética.

Diseña una función racional de la forma $f(x) = \frac{a x^2 + b x}{x^2 - c}$ sabiendo que debe satisfacer simultáneamente tres condiciones impuestas por un modelo económico:

1. Presenta una asíntota horizontal en la recta $y = 2$ cuando $x \to +\infty$.

2. Tiene una asíntota vertical en la recta $x = 3$.

3. En $x = -3$ no tiene asíntota vertical, sino una discontinuidad evitable; es decir, existe y es finito el límite $\lim_{x \to -3} f(x) = L$.

1. a) Determina de manera razonada los valores de los parámetros reales $a$, $b$ y $c$.
2. b) Con los valores obtenidos, calcula el valor del límite finito $L = \lim_{x \to -3} f(x)$.
3. c) Explica conceptualmente por qué en $x = 3$ se genera una asíntota vertical mientras que en $x = -3$ se produce una discontinuidad evitable, relacionándolo con la anulación simultánea o no del numerador y del denominador.

Utiliza la definición formal de límite basada en entornos para demostrar que el límite de la función $f(x) = \frac{3x - 1}{2}$ cuando $x$ tiende a $3$ es igual a $4$. Para ello, dado un $\varepsilon > 0$, encuentra una expresión para $\delta$ en función de $\varepsilon$ que satisfaga la condición:

$0 < |x - 3| < \delta \implies |f(x) - 4| < \varepsilon$

Se considera la función racional $f(x) = \frac{ax^2 + bx + 2}{x^2 - 4}$. Determina los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ sabiendo que la función presenta una asíntota horizontal en $y = 2$ y que existe el límite finito en el punto $x = 2$. Una vez hallados los parámetros, calcula el valor de dicho límite en $x = 2$ y discute el comportamiento de la función cuando $x$ tiende a $-2$.

Calcula el valor del siguiente límite que involucra una diferencia de funciones irracionales en el infinito:

$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{4x^2 + 5x - 1} - \sqrt{4x^2 - 3x + 2} \right)$

Explica razonadamente por qué no podemos decir simplemente que el resultado es $0$ al restar dos infinitos del mismo orden.

En un laboratorio de biotecnología, el crecimiento de una cepa bacteriana en un entorno cerrado se modela mediante la función $P(t) = \frac{100 \times e^{0.5t}}{k + e^{0.5t}}$, donde $P(t)$ es la población en millones y $t$ es el tiempo en horas.

1. a) Si se sabe que la población inicial ($t=0$) es de 20 millones, calcula el valor de la constante $k$.
2. b) Determina el límite de la población cuando el tiempo tiende a infinito e interpreta el significado biológico de la asíntota horizontal obtenida.

Halla los valores de $k$ para que el siguiente límite basado en la estructura del número $e$ sea igual a $e^6$:

$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2 + kx + 1}{x^2 - 2x + 3} \right)^{2x}$

Muestra todos los pasos intermedios, incluyendo la resolución de la indeterminación $1^\infty$.

Dada la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} \frac{\ln(1+x^2)}{x} & \text{si } x < 0 \\ \frac{a \times \sin(x)}{x} + b & \text{si } x > 0 \end{cases}$

Calcula los valores de $a$ y $b$ para que existan los límites laterales en $x=0$, que el límite por la izquierda sea igual a $0$ y que el límite por la derecha sea igual a $5$. ¿Es posible definir $f(0)$ para que la función sea continua en ese punto?

Analiza el comportamiento asintótico de la función $g(x) = \frac{2^{x+1} + 5}{2^x - 8}$. Para ello:

1. a) Calcula los límites cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$. ¿Qué asíntotas horizontales presenta?

1. b) Identifica el punto donde se anula el denominador y estudia los límites laterales en dicho punto para determinar si existe una asíntota vertical.

Calcula el valor del siguiente límite, comparando órdenes de infinitos y resolviendo la indeterminación resultante:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^{100} + 3^x}{\log_2(x^5) + e^x}$

Justifica tu respuesta basándote en la jerarquía de crecimiento de las funciones exponencial, potencial y logarítmica. ¿Cambiaría el resultado si el límite fuera hacia $-\infty$? Razona tu respuesta.

Para calcular el límite $\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 6x} - x\right)$, tres estudiantes de undécimo grado proponen caminos distintos:

• Propuesta de Álvaro: «Como para valores muy grandes de $x$ el término $6x$ es despreciable frente a $x^2$, aproximo $\sqrt{x^2 + 6x} \approx \sqrt{x^2} = x$. Por tanto, el límite es $\lim_{x \to +\infty} (x - x) = 0$.»

• Propuesta de Beatriz: «Saco factor común $x$ fuera de la raíz: $x \times \left(\sqrt{1 + \frac{6}{x}} - 1\right)$. Al sustituir obtengo $\infty \times (\sqrt{1} - 1) = \infty \times 0$, y como cualquier número multiplicado por cero es cero, el límite vale $0$.»

• Propuesta de Carlos: «La expresión presenta una indeterminación del tipo $\infty - \infty$ entre términos del mismo orden. Debemos multiplicar y dividir por la expresión conjugada $\sqrt{x^2 + 6x} + x$ y después comparar los grados resultantes.»

1. a) Analice las propuestas de Álvaro y Beatriz. Explique con rigor matemático qué fallo comete cada uno y por qué sus justificaciones son erróneas.
2. b) Resuelva el límite aplicando el método propuesto por Carlos, detallando cada paso del cálculo.
3. c) Si el límite a resolver fuese $\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{9x^4 + 2x} - 2x\right)$, ¿sería necesario recurrir al método del conjugado o bastaría con comparar los órdenes de crecimiento de ambos términos? Elija el método más eficiente y justifique su elección sin necesidad de desarrollar todo el cálculo del conjugado.

El departamento de tecnología de una entidad bancaria hondureña modeliza el costo medio por operación (en centavos de lempiras) al procesar un volumen de $x$ millones de transacciones mediante la función:

Paralelamente, el tiempo medio de respuesta de los servidores ante consultas complejas (en milisegundos) se estima mediante la función:

1. a) Aplique la jerarquía de crecimiento en el infinito ($\log_a x \ll x^n \ll a^x$) para calcular $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ en función de los parámetros $a$ y $b$. Si el banco necesita que el costo medio a largo plazo se estabilice en exactamente $4$ centavos por operación, ¿cuánto debe valer $a$? ¿Influye el valor del parámetro $b$ en este comportamiento a largo plazo? Justifique su respuesta.
2. b) Suponga que una optimización del código anula el componente exponencial del numerador ($a = 0$, manteniendo $b > 0$). Calcule en tal caso $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ apoyándose en la jerarquía de infinitos e interprete qué ocurriría con el costo unitario a medida que el volumen de transacciones crece indefinidamente.
3. c) Determine el valor del parámetro real $k$ para que la función del tiempo de respuesta $g(x)$ tenga como asíntota horizontal la recta $y = 0.6$. Justifique el tratamiento del término $\ln(x)$ frente al término polinómico cuando $x \to +\infty$.